2025届甘肃省甘南藏族自治州卓尼县高三高考数学模拟试题（一模）含解析

2025届甘肃省甘南藏族自治州卓尼县高三高考数学模拟试题（一模）一、单选题（本大题共8小题）1．已知集合，则（）A． B． C． D．2．若双曲线义的一条渐近线方程为，则（）A． B． C．4 D．163．已知函数，若，则（）A．2 B．3 C．4 D．84．函数的最小值为（）A．0 B． C． D．5．已知椭圆的左顶点与左焦点分别为A，F，下顶点为B，且的面积等于，则椭圆C的离心率为（）A． B． C． D．6．如图，已知是边长为4的等边三角形，点D满足，E为的中点，则的取值范围为（）A． B． C． D．7．从1，2，3，…，100中任取不同的两数，则该两数之和能被3整除的取法种数为（）A．1650 B．1617 C．1122 D．5288．已知函数满足：对于任意的x，，都有成立，且，则（）A．2025 B．2024 C．1013 D．1012二、多选题（本大题共3小题）9．已知复数z满足，则（）A． B．在复平面内z对应的点在曲线上C． D．的虚部为210．在正四棱柱中，，E为的中点，则（）A．平面ABEB．平面ACEC．三棱锥的外接球的表面积为D．直线与平面ABE所成的角为11．已知圆，直线，点P在圆C上，O为坐标原点，直线OP与l相交于点N，直线OP上的动点M满足，动点M的轨迹记为曲线，设为曲线上一点，则（）A．曲线与l有两个交点 B．的最小值为C．曲线关于x轴对称 D．当Q在第二象限时，则的最大值为三、填空题（本大题共3小题）12．已知，则．13．已知函数，若与曲线相切，则实数．14．已知9名学生在某次知识竞赛中成绩的平均值为80，方差为20，则这9名学生成绩的中位数的最大值为．四、解答题（本大题共5小题）15．某新能源汽车公司对其销售的、两款汽车的售后服务向消费者进行满意度调查，从购买这两款汽车的消费者中各随机抽取了名，调查结果统计如下表：满意程度汽车款式合计款款满意不满意合计(1)补全列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为消费者对A、B两款汽车的售后服务的满意度有差异？(2)用频率估计概率，现从购买、款汽车的消费者中随机抽取人，表示这名消费者中对款汽车的售后服务持满意态度的人数，求的分布列和数学期望．附：，.16．如图，已知A，B，C是圆锥PO的底面圆周上的三点，且与均为边长为的等边三角形．(1)证明：平面平面PBC；(2)求圆锥PO的侧面积；(3)求二面角的余弦值．17．在中，角的对边分别为，已知．(1)求的值；(2)若的面积为，求a的值；(3)若角A的平分线交于点D，且，求的值．18．已知抛物线，过点的直线l与C交于P，Q两点，设O为坐标原点，当轴时，的周长为．(1)求C的方程；(2)若点M为抛物线C上异于原点O的一点，且直线OM与直线l的交点D在直线上．（ⅰ）证明：过点M与抛物线C相切的直线平行于直线l；（ⅱ）求面积的取值范围．19．已知定义在I上的连续函数的导函数为，对同时满足下列条件的数列称为“相关数列”：①；②．(1)若，数列是“相关数列”，且，求数列的通项公式；(2)若，数列是“相关数列”，证明：是递减数列；(3)若，数列是“相关数列”，且，记数列的前n项和为，证明：．

答案1．【正确答案】B【详解】由，得，由，得，所以集合，所以．故选B.2．【正确答案】D【详解】的渐近线方程为，又一条渐近线方程为，所以，所以．故选D．3．【正确答案】D【详解】由，得，整理，可得，解得，或.因为，所以，则，所以．故选D．4．【正确答案】B【详解】由题知函数的最小正周期为．当时，，又，所以，当时，，又，所以，所以函数的最小值为．故选B.5．【正确答案】C【详解】设椭圆C的半焦距为c，由题意可知，因为，则，两边平方得，则，整理可得，所以椭圆C的离心率为．故选C．6．【正确答案】A【详解】以直线为x轴，线段的中垂线为y轴建立平面直角坐标系（如图所示），则，因为，则点D在线段（不含端点）上，设，则，所以，所以当时，取得最小值，当时，，故的取值范围为.故选A．7．【正确答案】A【详解】将1，2，3，…，100中的数按被3除余数多少分为3类：被3除余的数组成集合，则中各有33个数，中有34个数，从中任取两个数，其和可以被3整除，共有种取法：从中取1个数，再从中取1个数，两者的和也可被3整除，有种，故符合条件的取法种数为种．故选A．8．【正确答案】C【详解】令时，因为，所以.令，则，所以.令，则，所以，则，所以4为的一个周期.又，所以由周期性可知，即．当i为偶数时，为偶数，所以；当i为奇数时，设，则，故被4除的余数为1，所以，所以．故选C．9．【正确答案】ACD【详解】对于A，设，由，得，所以，即，解得所以，故A正确；对于B，在复平面内z对应的点为，当时，，所以点不在曲线上，故B错误；对于C，，故C正确；对于D，，所以的虚部为2，故D正确．故选ACD．10．【正确答案】BC【详解】如图所示：

