中考数学典型大题分类专项训练（无答案）

目录

第一部分函数图象中点的存在性问题

1.1因动点产生的相似三角形问题

1.2因动点产生的等腰三角形问题

1.3因动点产生的直角三角形问题

1.4因动点产生的平行四边形问题

1.5因动点产生的梯形问题

1.6因动点产生的面积问题

1.7因动点产生的相切问题

1.8因动点产生的线段和差问题

第二部分图形运动中的函数关系问题

2.1由比例线段产生的函数关系问题

2.2由面积公式产生的函数关系问题

第三部分图形运动中的计算说理问题

3.1代数计算及通过代数计算进行说理问题

3.2几何证明及通过几何计算进行说理问题

第一部分函数图象中点的存在性问题

1.1因动点产生的相似三角形问题

例1如图1,在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线y=a?+公(心＞0)经

过点A和x轴正半轴上的点B,AO=BO=2,N4OB=120°.

(1)求这条抛物线的表达式；

(2)连结OM,求NAOM的大小；

(3)如果点C在x轴上，且△ABC与△AOM相似，求点。的坐标.

例2如图1,已知抛物线y=1x2__Ls+l»+2（b是实数且b>2）与X轴的正半

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轴分别交干点A、8（点A侑于点B是彳侧），与y轴的正半轴交千点C.

（1）点8的坐标为,点C的坐标为（用含匕的代数式表示）；

（2）请你探索在第一象限内是否存在点P,使得四边形PCOB的面积等于2b,且△PBC

是以点尸为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说

明理由；

（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q,使得△QC。、△QOA和AQAB中的

任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q的坐标；如

果不存在，请说明理由.

例」3如图1,已知抛物线的方程G：y=-l(x+2)(x-m)(机＞0)与x轴交于点8、C,

m

与y轴交千点E.日点B在点。的左侧.

(1)若抛物线C1过点M(2,2),求实数〃，的值；

(2)在(1)的条件下，求ABCE的面积；

(3)在(1)的条件下，在抛物线的对称轴上找一点”，使得8H+EH最小，求出点〃

的坐标；

(4)在第四象限内，抛物线C1上是否存在点八使得以点8、C、/为顶点的三角形

与ABCE相似？若存在，求m的直；若不存在，请说明理由.

图1

例|4如图1,已知梯形。ABC,抛物线分别过点O(0,0)、A(2,0)、B(6,3).

(1)直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐标；

(2)将图1中梯形QA4C的上下底边所在的直线QA、8以相同的速度同时向上平移，

分别交抛物线于点Oi、Ai、G、⑤，得到如图2的梯形OIABIG.设梯形0质出C1的面积

为S,4、&的坐标分别为(xi,yi)、(X2,>12).用含S的代数式表示叼一汨，并求出当S=36

时点4的坐标；

(3)在图1中，设点。的坐标为(1,3),动点P从点3出发，以每秒I个单位长度的

速度沿着线段3C运动，动点。从点。出发，以与点尸相同的速度沿着线段0M运动.尸、

。两点同时出发，当点Q到达点历时，P、Q两点同时停止运动.设P、。两点的运动时间

为，，是否存在某一时刻，，使得直线PQ、直线AB、x轴围成的三角形与直线PQ、直线A3、

例5如图1,抛物线经过点A(4,0)、B(1,0)、C(0,-2)三点.

(1)求此抛物线的解析式；

(2)「是抛物线上的一个动点，过「作轴，垂足为M,是否存在点P,使得以

A、P、M为顶点的三角形与△O4C相似？若存在，请求出符合条件的点尸的坐标：若不

存在，请说明理由：

图1

例6

如图1・融物线y-aQ一】）（工-5）与工■的交点为M、N.直线（y・AI+b与］，交于

P（-2.0）.与V轴交于C.若A、B两点在宜线y=匕+6上•且AO•BO-^.AO±BO.

D为线段MN的中点・OH为RtAOPC斜边上的高.

）H的长度等于▲■=▲・6一▲.

