2025中考复习数学考点突破课件：第五章　四边形 考点27　矩形、正方形

第五章四边形考点突破练刷基础刷易错刷提升刷风向考点27矩形、正方形考点27刷基础考向1矩形的性质与判定1.

[2023湖北襄阳中考]如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，下列结论一

定正确的是(

C

)A.

AC平分∠BADB.

AB＝BCC.

AC＝BDD.

AC⊥BD【解析】矩形ABCD的对角线相交于点O，根据矩形的对角线相等，可得AC

＝BD.

故选C.

C12345678910111213142.

[2023上海中考]在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD.

下列说法能使四

边形ABCD为矩形的是(

C

)A.

AB∥CDB.

AD＝BCC.

∠A＝∠BD.

∠A＝∠DC1234567891011121314【解析】A选项，∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形.由AB

＝CD，不能判定四边形ABCD为矩形，故选项A不符合题意.B选项，∵AD

＝BC，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形.由AB＝CD，不能判定四边

形ABCD为矩形，故选项B不符合题意.C选项，∵AD∥BC，∴∠A＋∠B＝

180°.∵∠A＝∠B，∴∠A＝∠B＝90°，∴AB⊥AD，AB⊥BC，∴AB的长为AD与BC间的距离.∵AB＝CD，∴易知CD⊥AD，CD⊥BC，∴∠C＝∠D＝90°，∴四边形ABCD是矩形，故选项C符合题意.D选项，∵AD∥BC，

∴∠A＋∠B＝180°，∠D＋∠C＝180°.∵∠A＝∠D，∴∠B＝∠C.

∵A＝CD，∴四边形ABCD可能是等腰梯形，无法判定是矩形，故选项D不符合题

意.故选C.

1234567891011121314刷有所得矩形的判定方法①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直

角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形；④对角线互相

平分且相等的四边形是矩形.12345678910111213143.

[2024陕西西安二模]如图，在矩形ABCD中，连接AC，延长AB至点E，

使BE＝AC，连接DE，若∠E＝20°，则∠BAC的度数是

°.

4012345678910111213144.

[2023湖南湘西州中考]如图，在矩形ABCD中，点E在边BC上，点F是

AE的中点，AB＝8，AD＝DE＝10，则BF的长为

.

12345678910111213145.

[2023四川乐山中考]如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D为AB边上

任意一点(不与点A，B重合)，过点D作DE∥BC，DF∥AC，分别交AC，BC于点E，F，连接EF.

(1)求证：四边形ECFD是矩形；(1)【证明】∵DE∥BC，DF∥AC，∴四边形ECFD为平行四边形.又∵∠C＝90°，∴四边形ECFD为矩形.1234567891011121314(2)若CF＝2，CE＝4，求点C到EF的距离.

12345678910111213146.

[2023北京中考]如图，在▱ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，BE

＝DF，AC＝EF.

(1)求证：四边形AECF是矩形；(1)【证明】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD

＝BC，AD∥BC.

∵BE＝DF，∴AF＝EC，

∴四边形AECF是平行四边形.∵AC＝EF，∴平

行四边形AECF是矩形.1234567891011121314

12345678910111213147.

[2023浙江温州中考]如图，已知矩形ABCD，点E在CB延长线上，点F在

BC延长线上，过点F作FH⊥EF交ED的延长线于点H，连接AF交EH于

点G，GE＝GH.

(1)求证：BE＝CF.

1234567891011121314(1)【证明】∵FH⊥EF，GE＝GH，∴GE＝GF＝GH，∴∠GFE＝∠E.

∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，∠ABC＝∠DCB＝90°，∴△ABF≌△DCE(AAS)，∴BF＝CE，∴BF－BC＝CE－BC，即BE＝CF.

1234567891011121314

1234567891011121314考向2正方形的性质与判定8.

[2023河北中考]如图，在Rt△ABC中，AB＝4，点M是斜边BC的中点，

以AM为边作正方形AMEF.

若S正方形AMEF＝16，则S△ABC＝(

B

)C.12D.16B1234567891011121314

12345678910111213149.

[2023重庆中考A卷]如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD

上，连接AE，AF，EF，∠EAF＝45°.若∠BAE＝α，则∠FEC一定等

于(

A

)A.2αB.90°－2αC.45°－αD.90°－αA1234567891011121314

1234567891011121314刷有所得半角模型像本题中这样有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角

的两边相等的几何模型称为半角模型，一般通过几何变换得到全等三角

形来解决这类问题.123456789101112131410.

[2023黑龙江佳木斯中考]如图，在矩形ABCD中，对角线AC，

BD相交于点O，试添加一个条件

，使得矩形

ABCD为正方形.【解析】添加AB＝AD.

