五年级奥数数的奇偶性一

第7讲奇偶性（一）

整数依据能不能被2整除，可以分为两类：

（1）能被2整除的自然数叫偶数，例如

0,2,4,6,8,10,12,14,16,…

（2）不能被2整除的自然数叫奇数，例如

1,3,5,7,9,11,13,15,17,…

整数由小到大排列，奇、偶数是交替出现的。相邻两个整数大小相差1,

所以确定是一奇一偶。因为偶数能被2整除，所以偶数可以表示为2n的

形式，其中n为整数；因为奇数不能被2整除，所以奇数可以表示为2n+l

的形式，其中n为整数。

每一个整数不是奇数就是偶数，这个属性叫做这个数的奇偶性。奇偶数有

如下一些重要性质：

（1）两个奇偶性相同的数的和（或差）确定是偶数；两个奇偶性不同

的数的和（或差）确定是奇数。反过来，两个数的和（或差）是偶数，这

两个数奇偶性相同；两个数的和（或差）是奇数，这两个数确定是一奇一

偶。

（2）奇数个奇数的和（或差）是奇数；偶数个奇数的和（或差）是偶

数。随意多个偶数的和（或差）是偶数。

（3）两个奇数的乘积是奇数，一个奇数与一个偶数的乘积确定是偶数。

（4）若干个数相乘，假如其中有一个因数是偶数，则积必是偶数；

假如全部因数都是奇数，则积就是奇数。反过来，假如若干个数的积是偶

数，则因数中至少有一个是偶数；假如若干个数的积是奇数，则全部的因

数都是奇数。

(5)在能整除的状况下，偶数除以奇数得偶数；偶数除以偶数可能

得偶数，也可能得奇数。奇数确定不能被偶数整除。

(6)偶数的平方能被4整除；奇数的平方除以4的余数是1。

因为(2n)2=4n2=4Xn2,所以(2n),能被4整除；

因为(2n+l)2=4n2+4n+l=4X(n2+n)+1,所以(2n+l)?除以4余1。

(7)相邻两个自然数的乘积必是偶数，其和必是奇数。

(8)假如一个整数有奇数个约数(包括1和这个数本身)，则这个

数确定是平方数；假如一个整数有偶数个约数，则这个数确定不是平方数。

整数的奇偶性能解决很多与奇偶性有关的问题。有些问题表面看来好

像与奇偶性一点关系也没有，例如染色问题、覆盖问题、棋类问题等，但

只要想方法编上号码，成为整数问题，便可利用整数的奇偶性加以解决。

例1下式的和是奇数还是偶数？

1+2+3+4+…+1997+1998。

分析与解：本题当然可以先求出算式的和，再来推断这个和的奇偶性。

但假如能不计算，干脆分析推断出和的奇偶性，则解法将更加简洁。依据

奇偶数的性质(2),和的奇偶性只与加数中奇数的个数有关，与加数中

的偶数无关。1〜1998中共有999个奇数，999是奇数，奇数个奇数之和

是奇数。所以，本题要求的和是奇数。

例2能否在下式的口中填上“+”或，使得等式成立？

1口2口3口4口5口6口7口8口9二66。

分析与解：等号左端共有9个数参与加、减运算，其中有5个奇数，

4个偶数。5个奇数的和或差仍是奇数，4个偶数的和或差仍是偶数，因为

“奇数+偶数二奇数”，所以题目的耍求做不到。

例3随意给出一个五位数，将组成这个五位数的5个数码的依次随意

变更，得到一个新的五位数。则，这两个五位数的和能不能等于99999?

分析与解：假设这两个五位数的和等于99999,则有下式：

其中组成两个加数的5个数码完全相同。因为两个个位数相加，和不

会大于9+9=18,竖式中和的个位数是9,所以个位相加没有向上进位，即

两个个位数之和等于9。同理，十位、百位、千位、万位数字的和也都等

于9。所以组成两个加数的10个数码之和等于9+9+9+9+9=45,是奇数。

另一方面，因为组成两个加数的5个数码完全相同，所以组成两个加

数的10个数码之和，等于组成第一个加数的5个数码之和的2倍，是偶

数。

奇数W偶数，冲突的产生在于假设这两个五位数的和等于99999,所

以假设不成立，即这两个数的和不能等于99g99。

例4在一次校友聚会上，久别重逢的老同学相互频频握手。请问：握

过奇数次手的人数是奇数还是偶数？请说明理由。

分析与解：通常握手是两人的事。甲、乙两人握手，对于甲是握手1

次，对于乙也是握手1次，两人握手次数的和是2。所以一群人握手，不

论人数是奇数还是偶数，握手的总次数确定是偶数。

把聚会的人分成两类：A类是握手次数是偶数的人，B类是握手次数

是奇数的人。

（大数减小数），再将这七个差相乘。嬉戏规则是：若积是偶数，则甲胜;