（2）是否存在实数a.使得抛物线N-aa+Da-5）上有一点E,满足以D、N、E为顶点的

三角形与AAOB相似？

若不存在，说明理由：若存在•求所有符合条件的抛物线的解析式,同时探索所求得的抛

物线上是否还有符合条件的£点（简要说明理由八井迸一步探索对符合条件的每一个

E点.在线NE与直线A8的交点G是否总满足P8•PGV10&.写出探索过程.

1.2因动点产生的等腰三角形问题

例1如图1,在RtZXABC中，ZA=90°,AB=6,AC=8,点。为边BC的中点，

OEL8C交边4c于点£,点尸为射线上的一动点，点。为边AC上的一动点，且NPOQ

=90°.

(1)求E£＞、EC的长;

(2)若BP=2,求CQ的长；

(3)记线段尸。与线段OE的交点为F,若尸为等腰三角形，求BP的长.

例2如图1,抛物线丁=加+加+6•经过A(—1,0)、B(3,0)、C(0,3)三点，直线/是抛

物线的对称轴.

(1)求抛物线的函数关系式；

(2)设点户是直线/上的一个动点，当△以。的周长最小时，求点P的坐标；

(3)在直线/上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合

条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由.

例3如图1,点4在x轴二，Q4=4,将线段Q4绕点0顺时针旋转120°至08的

位置.

(1)求点B的坐标；

(2)求经过A、。、B的抛物线的解析式；

(3)在此抛物线的对称轴.匕是否存在点P,使得以点P、0、8为顶点的三角形是等

腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由.

份!|4如图1,已知一次函数），=一1+7与正比例函数），=gx的图象交于点A,且与x轴交

于点B.

（1）求点A和点8的坐标；

（2）过点A作AC_L），轴于点C,过点8作直线/〃/轴.动点尸从点。出发，以每秒1

个单位长的速度，沿。一C—A的路线向点4运动；同时直线/从点B出发，以相同速度向

左平移，在平移过程中，直线/交x轴于点R,交线段氏4或线段A。于点Q.当点P到达

点A时，点尸和直线/都停止运动.在运动过程中，设动点尸运动的时间为/秒.

①当，为何值时，以4、P、R为顶点的三角形的面积为8?

②是否存在以A、P、。为顶点的三角形是等腰

三角形？若存在，求/的值；若不存在，请说明理由.

例|5如图1,在矩形A8CD中，（〃?是大于0的常数），BC=8,E为线段8C

上的动点（不与8、C重合）.连结。E,作E/LLQE,E/与射线B4交于点凡设CE=x,

BF=y.

(1)求y关于x的函数关系式；

(2)若用=8,求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？

12

(3)若丁="，要使aoE尸为等腰三角形，，〃的值应为多少？

m

B

图1

例6如图1,在等腰梯形A5c。中，ADHBC,E是48的中点，过点E作EF//BC交

8于点尸，A8=4,8c=6,NB=60°.

（1）求点E到8c的距离；

（2）点P为线段上产上的一个动点，过点P作PMJ_E尸交BC于M,过M作MN//AB

交折线4OC于N,连结PM设EP=x.

①当点N在线段A。上时（如图2）,△PMN的形状是否发生改变？若不变，求出△PMN

的周长；若改变，请说明理由；

②当点N在线段。。上时（如图3）,是否存在点P,使为等腰三角形？若存在，

请求出所有满足条件的x的值；若不存在，请说明理由.

1.3因动点产生的直角三角形问题

例1如图1,抛物线y=一_|工一4与x轴交于A、B两点(点8在点A的右侧),

与y轴交于点C,连结BC,以8c为一边，点。为对称中心作菱形BOEC,点夕是x轴上

的一个动点，设点P的坐标为(肛0),过点尸作x轴的垂线/交抛物线于点Q.

(1)求点A、B、C的坐标；

(2)当点尸在线段0B上运动时，直线/分别交80、8C于点M、N.试探究用为何

值时，四边形CQM。是平行四边形，此时，请判断四边形CQ8M的形状，并说明理由；

(3)当点P在线段EB上运动时，是否存在点Q,使△8。。为直角三角形，若存在，

请直接写出点。的坐标；若不存在，请说明理由.

