2025中考复习数学考点突破课件：第二章　方程(组)与不等式(组) 考点7　一元二次方程

第二章方程(组)与不等式(组)考点突破练刷基础刷易错刷提升刷风向考点7一元二次方程考点7刷基础考向1一元二次方程的概念及根的意义1.

[2024广东汕头金平区校级一模]下列方程是一元二次方程的是(

C

)B.

x2－2xy＋y2＝0C.(x＋3)(2x－5)＝0D.

x3＋x＋1＝0C1234567891011【解析】选项分析判断A不是整式方程，故不是一元二次方程不符合题意B含有两个未知数，故不是一元二次方程不符合题意C方程整理得2x2＋x－15＝0，是一元二次方程符合题意D未知数的最高次数是3，故不是一元二次方程不符合题意1234567891011方法技巧判断一元二次方程①化简后，②一个未知数，③未知数的最高次数是2，④二次项的系数

不等于0，⑤整式方程.12345678910112.

[2023山东枣庄中考]若x＝3是关于x的方程ax2－bx＝6的解，则2

023－6a＋2b的值为

⁠.【解析】∵x＝3是关于x的方程ax2－bx＝6的解，∴a·32－3b＝6，即3a－

b＝2，∴2023－6a＋2b＝2023－2(3a－b)＝2023－2×2＝2023－4＝

2019.故答案为2019.2

0191234567891011考向2解一元二次方程3.

[2023内蒙古赤峰中考]用配方法解方程x2－4x－1＝0时，配方后正确的是

(

C

)A.(x＋2)2＝3B.(x＋2)2＝17C.(x－2)2＝5D.(x－2)2＝17【解析】∵x2－4x－1＝0，∴x2－4x＝1，∴x2－4x＋4＝1＋4，∴(x－2)2＝

5.故选C.

C12345678910114.

[2024河南洛阳汝阳一模]方程2x(x－3)＋5(3－x)＝3－x的根是(

C

)A.

x＝2B.

x＝3C.

x1＝3，x2＝2D.

x1＝－2，x2＝3【解析】2x(x－3)＋5(3－x)＝3－x，2x(x－3)－5(x－3)＋x－3＝0，(x－

3)(2x－5＋1)＝0，x－3＝0或2x－5＋1＝0，所以x1＝3，x2＝2.故选C.

C12345678910115.

[2024安徽中考]解方程：x2－2x＝3.【解】x2－2x＝3，x2－2x－3＝0，(x－3)(x＋1)＝0，∴x1＝3，x2＝－1.关键点拨解一元二次方程的常用方法解一元二次方程常用的四种方法：直接开平方法、配方法、公式法和因

式分解法.1234567891011考向3一元二次方程根的判别式6.

[2023吉林中考]一元二次方程x2－5x＋2＝0根的判别式的值是(

C

)A.33B.23C.17【解析】在方程x2－5x＋2＝0中，∵a＝1，b＝－5，c＝2，∴Δ＝b2－4ac

＝(－5)2－4×1×2＝25－8＝17.故选C.

C12345678910117.

[2023北京中考]若关于x的一元二次方程x2－3x＋m＝0有两个相等的实数

根，则实数m的值为(

C

)A.

－9D.9

C12345678910118.

[2024云南中考]若一元二次方程x2－2x＋c＝0无实数根，则实数c的取值

范围为

.【解析】∵一元二次方程x2－2x＋c＝0无实数根，∴Δ＝(－2)2－4c＜0，

∴c＞1，故答案为c＞1.c＞11234567891011刷有所得一元二次方程根的判别式一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根与Δ＝b2－4ac有如下关系：当

Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实

数根；当Δ＜0时，方程无实数根.1234567891011考向4一元二次方程根与系数的关系9.

[2024四川泸州中考]已知x1，x2是一元二次方程x2－3x－5＝0的两个实数

根，则(x1－x2)2＋3x1x2的值是

⁠.

14123456789101110.

[2023湖北襄阳中考]关于x的一元二次方程x2＋2x＋3－k＝0有两个不相

等的实数根.(1)求k的取值范围；【解】(1)∵方程有两个不相等的实数根，∴b2－4ac＝22－4×1×(3－k)

＝－8＋4k＞0，解得k＞2.1234567891011(2)若方程的两个根为α，β，且k2＝αβ＋3k，求k的值.