若积是奇数，则乙胜。请说明谁将获胜。

4.某班学生毕业后相约彼此通信，每两人间的通信量相等，即甲给乙

写几封信，乙也要给甲写几封信。问：写了奇数封信的毕业生人数是奇数

还是偶数？

5.A市举办五年级小学生“春晖杯”数学竞赛，竞赛题30道，记分方

法是：底分15分，每答对一道加5分，不答的题，每道加1分，答错一

道扣1分。假如有333名学生参赛，则他们的总得分是奇数还是偶数？

6.把下图中的圆圈随意涂上红色或蓝色。是否有可能使得在同一条直线

上的红圈数都是奇数？试讲出理由。

7.红星影院有1999个座位，上、下午各放映一场电影。有两所学校

各有1999名学生包场看这两场电影，则确定有这样的座位，上、下午在

这个座位上坐的是两所不同学校的学生，为什么？

整数依据能不能被2整除，可以分为两类：

（1）能被2整除的自然数叫偶数，例如

0,2,4,6,8,10,12,14,16,…

（2）不能被2整除的自然数叫奇数，例如

1,3,5,7,9,11,13,15,17,…

整数由小到大排列，奇、偶数是交替出现的。相邻两个整数大小相差1,

所以确定是一奇一偶。因为偶数能被2整除，所以偶数可以表示为2n的

形式，其中n为整数；因为奇数不能被2整除，所以奇数可以表示为2n+l

的形式，其中n为整数。

每一个整数不是奇数就是偶数，这个属性叫做这个数的奇偶性。奇偶数有

如下一些重要性质：

（1）两个奇偶性相同的数的和（或差）确定是偶数；两个奇偶性不同

的数的和（或差）确定是奇数。反过来，两个数的和（或差）是偶数，这

两个数奇偶性相同；两个数的和（或差）是奇数，这两个数确定是一奇一

偶。

（2）奇数个奇数的和（或差）是奇数；偶数个奇数的和（或差）是偶

数。随意多个偶数的和（或差）是偶数。

（3）两个奇数的乘积是奇数，一个奇数与一个偶数的乘积确定是偶数。

（4）若干个数相乘，假如其中有一个因数是偶数，则积必是偶数；

假如全部因数都是奇数，则积就是奇数。反过来，假如若干个数的积是偶

数，则因数中至少有一个是偶数；假如若干个数的积是奇数，则全部的因

数都是奇数。

（5）在能整除的状况下，偶数除以奇数得偶数；偶数除以偶数可能

得偶数，也可能得奇数。奇数确定不能被偶数整除。

（6）偶数的平方能被4整除；奇数的平方除以4的余数是1。

因为（2n）Mn2=4Xn2,所以（2n）,能被4整除;

因为（2n+l）2=4n2+4n+l=4X（n2+n）+1,所以（2n+l）?除以4余1。

（7）相邻两个自然数的乘积必是偶数，其和必是奇数。

（8）假如一个整数有奇数个约数（包括1和这个数本身），则这个

数确定是平方数；假如一个整数有偶数个约数，则这个数确定不是平方数。

练习7

1.五个奇数的和不行能等于22。

2.与例3类似，这位同学计算有错误。

3.甲胜。

提示：七个整数中，奇、偶数的个数确定不等，假如奇（偶）数多，

则至少有一列的两个数都是奇（偶）数，这列的差是偶数，七个差中有一

个偶数，七个差之积必是偶数，所以甲胜。

4.偶数。

提示：因为这次活动是有来有往，所以总的通信数是偶数。乂因为写

了偶数封信的人写信的总数是偶数，所以写了奇数封信的人写信的总数也

是偶数。因为只有偶数个奇数之和是偶数，所以写奇数封信的人数是偶数。

5.奇数。提示：每个同学的得分都是奇数。

6.不行能。

提示：假设在同一条直线上的