例1如图1,抛物线丁二一，2一3工+3与X轴交于A、B两点(点4在点8的左侧),

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与y轴交于点C.

(I)求点4、B的坐标；

(2)设。为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACO的面积等于AACB的面积

时，求点。的坐标；

(3)若直线/过点E(4,0),M为直线/上的动点，当以4、B、M为顶点所作的直角三

角形有且只有三个时，求直线/的解析式.

例3在平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数），=网/+工-1）的图象交于点A（1人）

和点B（—1,—2）.

（1）当攵=一2时，求反比例函数的解析式；

（2）要使反比例函数与二次函数都是y随x增大而增大，求火应满足的条件以及x的

取值范围；

（3）设二次函数的图象的顶点为Q,当△ABQ是以A8为斜边的直角三角形时，求左

的值.

例4设直线A丁=加+"与Ny=hr+b2,若/」/2,垂足为”，则称直线/i

与，2是点”的直角线.

(1)已知直线①)，=一白+2;©y=x+2；®y=2x+2；④y=2x+4和点C(0,2),

则直线和是点C的直角线(填序号即可)；

(2)如图，在平面直角坐标系中，直角梯形0ABe的顶点4(3,0)、8(2,7)、C(0,7),

P为线段OC上一点，设过从P两点的直线为小过4、P两点的直线为6,若八与12是点

产的直角线，求直线人与6的解析式.

图1

例5在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=一竺1■/+网/+病一3加+2与x轴

44

的交点分别为原点。和点A,点8(2,〃)在这条抛物线上.

(1)求点B的坐标；

(2)点尸在线段04上，从点。出发向点A运动，过点尸作x轴的垂线，与直线OB

交于点E,延长PE到点。，使得EO=PE,以PD为斜边，在P。右侧作等腰直角三角形

PCD(当点P运动时，点。、。也随之运动).

①当等腰直角三角形PCD的顶点C落在此抛物线上时，求OP的长；

②若点P从点。出发向点A作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA上另一

个点Q从点A出发向点。作匀速运动，速度为每秒2个单位(当点Q到达点O时停止运动,

点P也停止运动).过。作％轴的垂线，与直线A8交于点凡延长QF到点M,使得/M=

QF,以QM为斜边，在QM的左侧作等腰直角三角形QMN(当点。运动时，点M、N也

随之运动).若点P运动到，秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线

上，求此刻f的值.

图1

例6如图1,已知A、8是线段MN上的两点，MN=4,M4=l,MB>1.以A

为中心顺时针旋转点以8为中心逆时针旋转点M使M、N两点重合成一点C,构成△

ABC,设A6=x.

（1）求x的取值范围；

（2）若△ABC为直角三角形，求x的值；

（3）探究：△ABC的最大面积？

例7如图1,直线y=-gx+4和x轴、y轴的交点分别为B、。，点A的坐标是

（-2,0）.

（1）试说明△A5C是等腰三角形；

（2）动点M从A出发沿x轴向点3运动，同时动点N从点5出发沿线段3c向点C

运动，运动的速度均为每秒1个单位长度.当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动.设

M运动/秒时，△MON的面积为S.

①求S与/的函数关系式；

②设点M在线段08上运动时，是否存在S=4的情形？若存在，求出对应的，值；若

不存在请说明理由；

③在运动过程中，当△MON为直角三角形时，求/的值.

图1

1.4因动点产生的平行四边形问题

例1如图1,已知抛物线丁=一1+公+。经过4(0,1)、8(4,3)两点.

(1)求抛物线的解析式；

(2)求tan/ABO的值；

(3)过点B作BCLxfill,垂足为C,在对称轴的左侧且平行于)，轴的直线交线段AB

于点N,交抛物线于点若四边形MNC8为平行四边形，求点M的坐标.

