2024-2025学年黑龙江省哈尔滨市道外区高一（下）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年黑龙江省哈尔滨市道外区高一（下）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列说法正确的是(

)A.两个单位向量一定相等

B.若a与b不共线，则a与b都是非零向量

C.共线的单位向量必相等

D.两个相等向量的起点、方向、长度必须都相同2.复数(4+i)−(1+5i)的虚部为(

)A.−4 B.4 C.−4i D.4i3.在△ABC中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sinA：sinB：sinC=4：7：9，则cosA=(

)A.−1921 B.863 C.194.已知A(2,1)，B(3,1)，C(1,5)三点，则AB⋅BC等于(

)A.−15 B.−13 C.−2 D.15.如图，测量河对岸的塔高AB时，选取与塔底B在同一水平面内的两个观测点C与D，AB垂直于平面BCD.现测得∠BCD=15°，∠BDC=120°，CD=20m，并在点C测得塔顶A的仰角为45°，则塔高AB=(

)A.2063m

B.1036.在△ABC中，BC边上的中线为AD，点O满足AO=3OD，则OC=A.−38AB+58AC B.7.如图，高度为ℎ的圆锥形玻璃容器中装了水，则下列四个容器中，水的体积最接近容器容积一半的是(

)A. B. C. D.8.如果复数z满足|z+2i|+|z−2i|=4，则|z+i+1|的最小值为(

)A.1 B.2 C.2 D.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知向量a=(x,3)，b=(5,2)，则下列结论正确的是(

)A.若a/​/b，则x=152 B.若a⊥b，则x=−65

C.若|10.已知圆锥的顶点为S，AB为底面直径，△SAB是面积为1的直角三角形，则(

)A.该圆锥的母线长为2 B.该圆锥的体积为13π

C.该圆锥的侧面积为π 11.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列结论正确的是(

)A.若A>B，则sinA>sinB

B.若b2sin2C+c2sin2B=2bccosBcosC，则△ABC是直角三角形

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知复数(2−i)(a+i)是纯虚数(i为虚数单位)，则实数a的值为______．13.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinB=−3bcosA，则A=14.六氟化硫，化学式为SF6，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫分子结构为正八面体结构(正八面体是每个面都是正三角形的八面体)，如图所示.若此正八面体的棱长为4，则它的内切球的表面积为______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

设复数z1=2−ai(a∈R)，z2=1+i．

(1)若z1+z2是实数，求z16.(本小题15分)

已知a与b是平面内的两个向量，|a|=2，|b|=1，a与b的夹角为π4．

(1)求a−b；

(2)求|a17.(本小题15分)

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b2+c2−a2=bc．

(1)求A．

(2)若18.(本小题17分)

如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，截去三棱锥A1−ABD，求

(1)截去的三棱锥A1−ABD的表面积；

(2)剩余的几何体19.(本小题17分)

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m=(b,a+c)，n=(b−c,c−a)，且m⊥n．

(1)若边a=8，AB⋅AC=6，∠BAC的平分线交BC边于点D.求AD的长；

(2)若E为BC边上任意一点，AE=1参考答案1.B

2.A

3.C

4.C

5.C

6.A

7.D

8.A

9.ABD

10.ABD

11.ABD

12.−113.2π314.32π315.解：(1)z1+z2=2−ai+1+i=3+(1−a)i∈R，则a=1，

z1z2=2−i1+i=(2−i)(1−i)(1+i)(1−i)=1−3i2=12−16.解：(1)a⋅b=|a||b|cos〈a,b〉=2×1×17.解：(1)因为b2+c2−a2=bc，

由余弦定理可得b2+c2−a2=2bccosA，

所以cosA=12，

又0<A<π，

所以A=π3；

(2)因为b=2c，A=π3，三角形的面积为83，

所以S△ABC=12bcsinA=32c2=83，

可得c=4，b=8，

由余弦定理得：a2=b2+c2−2bccosA=64+16−2×8×4×12=48．

解得：a=43，

19.解：(1)

根据题意可知，向量m=(b,a+c)，n=(b−c,c−a)，

由m⊥n得，m⋅n=b(b−c)+(a+c)(c−a)=0，即bc=b2+c2−a2，

∴cosA=b2+c2−a22bc=12，由A∈