北京市丰台区2023-2024学年高一下学期期末数学试卷（解析版）

第1页/共1页2024北京丰台高一（下）期末数学2024.07第一部分（选择题共40分）一．选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.设复数，则（）A.1 B. C.2 D.4【答案】B【解析】【分析】利用复数模的定义计算即得.【详解】复数，则.故选：B2.已知点，，，若，则m的值为（）A. B. C.1 D.3【答案】D【解析】【分析】先求出的坐标，再由，得可求出m的值.【详解】因为，，，所以，因为，所以，解得.故选：D3.已知复数满足，则在复平面内的共轭复数对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】【分析】根据复数的除法、共轭复数的概念以及复数的几何意义即可得到答案.【详解】，则其共轭复数为，其在复平面内对应的点为，位于第一象限，故选：A.4.一个盒子中装有大小和质地相同的4个球，其中有2个红球和2个白球，若从中任取2个球，则“恰有1个红球”的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】列举出所有情况及“恰有1个红球”的情况，求出概率.【详解】设两个红球分别为，两个白球分别为，则从中任取2个球，共有6种情况，分别为，其中“恰有1个红球”的情况为，共4种情况，故“恰有1个红球”的概率为.故选：D5.已知数据，，…，的平均数为，方差为，数据，，，…，的平均数为，方差为，则（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】【分析】根据平均数和方差的性质得到答案.【详解】已知样本数据的平均数为，方差为，记数据的平均数为，方差为，则，，由题意可得，.故选：C6.在正方体中，直线与直线所成角的大小为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】作出辅助线，得到或其补角为直线与直线所成角，根据为等边三角形，故，得到答案.【详解】连接，因为，，所以四边形为平行四边形，则，故或其补角为直线与直线所成角，连接，则，即为等边三角形，故，直线与直线所成角大小为.故选：C7.在中，点是边的中点．记，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用向量的线性运算直接求解即可.【详解】如图，因为为边的中点，所以，所以，所以.故选：B.8.同时抛掷两枚质地均匀的骰子，观察向上的点数，记事件A=“点数之和为5”，事件B=“点数之积为6”，事件C=“至少有一个点数为3”，事件D=“点数都不为3”，则（）A.为不可能事件 B.与相互独立C.B与D互斥 D.C与D互为对立【答案】D【解析】【分析】举反例结合不可能事件、互斥事件的定义判断AC；计算，判断B；由对立事件的定义判断D.【详解】对于A：当第一次向上的点数为2，第二次向上的点数为3时，事件同时发生，则A错误；对于B：，则，则与不相互独立，故B错误；对于C：当第一次向上的点数为1，第二次向上的点数为6时，事件同时发生，则C错误；对于D：设样本空间为，事件C与事件D不能同时发生，且，则C与D互为对立，故D正确；故选：D9.已知直线，与平面，，，下列说法正确的是（）A.若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，，则【答案】A【解析】【分析】根据空间线面平行与垂直的判定和性质定理即可判断．【详解】A．若，则面内必存在直线，使得，若，则，因为，则，故正确，符合题意；B．若，，则与还可能相交，只需，都与和的交线平行，故错误，不符合题意；C．若，，则或与相交，故不正确，不符合题意；D．若，，，则只能说明与相交，不一定垂直，不符合题意；故选：A．10.八卦是中国传统文化中的一部分，八个方位分别象征天、地、风、雷、水、火、山、泽八种自然现象.八卦模型如图1所示，其平面图形为正八边形，如图2所示，点O为该正八边形的中心，设，点P是正八边形边上任一点，下列结论中正确的个数是（）①与的夹角为；②；③在上的投影向量为（其中为与同向的单位向量）；④的取值范围是．A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】根据平面向量夹角的定义即可判断①；根据正八面体的结构特征结合向量减法法则即可判断②；根据投影向量的定义即可判断③；以点为坐标原点建立平面直角坐标系，由正八面体的对称性，不妨设点在边上，再根据坐标公式计算即可判断④.【详解】对于①，由题意，则与的夹角为，故①错误；对于②，由正八面体的结构特征得，则，故②正确；对于③，，即与的夹角为，

