湖南长沙2025届高三数学第一学期8月联考模拟试卷

/湖南长沙2025届高三数学第一学期8月联考模拟试卷一、单选题1．已知集合，则（

）A． B． C． D．2．已知复数，则（

）A．3 B．2 C． D．3．已知空间向量和的夹角为，且，，则等于（

）A．12 B．8 C．4 D．144．的值是（

）A． B． C．1 D．5．已知各项均为正数的等比数列的前n项和为，若，则的值为（

）A．4 B． C．8 D．6．如图1，一个圆柱形笔筒的底面直径为，（笔筒壁的厚度忽略不计），母线长为，该圆柱形笔筒的直观图如图2所示，，分别为该圆柱形笔筒的上底面和下底面直径，且，则三棱锥的体积为（

）

A． B． C． D．7．斐波那契数列因数学家斐波那契以兔子繁殖为例而引入，又称“兔子数列”.这一数列如下定义：设为斐波那契数列，，其通项公式为，设是的正整数解，则的最大值为（

）A．5 B．6 C．7 D．88．已知不等式恰有2个整数解，则实数的取值范围（

）A． B． C． D．二、多选题9．小胡同学参加射击比赛，打了8发子弹，报靶数据如下：（单位：环），则下列说法正确的是（

）A．这组数据的众数为9 B．这组数据的平均数是8.5C．这组数据的极差是4 D．这组数据的标准差是210．已知复数，则（

）A．的实部为 B．的虚部为C． D．在复平面内对应的点位于第一象限11．已知定义在上的函数满足为偶函数，为奇函数，当时，，则下列说法正确的是（

）A． B．函数为周期函数C．函数为上的偶函数 D．三、填空题12．在数列中，.若为等差数列，则.13．若，则的值为．14．如图，在矩形中，分别是矩形四条边的中点，点在直线上，点在直线上，，直线与直线相交于点，则点的轨迹方程为.四、解答题15．在中，，是边上的点，，，.(1)求cosB与的面积；(2)求边AC的长.16．已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为A、B，左、右焦点分别为．过右焦点的直线l交椭圆于点M、N，且的周长为16．(1)求椭圆C的标准方程；(2)记直线AM、BN的斜率分别为，证明：为定值．17．在中，，，D为边上一点，，E为上一点，，将沿翻折，使A到处，.

(1)证明：平面；(2)若射线上存在点M，使，且与平面所成角的正弦值为，求λ.18．已知函数的图象在点处的切线方程为.(1)求的值；(2)讨论的单调性；(3)若关于的方程有两个正根，证明：.19．将个不同的数按照某种顺序排成一列得到数列，对任意，如果，那么称数对构成数列的一个逆序对，一个有穷数列的全部逆序对的总数称为该数列的逆序数．(1)若将1，2，3，4四个数构成的数列恰有2个逆序对，请写出符合条件的数列组合；(2)计算以下数列的逆序数．（ⅰ）；（ⅱ）；(3)已知数列，，…，的逆序数为，求，，…，的逆序数．湖南省长沙市2025届高三8月联考数学模拟试卷参考答案1．B【分析】先求解两个集合，再结合两集合交集定义求解答案；【详解】因为，所以．故选：B.2．D【分析】根据条件，利用复数的运算法则，得到，再利用模长的计算公式，即可求出结果.【详解】因为，所以.故选：D3．D【分析】根据数量积的运算律，结合定义即可求解.【详解】,故选：D4．A【分析】由，结合两角差的正弦展开化简即可.【详解】原式.故选：A5．C【分析】设出公比根据题干条件列出方程，求出公比，从而利用等比数列通项的基本量计算求出答案.【详解】设数列的公比为，则，得，解得或（舍），所以.故选：C.6．C【分析】取的中点O，连接，，证得平面，三棱锥的体积，计算得到答案；【详解】由，易得，取的中点O，连接，，则，，又，，平面，所以平面，所以，故选：C.

