广东省惠州市华南师范大学附属惠阳学校2024-2025学年高一下学期第一次月考数学试卷（含解析）

广东省惠州市华南师范大学附属惠阳学校2024−2025学年高一下学期第一次月考数学试卷一、单选题（本大题共8小题）1．（）A． B． C． D．2．已知向量，，若与共线，则实数（

）A． B． C．1 D．23．已知等边的边长为1，点分别为的中点，若，则（

）A． B．C． D．4．已知向量，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．在△ABC中，D是BC上一点，满足，M是AD的中点，若，则（

）A． B．1 C． D．6．已知在直角中，角所对边分别为，若且满足，，且点在上，则的值为（

）A． B． C． D．7．欧拉是十八世纪数学界最杰出的人物之一，数学史上称十八世纪为“欧拉时代”.1735年，他提出公式：复数是虚数单位.已知复数，设，则的值可能是（

）A． B． C． D．8．已知平面向量，满足，，且在上的投影向量为，则与的夹角为（）A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．已知复数，，则（

）A．的虚部为1 B．为纯虚数C． D．在复平面内对应的点位于第一象限10．在中，角，，的对边分别为，，，若，且，则不可能为（

）A．等腰直角三角形 B．等边三角形C．锐角三角形 D．钝角三角形11．如图，某旅游部门计划在湖中心处建一游览亭，打造一条三角形游览路线．已知是湖岸上的两条甬路，（观光亭视为一点，游览路线、甬路的宽度忽略不计），则（

）A．B．当时，C．面积的最大值为D．游览路线最长为三、填空题（本大题共3小题）12．已知向量和向量的夹角为30°，，，则．13．已知是虚数单位，复数，则|z|＝．14．在中，，，则的值为．四、解答题（本大题共5小题）15．设，是两个不共线的向量，已知，，．(1)求证：，，三点共线；(2)若，且，求实数的值．16．已知，.(1)求；(2)求向量在向量上的投影向量的模．17．△ABC中，角A、B、C的对边为a，b，c，已知，且.(1)求角A的大小；(2)若，求△ABC的周长的值.18．养殖户承包一片靠岸水域，如图所示，，为直线岸线，千米，千米，，该承包水域的水面边界是某圆的一段弧，过弧上一点P按线段和修建养殖网箱，已知．(1)求岸线上点A与点B之间的直线距离；(2)如果线段上的网箱每千米可获得2万元的经济收益，线段上的网箱每千米可获得4万元的经济收益．记，则这两段网箱获得的经济总收益最高为多少万元？19．对于给定的正整数n，记集合，其中元素称为一个n维向量，特别地，称为零向量.设，，，定义加法和数乘：，.对一组向量，，…，，若存在一组不全为零的实数，，…，，使得，则称这组向量线性相关，否则称为线性无关.(1)判断下列各组向量是线性相关还是线性无关，并说明理由.①，；②，，；(2)已知，，线性无关，判断，，是线性相关还是线性无关，并说明理由.(3)已知个向量，，…，线性相关，但其中任意个都线性无关，证明：①如果存在等式，则这些系数，，…，或者全为零，或者全不为零；②如果两个等式，同时成立，其中，则.

参考答案1．【答案】D【详解】.故选D.2．【答案】C【详解】已知向量,,所以，因为与共线，所以，解得：.故选C.3．【答案】A【详解】在中，取为基底，因为点分别为的中点，，所以，所以.故选A.4．【答案】A【详解】由可得，故，所以.由可得，故，而方向不一定相同，故.不能得到.综上得，“”是“”的充分不必要条件.故选A.5．【答案】C【详解】由题可知，，,所以有，所以，得.故选C.6．【答案】B【详解】由题意可作图如下：由，则由，则，解得，易知，则，即，.故选B.7．【答案】B【详解】，，，依题意，，当时，，B正确，ACD错误.故选B8．【答案】A【详解】由，得①，由，得②，由②-①，得，由，得，所以，则，设与的夹角为，则，因为，所以.故选A.9．【答案】BCD【详解】，虚部为2，A错；，是纯虚数，B正确；，C正确；，对应点坐标为，在第一象限，D正确，故选BCD．10．【答案】BCD【详解】由余弦定理求出，然后可得角，然后可选出答案.【详解】由余弦定理，所以，又，所以，故为等腰直角三角形.故选BCD.11．【答案】ACD【详解】在中，由余弦定理得，所以正确；在中，由正弦定理，得错误；在中，由余弦定理，，当且仅当时等号成立，所以，则的面积为，C正确；由上可得，所以，当且仅当时等号成立，所以，D正确.故选ACD.12．【答案】3【详解】解：量和向量的夹角为，，，又，.13．【答案】【详解】根据的周期性（周期为），即，，，，所以有,可知,.14．【答案】【详解】在中，，可得即由余弦定理可知，可得，由正弦定理可知，因为，所以.15．【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）由已知，得．因为，所以.又与有公共点，所以，，三点共线．（2）由（1），知，若，且，可设（），所以，即．又，是两个不共线的向量，所以，解得．16．【答案】(1)(2)【详解】（1）由，得，而，则，解得，所以.（2）由（1）知，，向量在向量上的投影向量为，所以向量在向量上的投影向量的模为.17．【答案】(1)(2)【详解】（1）因为，所以，即，所以，因为，所以（2）因为，所以，即，所以，由（1）知，所以又，所以，解得，所以△ABC的周长为，所以△ABC的周长为.18．【答案】(1)千米(2)万元.【详解】（1）在中，由余弦定理得，即岸线上点与点之间的直线距离为千米；（2）在中，，则，，设两段网箱获得的经济总收益为万元，则，因为，所以，所以，所以两段网箱获得的经济总收益最高接近万元．19．【答案】(1)①线性无关；②线性相关；理由见解析(2)向量，，线性无关；理由见解析(3)①证明见解析；②证明见解析【详解】（1）对于①，设，则可得，所以，线性无关；

对于②设，则可得，所以，，可取不全为零，故，线线性相关；（2）设，则，因为向量，，线性无关，