所以向量在向量上的投影向量为，故③正确；对于④，，如图，以点为坐标原点建立平面直角坐标系，由正八面体的对称性，不妨设点在边上，设，则，，，，则，当时，取得最大值，当时，取得最小值，所以的取值范围是，故④正确故选：C.【点睛】方法点睛：求向量的模的两种基本策略：（1）字母表示下的运算：利用，将向量模的运算转化为向量与向量的数量积的问题；（2）坐标表示下的运算：若，则，于是有.第二部分（非选择题共15分）二．填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.设A，B是一个随机试验中的两个互斥事件，，，则________.【答案】0.5##【解析】【分析】由互斥事件的概率公式计算即可.【详解】因为A，B是一个随机试验中的两个互斥事件，所以.故答案为：0.512.已知复数和都是纯虚数，则________．【答案】【解析】【分析】结合纯虚数的定义，以及复数的四则运算，即可求解．【详解】解：设，为纯虚数，则，解得，故．故答案为：．13.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，那么________，若，，则______.【答案】①.②.3【解析】【分析】利用正弦定理即可求解，再利用余弦定理即可求.【详解】，由正弦定理可得，又，，，，即，；由余弦定理可得，即，解得或（舍）.故答案：；3.14.陀螺是中国民间的娱乐工具之一，早期陀螺的形状由同底的一个圆柱和一个圆锥组合而成（如图）．已知一木制陀螺模型内接于一表面积为的球，其中圆柱的两个底面为球的两个截面，圆锥的顶点在该球的球面上，若圆柱的高为，则该圆柱的体积为_______，该陀螺的表面积为______．【答案】①.；②.．【解析】【分析】先求出陀螺的外接球的半径，再利用勾股定理求出圆柱的底面半径，以及圆锥的母线长，从而求出结果．【详解】设圆柱的底面半径为，高为，圆锥的母线长为，陀螺的外接球的半径为，由题意可知，，，，，圆柱的体积为，圆锥的母线长，该陀螺表面积为．故答案为：；．15.已知正方体中，点E，F，G分别为棱，，的中点，给出下列四个结论：①直线与平面相交；②直线平面；③若，则点D到平面的距离为；④该正方体的棱所在直线与平面所成的角都相等.其中所有正确结论的序号是____________．【答案】②③④【解析】【分析】①先证，，可得平面平面，从而知平面；②利用三垂线定理可得，，再由线面垂直的判定定理知平面，并结合平面平面，即可作出判断；③易知是边长为的等边三角形，再利用等体积法求解即可；④结合四面体是正三棱锥，且正方体的棱构成三组平行线，即可判断．【详解】解：①因为点，分别为棱，的中点，所以，，即四边形是平行四边形，所以，因为点，分别为棱，的中点，所以，又，，、平面，、平面，所以平面平面，因为平面，所以直线平面，即①错误；②由三垂线定理知，，，因为，所以平面，由①知平面平面，所以平面，即②正确；③若，则是边长为的等边三角形，所以，设点到平面的距离为，因为，所以，所以，所以点到平面的距离为，即③正确；④由题意知，四面体的底面是等边，且，即四面体是正三棱锥，所以三条侧棱，，与底面所成角均相等，而，，，所以该正方体的棱所在直线与平面所成的角都相等，由①知平面平面，所以该正方体的棱所在直线与平面所成的角都相等，即④正确．故答案为：②③④．三．解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.设平面向量，，且.（1）求的值；（2）判断与是否平行，并说明理由；（3）若，求实数的值.【答案】（1）（2）平行，理由见解析（3）2【解析】【分析】（1）由已知，得，即，代入，，即可得到的值；（2）法1，设与的夹角为，由，可得，则与平行；法2，由，当且仅当与共线时等号成立，又，，所以与平行；（3）法1，由（2）及已知条件得：，由，可得，即可求得的值；法2，由，得，则，即可求得的值.【小问1详解】因为，所以，因为，，所以，所以，所以，所以，所以.【小问2详解】平行，理由如下：解法1：设与的夹角为，，因为，所以，则与平行.解法2：因为，当且仅当与共线时等号成立，又因为，，所以与共线，即与平行.【小问3详解】解法1：由（2）及已知条件得：，因为，，所以，所以.解法2：因为，所以，因为，，，所以，所以17.某校为普及航天知识，在高一年级开展了航天知识竞赛.将成绩（单位：分）分成6组，绘制成频率分布直方图，如图所示：（1）估计该校高一年级航天知识竞赛成绩的第80百分位数；（2）为了进一步了解学生对航天知识的掌握情况，在成绩位于和的两组中，用比例分配的分层随机抽样方法抽取5名学生.（i）求这5名学生中位于内的人数；（ii）若从这5名学生中随机抽取2名学生进行访谈，求这2名学生中至少有1人成绩在内的概率.