图1

例2如图1,在RtZ\A8C中，ZC=90°,AC=6,BC=8,动点P从点A开始沿边

AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点Q从点。开始沿边CB向点B以每秒2

个单位长度的速度运动，过点、P但PD//BC,交A8于点。，联结P。.点P、。分别从点4、

C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动的时间为/秒620）.

（1）直接用含f的代数式分别表示：QB=,PD=；

（2）是否存在，的值，使四力形PDBQ为菱形？若存在，求出f的值；若不存在，说

明理由，并探究如何改变点。的速度（匀速运动），使四边形PQ8Q在某一时刻为菱形，求

点。的速度；

（3）如图2,在整个运动过程中，求出线段PQ的中点M所经过的路径长.

PA

例3如图1,在平面直角坐标系中，己知矩形A8CO的三个顶点8(1,0)、C(3,0)、

D(3,4).以A为顶点的抛物线过点C.动点尸从点4出发，沿线段AB向点

B运动,同时动点。从点C出妥，沿线段向点。运动.点P、。的运动速度均为每秒1

个单位，运动时间为，秒.过点P作PEL4B交AC于点£

(1)直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；

(2)过点E作E尸_LAD于尸，交抛物线于点G,当，为何值时，AACG的面积最大？

最大值为多少？

(3)在动点P、。运动的过程中，当/为何值时，在矩形ABCO内(包括边界)存在

点，，使以C、Q、E、，为顶点的四边形为菱形？请直接写出f的值.

例4已知平面直角坐标系xo），（如图1）,一次函数），=之彳+3的图象与y轴交于点A,

4

点M在正比例函数v=3x的图象上，且M0=M4.二次函数

2

+6x+c的图象经过点A、M.

（1）求线段AM的长；

（2）求这个二次函数的解析式；

（3）如果点8在y轴匕且位于点A下方，点C在上述二次函数的图象上，点。在一

次函数），=之工+3的图象上，且四边形ABCQ是菱形，求点C的坐标.

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例5将抛物线ci：y=-Q?+G沿x轴翻折，得到抛物线C2,如图1所示.

（1）请直接写出抛物线C2的表达式；

（2）现将抛物线ci向左平移加个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为M,与x

轴的交点从左到右依次为A、8；将抛物线优向右也平移机个单位长度，平移后得到新抛物

线的顶点为N,与x轴的交点从左到右依次为。、E.

①当8、力是线段AE的三等分点时，求〃?的值；

②在平移过程中，是否存在以点A、N、E.M为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，

请求出此时机的值；若不存在，请说明理由.

图1

例6在直角梯形045。中，CB〃0A,NCO4=90°,CB=3,0A=6,BA=3后.分

别以。4、0C边所在直线为x轴、y轴建立如图1所示的平面直角坐标系.

(1)求点B的坐标；

(2)已知。、E分别为线段0C、。8上的点，00=5,0E=2EB,直线。石交x轴于

点F.求直线DE的解析式；

(3)点M是(2)中直线OE上的一个动点，在x轴上方的平面内是否存在另一点M

使以0、。、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说

明理由.

例7如图1,抛物线丁=一一+2工+3与工轴相交于A、8两点(点A在点8的左侧),

与y轴相交于点C,顶点为D

(1)直接写出A、8、C三点的坐标和抛物线的对称轴；

(2)连结BC,与抛物线的对称轴交于点E,点P为线段8。上的一个动点，过点P作

PF//DE交抛物线于点F,设点尸的横坐标为机.

①用含机的代数式表示线段尸尸的长，并求出当〃?为何值时，四边形PEOr为平行四

边形？

②设△BC77的面积为S,求S与加的函数关系.

1.5因动点产生的梯形问题

例1已知直线y=3x—3分别与x轴、)，轴交于点A,B,抛物线y=ad+2x+c经过

点A,B.

(1)求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；

(2)记该抛物线的对称轴为直线，，点8关于直线/的对称点为C,若点。在y轴的正

半轴上，旦四边形ABC。为梯形.