对于A，连接，BD，易证四边形为矩形，因为，所以，所以，又，因为，所以与BE不垂直，故A错误；对于B，设，连接OE，因为E为的中点，O为BD的中点，所以，又平面ACE，平面ACE，所以平面ACE，故B正确；对于C，三棱锥的外接球也是四棱锥的外接球，取BE的中点M，易证均为直角三角形，线段BE为三者的公共斜边，所以，故M为三棱锥的外接球的球心，所以三棱锥的外接球的半径为，所以三棱锥的外接球的表面积为，故C正确；对于D，易知，所以直线与平面ABE所成的角等于直线AC与平面ABE所成的角，分别取的中点F，G，连接EF，BF，CG，，易证平面ABFE，连接AH，所以为直线AC与平面ABE所成的角．在中，，所以，所以，故D错误．故选BC．11．【正确答案】BCD【详解】由题意知直线OP的斜率存在，设直线OP的方程为，则，设，由题意知，则，所以，设，则，由得，则又，所以，所以曲线的方程为，所以，因为，所以，当时，方程无解，所以曲线与l没有交点，故A错误；由上可知，所以，因为，所以，解得，所以的最小值为，故B正确；在曲线的方程中将y换为，化简后与原方程相同，所以曲线关于x轴对称，故C正确；设，则，令，解得，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，当时，，所以，则的最大值为，故D正确．故选BCD．12．【正确答案】/【详解】由，得，解得，所以．13．【正确答案】【详解】设切点为，又，则，所以切线方程为，即，所以，解得.14．【正确答案】84【详解】设这9名学生成绩从低到高依次为，即，则9名学生成绩的中位数为，设的平均值为m，方差为S，的平均值为n，方差为T，依题意，，则，因此，当且仅当时取等号，即，整理得，解得，即当，且时，，此时n，也就是的最大值为84，则当时，9名学生成绩的中位数的最大值为84.15．【正确答案】(1)列联表见解析，无差异(2)证明见解析，【详解】（1）列联表为：满意程度汽车款式合计款款满意不满意合计零假设消费者对、款汽车售后服务的满意度无差异，

根据列联表中的数据，计算得，，

根据小概率值的独立性检验，没有充分理由推断不成立，故消费者对、款汽车的售后服务的满意度无差异．（2）从名消费者中随机抽人，对款车的售后服务持满意态度的频率为，所以从购买、款汽车的消费者中随机抽取人，则该人对款汽车的售后服务持满意态度的概率为，

X的可能取值为、、、、，且，，，，，，

所以的分布列为：（或）．16．【正确答案】(1)证明见解析(2)(3)【详解】（1）因为为等边三角形，O为的外心，所以O为的中心，

延长AO与BC交于点D，则，连接PD，因为，所以，因为，AD，平面PAD，所以平面PAD，又平面PBC，所以平面平面PAD，即平面平面PBC．（2）设底面圆的半径为r，由正弦定理，得，所以，

所以圆锥PO的侧面积为．（3）在中，，所以，

以O为坐标原点，以平行于BC的直线为x轴，以OD，OP所在直线分别为y轴，z轴建立如图所示空间直角坐标系．则，所以．

设平面ABP的一个法向量，则令，得，所以

由（1）可知，平面PAO，则x轴垂直平面PAO，取平面PAO的一个法向量，所以，

由图可知，二面角的平面角为锐角，故二面角的余弦值为．17．【正确答案】(1)(2)(3)2【详解】（1）由正弦定理及，得，因为，所以，所以，所以由余弦定理，得．（2）由，所以，由的面积为，得，所以．又，所以，故．（3）因为，所以，又，所以，所以，由，得，所以，所以．18．【正确答案】(1)；(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）【详解】（1）因为轴，所以直线l的方程为，联立方程得，解得或故点P，Q的坐标分别为，所以，因为的周长为，所以，解得，故C的方程为；（2）（ⅰ）证明：由题意知直线l不与坐标轴垂直，故设直线l的方程为，所以l与直线的交点D的坐标为，所以OD的方程为，由消去y并化简，得，易得其两根分别为，设，则，即．易知过点M与抛物线C相切的直线的斜率存在且不为0，设其方程为，与联立消去x并整理，得，，整理得，即，所以，即过点M与抛物线C相切的直线的斜率为，又直线l的斜率也为，且l过C的内部一点，所以过点M与抛物线C相切的直线平行于直线l；

（ii），由（i）得消去x，得，设，则，且，所以，由（i）得，，则M到直线PQ的距离，所以的面积，因为幂函数在上单调递增，且，所以，故面积的取值范围为．19．【正确答案】(1)(2)证明见解析(3)证明见解析【详解】（1）由，得的定义域为，且，由数列是“相关数列”，得，且，所以，所以，又，所以是首项为1，公比为的等比数列，故，即数列的通项公式为．（2）证明：因为，所以的定义域为，且，因为数列是“相关数列”，所以，则，当时，易证，所以，因为，所以，所以，同理可得．要证是递减数列，需证，即证，只需证，即证．令，则，当时，，所以在上单调递增，又，所以，又，所以，故是递减数列．（3）证明：当时，，故当时，成立．

当时