【答案】（1）115；（2）（i）3；（ii）.【解析】【分析】（1）由各组的频率和为1，列方程可求出，然后判断第80百分位数的位置，再列式子求解即可；（2）（i）根据分层抽样的定义结合频率分布直方图求解，（ii）利用列举法列出样本空间，结合古典概型概率公式求解即可.【小问1详解】由，可得.由频率分布直方图可知，前4组的频率和为，前5组的频率和为因此，80%分位数一定位于内.由，估计该校高一年级航天知识竞赛成绩的80%分位数约为115分.【小问2详解】（i）由题意与的频率之比为2:3，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取5名学生，则需在分数段内抽取3人.（ii）在分数段内抽取2人，分别记为，，在分数段内抽取3人，分别记为.从这5名学生中任取2人的样本空间，设“从这5名学生中任取2人，至少有1人成绩在内”为事件，而事件包含7个可能结果，即，所以，故抽取的这2名学生至少有1人成绩在内的概率为.18.如图，在三棱锥中，分别是线段的中点.（1）求证：平面；（2）过直线作平面，若平面与直线交于点，直线平面，求证：是线段的中点.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用中位线定理得到线线平行，结合线面平行判定定理证明线面平行即可.（2）利用给定条件得到线线平行，结合中位线定理证明中点即可.【小问1详解】因为分别是线段的中点，所以是的中位线，所以，因为平面，平面，所以平面.【小问2详解】依题意知，平面平面，因为直线平面，平面，所以，因为F是线段中点，所以是线段的中点.19.在中，三个内角的对边分别为．已知.（1）求角；（2）将射线AB绕点A旋转交线段BC于点E，已知.（i）若，求c；（ii）求面积的最小值.【答案】（1）；（2）（i）；（ii）.【解析】【分析】（1）由余弦定理可得答案；（2）（i）由余弦定理求出可得答案，（ii）解法1：，得出，利用基本不等式求出可得答案；解法2：，由正弦定理求出可得，根据范围可得答案.【小问1详解】因为，由余弦定理得：，因为A为三角形内角，所以；【小问2详解】（i）由和，可知，因为，在中，由余弦定理得：，所以，所以，因为，所以，所以；（ii）解法1：由和，可知，因为，所以，又因为，所以，即，又，当且仅当，即时，等号成立，所以，所以，所以的面积的最小值为.解法2：由和，可知，因为，，所以因为，所以，在中，由正弦定理得：，所以，在中，，所以因为，所以，所以当时，的面积的最小值为.20.如图，在三棱柱中，，，平面平面.（1）求证：；（2）从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，当直线与平面所成角为时，（ⅰ）求证：平面平面；（ⅱ）求二面角的正弦值.条件①：；条件②：.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）证明见解析；（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）【解析】【分析】（1）根据面面垂直可证线面及线线垂直，进而可得线面垂直证明线线垂直；（2）（i）若选①，可证四边形为矩形，进而可得线线垂直，证得面面垂直；若选②，由勾股定理可证，进而可证面面垂直；（ii）过作于点，再过作，可得二面角的平面角，再根据定义法可得二面角的正弦值.【小问1详解】因为，所以，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，因为平面，所以，因为三棱柱，所以四边形是平行四边形，因为，所以是菱形，所以，因为，，平面，所以平面，因为平面，所以；【小问2详解】若选择条件①：（ⅰ）因为，所以平行四边形为矩形，所以，由（1）知，，因为，，平面，所以平面，因为平面，所以平面平面；（ⅱ）因为平面，平面，所以直线与平面所成的角为，所以，因为，所以，，，，作于，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以.作于，连接，因为，，平面，所以平面，因为平面，所以，所以是二面角的平面角.因为，所以，因为，所以，所以，所以二面角的正弦值为.若选择条件②：，因为，所以，所以，由（1）知，，因为，，平面，所以平面，因为平面，所以平面平面；（ⅱ）因为平面，平面，所以直线与平面所成的角为，所以，因为，所以，，，，作于，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以.作于，连接，因为，，平面，所以平面，因为平面，所以，所以是二面角的平面角.因为，所以，因为，所以，所以，所以二面角的正弦值为.21.设为正整数，集合．对于集合中的任意元素和，记．（1）当