安徽省芜湖一中2024-2025学年高一（下）期中数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页安徽省芜湖一中2024-2025学年高一（下）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.欧拉公式exi=cosx+isinx(其中i为虚数单位，x∈R)，是由瑞士著名数学家欧拉创立的，公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数的数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥.依据欧拉公式，e−πiA.12+32i B.12.设m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，则下列命题正确的是(

)A.若m//n，n⊂α，则m//αB.若m//α，n//m，则n//α

C.若m//α，n//α，则m//nD.若m//α，m⊂β，α∩β=n，则m//n3.如图，在△ABC中，AD=13AB，点E是CD的中点.设CA=a，CB=A.23a−16b

B.24.如图，水平放置的四边形ABCD的斜二测直观图为矩形A′B′C′D′，已知A′O′=O′B′=1，B′C′=1，则四边形ABCD的周长为(

)A.62

B.122

C.5.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别是线段BC，CA.22 B.33 C.6.如图，正三棱台ABC−A1B1C1的下底面边长为12，上底面边长和侧棱长均为A.1082

B.1442

C.7.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sin2BcosA=sinCcosB，则△ABC的形状为(

)A.等腰三角形 B.直角三角形

C.等腰直角三角形 D.直角三角形或等腰三角形8.如图，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E,F分别是棱BC,CC1的中点，P是侧面BCC1B1A.[1,52] B.[3二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知z1，z2是复数且对应的点分别为Z1，Z2A.若z1+z2=0，则z1=0，且z2=0

B.若|z1|+|z2|=0，则z1=010.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，则下列说法正确的是(

)A.若A>B，则sinA>sinB

B.若a：b：c=4：5：6，则△ABC是钝角三角形

C.若sin2A=sin2B，则△ABC为等腰三角形

D.若A=30°，b=4，a=3，则△ABC有两解11.已知正八边形ABCDEFGH，O为正八边形的中心，其中OA=2，则下列命题正确的是(

)A.OB⋅OE=−2

B.OA+OC=−2OF

C.OA在OB上的投影向量为22OB

D.若点P12.如图所示，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，现测得∠BCD=α，∠BDC=β，CD=s，并在点C测得塔顶A的仰角为θ，则塔高AB=______．13.设z是复数且|z−1+2i|=1，则|z|的最大值为______．14.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，点M是正方体侧面ADD1A1上的一个动点(含边界)，四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知向量a=(2,3)，b=(1,2)，c=ka+b(k∈R)．

(1)若向量c与a−3b共线，求实数k的值；

(2)16.(本小题15分)

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acosB+bsinA2=c．

(1)求A；

(2)若△ABC的重心为O，且3AO=17.(本小题15分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为平行四边形，F为AB上的点，且AF=2FB，E为PD中点．

(1)证明：PB//平面AEC；

(2)过F点作平面FHG//平面ACE交PA于H点，交PC于G点，

(i)证明：HG//AC．

(ii)求PHHA的值．18.(本小题17分)

如图，在△ABC中，已知AB=6,AC=9,∠BAC=60°,BM=2MC，点N为AC边的中点，AM，BN相交于点P．

(1)求|BM|；

(2)求cos∠MPN；

19.(本小题17分)