1234567891011考点7刷易错11.

[2024黑龙江龙东地区中考]关于x的一元二次方程(m－2)x2＋4x＋2＝0有

两个实数根，则m的取值范围是(

D

)A.

m≤4B.

m≥4C.

m≥－4且m≠2D.

m≤4且m≠2

由一元二次方程有两个实数根可得到Δ≥0，同时应注意方程的二次项系

数不为0.D易错警示1234567891011考点7刷提升1.

[2023甘肃兰州中考，中]关于x的一元二次方程x2＋bx＋c＝0有两个相等

的实数根，则b2－2(1＋2c)＝(

A

)A.

－2B.2C.

－4D.4【解析】∵关于x的一元二次方程x2＋bx＋c＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝

b2－4c＝0，∴b2－2(1＋2c)＝b2－4c－2＝0－2＝－2.故选A.

A12345672.

[2023四川内江中考，中]对于实数a，b定义运算“⊗”为a⊗b＝

b2－ab，例如：3⊗2＝22－3×2＝－2，则关于x的方程(k－3)⊗x＝k－1的

根的情况，下列说法正确的是(

A

)A.

有两个不相等的实数根B.

有两个相等的实数根C.

没有实数根D.

无法确定A1234567【解析】∵(k－3)⊗x＝k－1，∴x2－(k－3)x＝k－1，∴x2－(k－3)x－k＋1

＝0，∴Δ＝[－(k－3)]2－4×1×(－k＋1)＝(k－1)2＋4＞0，∴关于x的方程(k

－3)⊗x＝k－1有两个不相等的实数根.故选A.

12345673.

[2024北京门头沟区一模，中]已知一元二次方程x2＋ax＋b＝0

有两个实数根，两根之和为正数，两根之积是负数，写出一组符合条件的

a，b的值：

.【解析】∵一元二次方程x2＋ax＋b＝0有两个实数根，∴Δ＝a2－4b≥0，

∴4b≤a2.∵两根之和为正数，两根之积是负数，∴－a＞0，b＜0，∴a＜

0，故a＝－1，b＝－2符合条件.故答案为a＝－1，b＝－2(答案不唯一).a＝－1，b＝－2(答案不唯一)1234567

4

04912345675.

[2024北京石景山区校级模拟，中]已知关于x的一元二次方程x2－ax＋a

－1＝0.(1)求证：该方程总有两个实数根；(1)【证明】∵Δ＝(－a)2－4(a－1)＝a2－4a＋4＝(a－2)2≥0，∴该方程总有两个实数根.1234567(2)【解】x2－ax＋a－1＝0，整理得(x－1)[x－(a－1)]＝0，∴x－1＝0或x－(a－1)＝0，∴x1＝1，x2＝a－1.∵方程的两个实数根都是整数，且其中一个根是另一个根的2倍，∴a－1＝2×1，解得a＝3，∴a的值为3.(2)若该方程的两个实数根都是整数，且其中一个根是另一个根的2倍，求

a的值.12345676.

[2024四川遂宁中考，中]已知关于x的一元二次方程x2－(m＋2)x＋m－1

＝0.(1)求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根；(1)【证明】x2－(m＋2)x＋m－1＝0中，a＝1，b＝－(m＋2)，c＝m

－1，∴Δ＝b2－4ac＝[－(m＋2)]2－4×1×(m－1)＝m2＋4m＋4－4m＋4＝m2

＋8.∵m2≥0，∴Δ＞0，∴无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根.1234567

1234567关键点拨一元二次方程根与系数的关系

1234567考点7刷风向7.

[2024江苏扬州广陵区一模，较难]阅读材料：已知方程x2＋2x－1＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根

的2倍.1234567

1234567(1)已知方程x2－x－3＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别比已知方程

的根大1，则所求方程为

(化为最简形式)；【解】(1)设已知方程的其中一个根为x，所求方程比x大1的根为y，则

y＝x＋1，∴x＝y－1.把x＝y