7．A【分析】利用给定条件结合对数的性质构造，两侧同时平方求最值即可.【详解】由题知是的正整数解，故，取指数得，同除得，，故，即，根据是递增数列可以得到也是递增数列，于是原不等式转化为.而可以得到满足要求的的最大值为5，故A正确.故选：A8．A【分析】原不等式等价于，设，，然后转化为函数的交点结合图象可求.【详解】原不等式等价于，设，，等价与函数在图象下方的整数解恰有2个，函数的图象是恒过的直线，，则，当时，，所以在单调递增，当时，，所以在单调递减，且，做出和的图象可知，当时，符合题意的解的个数大于2个，所以，从图中可看到一个解是，则另外一个解是，且，因为，所以在可取等号，，解之可得故选：A9．AC【分析】分别计算这组数据的众数、平均数、极差、方差逐项判断可得答案.【详解】对于A，由题意知这组数据的众数为9，故A正确；对于B，这组数据的平均数是，故B错误；对于C，这组数据的极差是，故C正确；对于D，这组数据的方差是，所以这组数据的标准差是，故D错误.故选：AC.10．AC【分析】复数除法化简的，再根据复数的实部、虚部、模和共轭复数的几何意义判断各个选项；【详解】由题意得，所以的实部为，虚部为，故A正确B错误；在复平面内对应的点位于第四象限．故C正确D错误；故选：AC.11．AB【分析】首先利用函数的奇偶性得到函数的对称轴和对称中心，结合关系式的变换得到函数周期判断B，利用特殊值代入判断A，根据导函数判断函数单调性结合关系式和偶函数定义判断C，根据函数的关系式和单调性判断D.【详解】因为为偶函数，，故函数图象关于直线对称，为奇函数，1），函数图象关于对称，对于B，，故2是函数的周期，函数为周期函数，故B正确；对于A，，令，故，又，故A正确；对于C，，当时，，即函数在上递增，函数图象关于对称，故函数在上递减，故函数在上递增，所以，故函数不是偶函数，故C错误；对于D，，故D错误，故选：AB.【点睛】抽象函数的判断一般会从函数奇偶性、周期性和对称性的定义推得相关的函数性质；12．【分析】设数列的公差，由求得公差，再由的通项公式求得结果.【详解】设的公差为，所以，所以，所以，解得.故答案为：.13．129【分析】利用特殊值法，结合进行求解即可.【详解】令，得，又，则，解得．故．故答案为：12914．【分析】以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，求出直线的方程与直线的方程，联立求解即可.【详解】以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系.因为，所以，所以，又因为，所以，所以.因为，所以直线的方程为①，因为，所以直线的方程为②.由①可得，代入②化简可得，结合图象易知点可到达，但不可到达，所以点的轨迹方程为，故答案为：15．(1)，(2)【分析】（1）借助余弦定理与面积公式计算即可得；（2）借助正弦定理计算即可得.【详解】（1）在中，由余弦定理得，∵，∴，∴；（2）由（1）知，∵，∴，在中，由正弦定理得，即.16．(1)(2)【分析】（1）由已知条件结合椭圆定义、离心率公式，确定的值，得出椭圆的标准方程.（2）设直线的方程为：，与椭圆方程联立，消去得到关于的一元二次方程，由韦达定理得到，，再把用，表示出来，化简即可得解.【详解】（1）由的周长为16，及椭圆的定义，可知：，即，又离心率为所以．所以椭圆C的方程为：．（2）依题意，直线l与x轴不重合，设l的方程为：．联立得：，因为在椭圆内，所以，即，易知该不等式恒成立，设，由韦达定理得．又，则注意到，即：.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；（5）代入韦达定理求解.17．(1)证明见解析(2)【分析】（1）题意先证明平面，得到，根据线面垂直判定定理得证；（2）作，垂直为Q，由（1）得，证得平面，以B为原点，，，的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系，求得和平面的一个法向量，根据与平面所成角正弦值为，解得参数的值；【详解】（1）证明：由题意知，，又，所以平面，又平面，所以，又，，所以平面（2）作，垂直为Q，由（1）知，平面，又平面，所以，又，，平面，所以平面故以B为原点，，，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，设，则，，，，又，所以，故，设平面的一个法向量为，则，即，取，则设与平面所成角为θ，则，解得或，由题意知，故.

18．(1)；(2)在上单调递减，在上单调递增；(3)证明见解析.【分析】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义及给定切线求出.（2）由（1），利用导数求出函数的单调区间即可.（3）方程变形为，利用方程根的意义换元构造函数，利用导数推理证明不等式.【详解】（1）函数，求导得，由的图象在点处的切线方程为，得，所以.（2）由（1）知，由，得，由，得，所以在上单调递减，在上单调递增.（3）由，得，令，依题意，，则，设，由（2）知在上单调递增，则，，由，得，于是，要证当时，，即证，令，求导得，令，求导得，函数，即在上单调递增，，函数在上单调递增，则当时，，即成立，所以.19．(1)，，，，(2)（ⅰ）4950；（ⅱ）答案见解析(3)【分析】（1）根据逆序的定义求解即可；（2）（ⅰ）由数列为单调递减数列，即可得到逆序数；（ⅱ）当为奇数时，，当为偶数时，，由此分析，即可得逆序数；（3）在数列，，…，中，若与后面个数构成个逆序对，则有不构成逆序对，即可得到答案.【详解】（1）由1，2，3，4构成的逆序对有，，，，，．若第一个数为4，则至少有3个逆序对；若第二个数为4，则恰好有2个逆序对的数列组合为；若第三个数为4，则恰好有2个逆序对的数列组合为或；若第四个数为4，则恰好有2个逆序对的数列组合为或．综上，符合条件的数列组合有：，