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，csinB+3b⋅cosC=3a，b=3．

(1)求角B；

(2)若a+c=2，求边AC上的角平分线BD长；

(3)若△ABC答案解析1.【答案】A

【解析】解：e−πi3=cos(−π3)+isin(−π3)=12−2.【答案】D

【解析】解：m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，

对于A，若m/​/n，n⊂α，则m/​/α或m⊂α，故A错误；

对于B，若m/​/α，n/​/m，则n/​/α或n⊂α，故B错误；

对于C，若m/​/α，n/​/α，则m与n相交、平行或异面，故C错误；

对于D，若m/​/α，m⊂β，α∩β=n，则由线面平行的性质得m/​/n，故D正确．

故选：D．

对于A，m/​/α或m⊂α；对于B，n/​/α或n⊂α；对于C，m与n相交、平行或异面；对于D，由线面平行的性质得m/​/n．

本题考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间思维能力，是中档题．3.【答案】A

【解析】解：在△ABC中，AD=13AB，且E是CD的中点，

所以EA=−AE=−12(AC+4.【答案】D

【解析】解：根据题意，矩形A′B′C′D′，A′O′=O′B′=1，B′C′=1，

则O′C′=12+12=2，

如图：平面图形是平行四边形ABCD，

AB=AO+OB=A′O′+O′B′=2，OC=2O′C′=22，

BC=OB2+OC2=3，

则四边形5.【答案】C

【解析】【分析】本题考查异面直线所成角、属于基础题．

如图所示，连接CD1，确定∠CFE或其补角是异面直线EF与A1【解答】

解：如图所示：

F是线段C1D的中点，连接CD1交C1D于F，

由正方体的性质知CD1//BA1，知异面直线A1B，EF所成角即为直线CD1，EF所成角，

故∠CFE或其补角是异面直线EF与A1B所成角，

设正方体边长为2，

在△CFE中，CF=2，CE=1，6.【答案】C

【解析】解：如图，设上下底面的外心分别为D，E，过B1作底面的垂线交BE于点F，

因为正三棱台ABC−A1B1C1的下底面边长为12，上底面边长和侧棱长均为6，

所以上、下底面三角形的高分别为36−9=33，144−36=63，

所以EF=B1D=23×33=23，BE=23×67.【答案】D

【解析】解：∵sin2BcosA=sinCcosB，

∴2sinBcosBcosA=sin(A+B)cosB，

∴2sinBcosBcosA=(sinAcosB+cosAsinB)cosB，

∴cosB(sinBcosA−cosBsinA)=0，即cosB[sin(B−A)]=0，

∴cosB=0或sin(B−A)=0，

∵A，B∈(0,π)，

∴B=π2或B−A=0，

∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．

故选：D8.【答案】B

【解析】解：如下图所示：

分别取棱BB1、B1C1的中点M、N，连接MN，连接BC1，

∵M、N、E、F为所在棱的中点，∴MN/​/BC1，EF/​/BC1，

∴MN/​/EF，又MN⊄平面AEF，EF⊂平面AEF，

∴MN/​/平面AEF；

∵AA1/​/NE，AA1=NE，∴四边形AENA1为平行四边形，

∴A1N/​/AE，又A1N⊄平面AEF，AE⊂平面AEF，

∴A1N/​/平面AEF，

又A1N∩MN=N，∴平面A1MN/​/平面AEF，

∵P是侧面BCC1B1内一点，且A1P/​/平面AEF，

则P必在线段MN上，

在Rt△A1B1M中，A1M=A1B12+B1M2=1+(12)2=52，

同理，在Rt△A1B1N中，求得A1N=9.【答案】AC

【解析】解：z1=i，z2=−i，满足z1+z2=0，但z1≠0，z2≠0，A错误；

若|z1|+|z2|=0，则|z1|=0，|z2|=0，∴z1=0，z2=0，B正确；

若z1=1+3i，z2=1−3i，满足|z1|=|z2|，此时Z1(1,3)，10.【答案】AD

【解析】解：对于A，A>B，所以a>b，由正弦定理得asinA=bsinB，所以sinA>sinB，故A正确；

对于B，a：b：c=4：5：6，故c边最长，角C最大．

设a=4k，b=5k，c=6k，

则cosC=a2+b2−c22ab=16k2+25k2−36k22×4k×5k=18>0，

所以角C为锐角，故△ABC是锐角三角形，故B错误；

对于C，sin2A=sin2B，则2A+2B=π或2A=2B，