①求点D的坐标；

②将此抛物线向右平移，平移后抛物线的顶点为P,其对称轴与直线y=3x-3交于点E,

若tan/DPE=2，求四边形BQEP的面积.

7

例2如图1,把两个全等的RtAAOB和RlZ\CO。方别置于平面直角坐标系中，使直

角边。4、。。在x轴上.已知点41,2),过A、C两点的直线分别交x轴、1y轴于点E、F.抛

物线)，=加+区+6经过0、A、C三点.

(1)求该抛物线的函数解析式；

(2)点尸为线段0C上的一个动点，过点尸作y轴的平行线交抛物线于点M,交x轴

于点M问是否存在这样的点P,使得四边形ABPM为等腰梯形？若存在，求出此时点P

的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)若AAOB沿4C方向平移(点4始终在线段4c上，且不与点C重合)，^AOB

在平移的过程中与△COO重叠部分的面积记为S.试探究S是否存在最大值？若存在，求

出这个最大值；若不存在，请说明理由.

伤Ij4已知二次函数的图象经过4（2,0）、C（0,12）两点,且对称轴为直线x=4,

设顶点为点P，与x轴的另一交点为点艮

（1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；

（2）如图1,在直线y=2r上是否存在点。，使四边形OP&）为等腰梯形？若存在，

求出点。的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）如图2,点M是线段OP上的一个动点（。、尸两点除外），以每秒应个单位长度

的速度由点P向点。运动，过点“作直线MN//X轴，交P8于点M将沿直线MN

对折，得到△PiMN.在动点M的运动过程中，设△PiMN与梯形0MN8的重登部分的面

积为S,运动时间为r秒，求S关于/的函数关系式.

图1图2

伤115如图1,在平面直角坐标系xOy中，抛物线的解析式是y='/+1,点。的

4

坐标为(-4,0),平行四边形OA8C的顶点4,B在抛物线上，A8与y轴交于点M,已知点

。。，y)在抛物线上，点、PQ,0)在x轴上.

(1)写出点〃的坐标；

(2)当四边形CMQ尸是以M0,PC为腰的梯形时.

①求，关于x的函数解析式和自变量x的取值范围；

②当梯形CMQP的两底的长度之比为1：2时，求，的值.

图1

例7如图1,二次函数丁=12+a+式〃〈0)的图象与工轴交于4、8两点，与y

轴交于点C(0,-1),△ABC的面积为2.

(1)求该二次函数的关系式；

(2)过)，轴上的一点M(0,m)作y轴的垂线，若该垂线与△AEC的外接圆有公共点,

求加的取值范围；

(3)在该二次函数的图象上是否存在点。，使以A、B、C、力为顶点的四边形为直角

梯形？若存在，求出点。的坐标；若不存在，请说明理由.

1.6因动点产生的面积问题

例1如图1,已知抛物线旷=；/+云+。"、c是常数，且CVO)与上轴交于4、

8两点(点4在点8的左侧)，与y轴的负半轴交于点C,点A的坐标为(-1,0).

(1)b=,点B的横坐标为(上述结果均用含c的代数式表示)；

(2)连结4C,过点A作直线AE//BC,与抛物线交于点E点。是x轴上一点，坐标

为(2,0),当C、。、E三点在同一直线上时，求抛物线的解析式；

(3)在(2)的条件下，点P是％轴下方的抛物线上的一动点，连结P8、PC.设△P8C

的面积为S.

①求S的取值范围；

②若APBC的面积S为正整数，则这样的△尸BC共有____个.

伤Ij2如图1,在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为4(0,1)、8(2,0)、

0(0,0),将此三角板绕原点。逆时针旋转90°,得到三角形490.

(1)一抛物线经过点4、B\B,求该抛物线的解析式；

(2)设点P是第一象限内抛物线上的一个动点，是否存在点P,使四边形PEAB的面

积是△46。面积的4倍？若存在，请求出点尸的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)在(2)的条件下，试指出四边形尸斤48是哪种形状的四边形？并写出它的两条

性质.