理由：∵四边形ABCD是矩形，AB＝AD，∴四边形

ABCD是正方形.故答案为AB＝AD(答案不唯一).AB＝AD(答案不唯一)123456789101112131411.

[2023辽宁大连中考]如图，在正方形ABCD中，AB＝3，延长BC至E，

使CE＝2，连接AE.

CF平分∠DCE交AE于F，连接DF，则DF的长

为

⁠.

1234567891011121314

123456789101112131412.

[2023湖北黄石中考]如图，正方形ABCD中，点M，N分别在AB，BC

上，且BM＝CN，AN与DM相交于点P.

(1)求证：△ABN≌△DAM；

1234567891011121314(2)求∠APM的大小.(2)【解】由(1)知△ABN≌△DAM，∴∠MAP＝∠ADM，∴∠MAP＋∠AMP＝∠ADM＋∠AMP＝90°，∴∠APM＝180°－(∠MAP＋∠AMP)＝90°.123456789101112131413.

[2023浙江绍兴中考]如图，在正方形ABCD中，G是对角线BD上的一点

(与点B，D不重合)，GE⊥CD，GF⊥BC，E，F分别为垂足.连接EF，

AG，并延长AG交EF于点H.

(1)求证：∠DAG＝∠EGH；(1)【证明】在正方形ABCD中，AD⊥CD，GE⊥CD，∴∠ADE＝∠GEC＝90°，∴AD∥GE，∴∠DAG＝

∠EGH.

1234567891011121314(2)判断AH与EF是否垂直，并说明理由.(2)【解】AH⊥EF，理由如下：连接GC交EF于点O，如图.1234567891011121314∵BD为正方形ABCD的对角线，∴∠ADG＝∠CDG＝45°.又∵DG＝

DG，AD＝CD，∴△ADG≌△CDG(SAS)，∴∠DAG＝∠DCG.

在正

方形ABCD中，∠ECF＝90°，又∵GE⊥CD，GF⊥BC，∴四边形

FCEG为矩形，∴OE＝OC，∴∠OEC＝∠OCE，∴∠DAG＝

∠OEC.

由(1)得∠DAG＝∠EGH，∴∠EGH＝∠OEC，∴∠EGH＋

∠GEH＝∠OEC＋∠GEH＝∠GEC＝90°，∴∠GHE＝90°，

∴AH⊥EF.

1234567891011121314考点27刷易错14.

[2023黑龙江哈尔滨中考]矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点F

在矩形ABCD边上，连接OF.

若∠ADB＝38°，∠BOF＝30°，则∠AOF

＝

.46°或106°1234567891011121314【解析】①当F在AB上时，如图(1).∵四边形ABCD是矩形，∴OD＝OA，

∴∠OAD＝∠ODA＝38°，∴∠AOB＝∠ADO＋∠DAO＝76°.∵∠BOF＝30°，∴∠AOF＝∠AOB－∠BOF＝46°.②当F在BC上时，如图(2).∵四边形ABCD是矩形，∴OD＝OA，∴∠OAD＝∠ODA＝38°，∴∠AOB＝

∠ADO＋∠DAO＝76°.∵∠BOF＝30°，∴∠AOF＝∠AOB＋∠BOF＝106°.综上，∠AOF＝46°或106°.故答案为46°或106°.

1234567891011121314本题点F在AB上时，得到∠AOF＝∠AOB－∠BOF；点F在BC上

时，得到∠AOF＝∠AOB＋∠BOF，分别进行计算求解.易错警示1234567891011121314考点27刷提升1.

[2023浙江绍兴中考，中]如图，在矩形ABCD中，O为对角线BD

的中点，∠ABD＝60°，动点E在线段OB上，动点F在线段OD上，点

E，F同时从点O出发，分别向终点B，D运动，且始终保持OE＝OF.

点

E关于AD，AB的对称点为E1，E2；点F关于BC，CD的对称点为F1，F2.

在整个过程中，四边形E1E2F1F2形状的变化依次是(

A

)AA.

菱形→平行四边形→矩形→平行四边形→菱形B.

菱形→正方形→平行四边形→菱形→平行四边形C.

平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形D.

平行四边形→菱形→正方形→平行四边形→菱形12345678【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AD∥BC，∠BAD＝∠ABC＝90°，∴∠BDC＝∠ABD＝60°，∠ADB＝∠CBD＝90°－60°＝30°.∵OE＝OF，OB＝OD，∴DF＝EB.

由对称得DF＝DF2，BF＝BF1，BE＝BE2，DE＝DE1，∴E1F2＝E2F1.由对称得∠F2DC＝∠CDF＝60°，∠EDA＝∠E1DA＝30°，∴∠E1DB＝60°，同理可得∠F1BD＝60°，∴DE1∥BF1.∵E1F2＝E2F1，∴四边形E1E2F1F2是平行四边形.12345678

图(1)

图(2)12345678

图(3)123456782.