即A+B=π2或A=B，则△ABC为直角三角形或等腰三角形，故C错误；

11.【答案】BCD

【解析】解：如图，

正八边形的每条边所对的中心角均为45°，且中心到各个顶点的距离都是2，

则OB⋅OE=|OB||OE|cos∠BOE=2×2×cos135°=−22，故A错误；

连接AC交OB于点N，则N为AC的中点，且OB=2ON，

则OA+OC=2ON=2OB=−2OF，故B正确；

向量OA在OB上的投影向量为OA⋅OB|OB|2⋅OB=2×2cos45°22⋅OB=22OB，故C正确；

设向量AP与AB的夹角为θ，则AP⋅AB=|AP||AB|cosθ，

在正八边形中，有DC⊥AB，延长DC交AB与点M，

当点P在线段DC上运动时，向量AP在AB方向上的投影取得最大值，

又由△OAC为等腰直角三角形，且∠OAB=12(180°−45°)=67.5°，

在直角△CAM中，有AM=AC⋅cos∠CAM=AC⋅cos12.【答案】s⋅sinβtanθsin【解析】解：在△BCD中，∠CBD=180°−α−β，

由正弦定理得BC=CDsin∠BDCsin∠CBD=s⋅sinβsin(α+β)

在Rt△ABC中，AB=BCtan∠ACB=s⋅sinβtanθsin(α+β)．

故答案为：s⋅sinβtanθsin(α+β)

先根据三角形内角和为180°得13.【答案】5【解析】解：由题意可知|z−1+2i|=1表示复平面内以(1,−2)为圆心，1为半径的圆，

而|z|表示复数z到原点(0,0)的距离，

故|z|max=12+(−2)214.【答案】π3【解析】解：取DD1中点E，连EM，PE，如图，因为P是正方体ABCD−A1B1C1D1的棱CC1中点，

则PE/​/CD，而CD⊥平面ADD1A1，则有PE⊥平面ADD1A1，EM⊂平面ADD1A1，

所以PE⊥EM，由PM2=PE2+EM2，因为PE=1，|PM|=2，

15.【答案】k=−13；

(−【解析】解：(1)向量a=(2,3)，b=(1,2)，c=ka+b=(2k+1,3k+2)，a−3b=(2,3)−3(1,2)=(−1,−3)，

若向量c与a−3b共线，可得−3(2k+1)+3k+2=0，

解得k=−13．

(2)若向量c与b的夹角为锐角可得a⋅b>0，且c与b不共线，

即可得(2k+1)+2(3k+2)>02(2k+1)≠3k+2，

解得k>−58且k≠0，

即实数k的取值范围为{k|k>−516.【答案】解：(1)由题意，利用正弦定理可得：sinAcosB+sinBsinA2=sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB，

所以sinBsinA2=cosAsinB，

又B∈(0,π)，sinB≠0，

可得sinA2=cosA，可得sinA2=1−2sin2A2，

解得sinA2=12或sinA2=−1(舍去)，

因为A∈(0,π)，A2∈(0,π2)，

可得A2=π6，

所以A=π3；

(2)记△ABC中BC边上的中线长为l，由重心的性质得【解析】(1)利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得sinA2=1−2sin2A2，解得sinA2的值，进而可求A的值；

(2)17.【答案】证明见详解；

(i)证明见详解；

(ii)12【解析】(1)证明：连接BD交AC于点O，连接OE，

因为底面ABCD为平行四边形，所以O为BD的中点，

而E为PD的中点，所以EO/​/PB，

又EO⊄平面AEC，PB⊂平面AEC，

所以PB/​/平面AEC；

(2)(i)证明：因为平面FHG//平面ACE，平面PAC∩平面FHG=HG，平面PAC∩平面ACE=AC，

由面面平行的性质定理可得HG/​/AC；

(ii)接：当H为PA的三等点且PHHA=12时，有平面FHG//平面ACE，下面证明：

因为F为AB上的点，且AF=2FB，所以在△PAB中，PHHA=BFFA=12，所以HF//PB，

由(1)知PB/​/平面AEC，因为HF⊄平面AEC，所以HF/​/平面AEC，

由(i)可知HG/​/AC，因为HG⊄平面AEC，AC⊂平面AEC，所以HG/​/平面AEC，

因为HF∩HG=H，所以平面FHG//平面ACE，所以PHHA=12．

(1)连接BD交AC于O，由三角形中位线可证EO/​/PB，进而由线面平行的判定定理可证；

(2)(i)由面面平行的性质定理可证HG/​/AC18.【答案】27；

126；

【解析】解：(1)由题意知，BC=AC−AB，

所以|BC|=(AC−AB)2=AC2−2|AC|⋅|AB|cosA+AB2=81−2×9×6×12+36=37，