图1

例3如图L在平面直角坐标系中，直线y=Lx+l与抛物线尸加+以-3交于4

2

B两点,点A在x轴上，点3的纵坐标为3.点P是直线A8下方的抛物线上的一动点（不

与点A、B重合），过点P作x轴的垂线交直线AB于点C,作尸。_LA8于点D

（1）求。、6及sin/ACP的值；

（2）设点P的横坐标为m.

①用含m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD长的最大值；

②连结P8,线段尸。把△PD8分成两个三角形，是否存在适合的机的值，使这两个三

角形的面积比为9：10?若存在，直接写出小的值；若不存在，请说明理由.

例4如图1,直线/经过点A(l,0),且与双曲线丁=丝(七>0)交于点8(2,1).过点

P(P，〃T)(P>D作x轴的平行线分别交曲线和y=-"(xVO)于M、N两点•

xx

(1)求利的值及直线I的解析式；

(2)若点尸在直线)，=2上，求证：△PMBs△尸NA；

(3)是否存在实数p,使得SMMN=4SMMP?若存在，请求出所有满足条件的p的值;

若不存在，请说明理由.

图1

例5如图1,四边形0A8C是矩形，点4、C的坐标分别为(3,0),(0,1).点。是线段

BC上的动点(与端点B、。不重合)，过点。作直线丁二一;x+b交折线OA8于点£

(1)记△ODE的面积为S,求S与b的函数关系式；

(2)当点E在线段OA上时,若矩形0ABe关于直线DE的对称图形为四边形0i48G，

试探究四边形OIABIG与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出重叠

部分的面积；若改变，请说明理由.

例6如图1,在AABC中，ZC=90°,AC=3,BC=4,CD是斜边A8上的高，

点E在斜边AB上，过点E作直线与△ABC的直角边相交于点F,设AE=x,ZVlE尸的面积

为y.

（1）求线段AO的长：

（2）若EELAB,当点E在斜边A8上移动时，

①求），与K的函数关系式（写出自变量x的取值范围）；

②当x取何值时，y有最大值？并求出最大值.

（3）若点尸在直内边AC上（点尸与A、。不重合），点E在斜边AB上移动，试问，

是否存在直线E尸将△ABC的周长和面积同时平分？若存在直线求出x的值；若不存

在直线ER请说明理由.

例7如图1,正方形A8c。中，点A、8的坐标分别为(0,10),(8,4),点。在

第一象限.动点P在正方形A8CD的边上，从点4出发沿4f匀速运动，同时动

点Q以相同速度在工轴上运动，当P点到。点时，两点同时停止运动，设运动的时间为/

秒.

(1)当P点在边48上运动时，点。的横坐标x(长度单位)关于运动时间t(秒)的

函数图象如图2所示，请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度；

(2)求正方形边长及顶点C的坐标；

(3)在(1)中当/为何值时，的面积最大，并求此时尸点的坐标.

(4)如果点P、。保持原速度速度不变，当点P沿A-B-C-D匀速运动时，OP与

尸Q能否相等，若能，写出所有符合条件的，的值；若不能，请说明理由.

1.7因动点产生的相切问题

例1如图1,已知00的半径长为3,点A是。。上一定点，点P为。0上不同于

点A的动点.

（1）当.■=■!■时，求AP的长；

（2）如果。。过点P、0,且点。在直线4尸上（如图2）,设人尸=x,QP=y,求y关

于x的函数关系式，并写出函数的定义域；

（3）在（2）的条件下，当tanA=±时（如图3）,存在。M与。。相内切，同时与。。

3

相外切，且0M_L0Q,试求。M的半径的长.

例2如图1,4（一5,0）,B（—3,0）,点C在），轴的正半轴上，NCBO=45°,CD//AB,

NCD4=90°.点P从点Q（4,0）出发，沿x轴向左以每秒1个单位长的速度运动，运动时间

为，秒.

(1)求点C的坐标；

(2)当NBCP=15°时，求，的值；

(3)以点P为圆心，PC为半径的。尸随点P的运动而变化，当。尸与四边形ABCD

的边（或边所在的直线）相切时，求f的值.