[2023安徽中考，中]如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，EF⊥AB

于点F，连接DE并延长，交边BC于点M，交边AB的延长线于点G.

若AF

＝2，FB＝1，则MG＝(

B

)B12345678

123456783.

[2023山东枣庄中考，中]如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交

于点O，E为BC上一点，CE＝7，F为DE的中点，若△CEF的周长为32，

则OF的长为

⁠.

12345678

123456784.

[2023陕西中考A卷，中]如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4.点E在

边AD上，且ED＝3，M，N分别是边AB，BC上的动点，且BM＝BN，P

是线段CE上的动点，连接PM，PN.

若PM＋PN＝4，则线段PC的长

为

⁠.

12345678

123456785.

[2024湖南长沙一模，中]如图，四边形AECF是菱形，对角线AC，EF交

于点O，点D，B是对角线EF所在直线上两点，且DE＝BF，连接AD，

AB，CD，CB，∠ADO＝45°.(1)求证：四边形ABCD是正方形；(1)【证明】∵菱形AECF的对角线AC和EF交于点O，

∴AC⊥EF，OA＝OC，OE＝OF.

∵DE＝BF，∴BO＝

DO.

又∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形.∵∠ADO＝

45°，∴∠DAO＝∠ADO＝45°，∴AO＝DO，∴AC＝

BD，∴四边形ABCD是正方形.12345678(2)若正方形ABCD的面积为72，BF＝4，求菱形AECF的面积.

123456786.

[2023四川南充中考，较难]如图，正方形ABCD中，点M在边BC上，点E

是AM的中点，连接ED，EC.

(1)求证：ED＝EC.

12345678(2)将BE绕点E逆时针旋转，使点B的对应点B'落在AC上，连接MB'.当点

M在边BC上运动时(点M不与B，C重合)，判断△CMB'的形状，并说明理

由.(2)【解】△CMB'是等腰直角三角形，理由如下：根据旋转的性质得，EB'＝EB，∴EB'＝AE＝ME，∴∠EAB'＝∠EB'A，∠EMB'＝∠EB'M.

∵∠EAB'＋∠EB'A＋∠EB'M＋∠EMB'＝180°，∴∠EB'A＋∠EB'M＝90°，即∠AB'M＝90°，∴∠MB'C＝180°－∠AB'M＝90°，∴∠B'MC＝90°－∠ACB＝45°，∴∠ACB＝∠B'MC，∴B'M＝B'C，∴△CMB'是等腰直角三角形.12345678(3)在(2)的条件下，已知AB＝1，当∠DEB'＝45°时，求BM的长.(3)【解】延长BE交AD于点F，如图所示.∵∠EAB＝∠EBA，∠EAB'＝∠EB'A，∴∠BEM＝

2∠BAE，∠B'EM＝2∠B'AE，∴∠BEB'＝∠BEM＋

∠B'EM＝2(∠BAE＋∠B'AE)＝2∠B'AB＝90°，∴∠DEF＝∠B'EF－∠DEB'＝45°.∵△EAD≌△EBC，∴∠AED＝∠BEC.

∵∠AEF＝∠BEM，∴∠CEM＝∠DEF＝45°.∵∠MCA＝45°，∴∠CEM＝∠MCA.

12345678

123456787.

[2023吉林长春中考，较难]如图(1)，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝

5，点E在边BC上，且BE＝2，动点P从点E出发，沿折线EB－BA－AD

以每秒1个单位长度的速度运动.作∠PEQ＝90°，EQ交边AD或边DC于

点Q，连接PQ.

当点Q与点C重合时，点P停止运动.设点P的运动时间为t

秒.(t＞0)

12345678(1)当点P和点B重合时，线段PQ的长为

；【解】(1)当点P和点B重合时，如图(1)所示.∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAQ＝∠ABE＝90°.∵∠PEQ＝90°，∴四边形ABEQ是矩形.当点P和点B重合时，QE＝AB＝3.∵BE＝2，

12345678(2)当点Q和点D重合时，求tan∠PQE；【解】(2)当点Q和点D重合时，如图(2)所示.∵∠PEQ＝90°，∠PBE＝∠ECD＝90°，∴∠1＋∠2＝90°，∠2＋∠3＝90°，∴∠1＝∠3，∴△PBE∽△ECD，

12345678(3)当点P在边AD上运动时，△PQE的形状始终是等腰直角三角形，如图

(2)，请说明理由；【解】(3)如图(3)所示，过点P作PH⊥BC于点H.

∵∠PEQ＝90°，∠PHE＝∠ECQ＝90°，∴∠1＋∠2＝90°，