例3如图1,菱形ABCD的边长为2厘米，ND4B=60°.点P从A出发，以每

秒石厘米的速度沿AC向C作匀速运动；与此同时，点。也从点A出发，以每秒1厘米的

速度沿射线作匀速运动.当点尸到达点C时，P、。都停止运动.设点P运动的时间为f秒.

（1）当P异于A、C时，请说明PQ//8C；

（2）以P为圆心、PQ长为半径作圆，请问：在整个运动过程中，，为怎样的值时，0

P与边BC分别有1个公共点和2个公共点？

1.8因动点产生的线段和差问题

例1在平面直角坐标系中，已知点A（—2,0）,8（0,4）,点E在。8上，且/O4E=N

OBA.

（1）如图1,求点E的坐标；

（2）如图2,将△AE。沿x轴向右平移得到△A£。，，连结AB、BE.

①设其中0VmV2,使用含机的式子表示A序+B£2,并求出使/T不+BE?

取得最小值时点E的坐标；

②当48+BE取得最小值时，求点E的坐标（直接写出结果即可）.

例2如图1,在平面直角坐标系中，抛物线丫=加+云+，经过4(一2,—4)、0(0,0)、

8(2,0)三点.

(1)求抛物线j=avIbxIc的解析式；

(2)若点M是该抛物线对称轴上的一点，求AM+OM的最小值.

图1

1503如图1,在平面直角坐标系中，抛物线y=-f+2x+3与x轴交于A、B两点,

与y轴交于点C,点。是抛物线的顶点.

(1)求直线AC的解析式及B、。两点的坐标；

(2)点夕是工轴上的一个动点，过P作直线Z//4C交抛物线于点Q.试探究：随着点P

的运动，在抛物线上是否存在点。，使以A、P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形？若存

在，请直接写出符合条件的点。的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)请在直线AC上找一点使△8QM的周长最小，求出点历的坐标.

图1

第二部分函数图象中点的存在性问题

2.1由比例线段产生的函数关系问题

伤|]1如图1,在平面直角坐标系中，0为坐标原点，点A的坐标为(0,4),点8的坐

标为(4,0),点C的坐标为(-4,0),点P在射线A8上运动，连结CP与)，轴交于点。，连结

BD.过P、D、8三点作。Q,与)，轴的另一个交点为E,延长OQ交。。于尸，连结EA

BF.

(1)求直线A8的函数解析式；

(2)当点P在线段48(不包括A、8两点)上时.

①求证：ZBDE=ZADP；

②设OE=x,DF=yt请求出y关于x的函数解析式；

(3)请你探究：点P在运动过程中，是否存在以仄。、尸为顶点的直角三角形，满足

两条直角边之比为2：1?如果存在，求出此时点P的坐标；如果不存在，请说明理由.

图1

例2在RtZ\ABC中，NC=90。，4C=6,sinB=。，OB的半径长为1,OB交边

5

CB于点尸，点。是边48上的动点.

(1)如图1,将。B绕点P旋转180°得到。M,请判断(DM与真线AB的位置关系：

(2)如图2,在(1)的条件下，当△OMP是等腰三角形时，求OA的长；

(3)如图3,点N是边上的动点，如果以M?为半径的。N和以OA为半径的。。

伤!|3如图1,甲、乙两人分别从4、8两点同时出发，点O为坐标原点.甲沿A。

方向、乙沿60方向均以每小时4千米的速度行走，/小时后，甲到达M点，乙到达N点.

（1）请说明甲、乙两人到达点。前，MN与A"不可能平行；

（2）当，为何值时，△OMNsAOBA?

（3）甲、乙两人之间的距离为MN的长.设5=肋\巴求$与，之间的函数关系式，并

求甲、乙两人之间距离的最小值.

图1

例4在RdABC中，N4CB=90°,BC=30,AB=50.点尸是4B边上任意一点，

直线PEJ_AB,与边AC或相交于E.点M在线段A尸上，点N在线段B尸上，EM=EN,

sinZEMP=--

13

(1)如图1,当点E与点。重合时，求CM的长；

(2)如图2,当点E在边AC上时，点E不与点A、C重合，设AP=x,BN=y,求y

关于x的函数关系式，并写出函数的定义域；

(3)若△AMEs/\ENB(Z\AWE的顶点4、M、E分别与AENB的顶点£、N、8对应)，

2.2由面积产生的函数关系问题

例J1如图1,△ABC是以BC为底边的等腰三角形，点A、C分别是一次函数

Q1

y=+3的图像与y轴、x轴的交点，点8在二次函数y=（炉+以+。的图像上，且该

二次函数图像上存在一点D使四边形ABCD能构成平行四边形.

（1）试求b、c的值，并写出该二次函数的解析式；

（2）动点P从4到。，同时动点。从C到4都以每秒1个单位的速度运动，问：

①当尸运动到何处时，由尸QJ_AC?

②当P运动到何处时，四边形POCQ的面积最小？此时四边形POCQ的面积是多少？

图I

例2如图1,抛物线__|l一9与x轴交于小B两点,与y轴交于点C,联

结8C、AC.

(1)求A8和。。的长；

(2)点E从点A出发，沿x轴向点B运动(点E与点A、8不重合)，过点E作BC的

平行线交AC于点D.设AE的长为小，ZXAOE的面积为s,求s关于机的函数关系式，并

写出自变量机的取值范围；

(3)在(2)的条件下，联结CE,求面积的最大值；此时，求出以点E为圆心,

与8C相切的圆的面积(结果保留工).

图1

例3如图1,图2,在△ABC中，48=13,BC=14,cosZABC=—.

13

探究如图1，A〃_L8C于点〃，则A”=,AC=,ZVIBC的面积SAASC=

拓展如图2,点。在AC上(可与点A、C重合)，分别过点A、。作直线8。的垂线,

垂足为E、F.设80=斯AE=m,CF=n.(当点。与点A重合时，我们认为％ABD=0)

(1)用含x,加或〃的代数式表示S4ABD及SACBD;

(2)求(〃?+〃)与x的函数关系式，并求(m+〃)的最大值和最小值；

(3)对给定的一个x值，有时只能确定唯一的点。，指出这样的x的取值范围.

发现请你确定一条直线，使得A、8、C三点到这条直线的距离之和最小(不必写出

过程)，并写出这个最小值.

伤!I4如图1,在RtZXABC中，ZC=90°,AC=8,BC=6,点P在AB上，AP=2.点

E、尸同时从点P出发，分别沿刚、尸8以每秒1个单位长度的速度向点A、8匀速运动，

点E到达点A后立刻以原速度沿A8向点B运动，点尸运动到点B时停止，点E也随之停

止.在点E、尸运动过程中，以EF为边作正方形EFGH,使它与△ABC在线段的同侧.设

E、产运动的时间为/秒(f>0),正方形EFG”与△ABC重叠部分的面积为S.

(1)当/=1时，正方形EFG”的边长是；当/=3时，正方形EFGH的边长

是：

(2)当1V/W2时，求S与f的函数关系式；

(3)直接答出：在整个运动过程中，当f为何值时，S最大？最大面积是多少？

图1

伤IJ5如图1,在平面直角坐标系中，四边形OABC是平行四边形.直线1经过0、C

两点，点A的坐标为(8,0),点B的坐标为(11,4),动点P在线段0A上从O出发以每秒

1个单位的速度向点A运动，同时动点Q从点A出发以每秒2个单位的速度沿A->B->C的

方向向点C运动，过点P作PM垂直于x轴，与折线O—C—B相交于点M.当P、Q两点

中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点P、Q运动的时间为t秒(t>0),△

MPQ的面积为S.

(1)点C的坐标为,直线1的解析式为；

(2)试求点Q与点M相遇前S与t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围.

(3)试求题(2)中当t为何值时，S的值最大？最大值是多少？

例6如图1,矩形48co中，AB=6,8C=2j