高考数学 重难点题型归纳-第20讲 立体几何中的轨迹问题(解析版)

PageSeq第20讲立体几何中轨迹问题7类【题型一】由动点保持平行性求轨迹【典例分析】如图，在边长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H、N分别是CC1、C1D1、DD1、CD、BC的中点，M在四边形EFGH边上及其内部运动，若MN∥面A1BD，则点M轨迹的长度是（）A．a B．a C． D．【答案】D【分析】连接GH、HN，有GH∥BA1，HN∥BD，证得面A1BD∥面GHN，由已知得点M须在线段GH上运动，即满足条件，由此可得选项.【详解】解：连接GH、HN、GN，∵在边长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是CC1、C1D1、DD1、CD的中点，N是BC的中点，则GH∥BA1，HN∥BD，又面A1BD，BA1面A1BD，所以面A1BD，同理可证得面A1BD，又，∴面A1BD∥面GHN，又∵点M在四边形EFGH上及其内部运动，MN∥面A1BD，则点M须在线段GH上运动，即满足条件，GH=a，则点M轨迹的长度是a.故选：D.【变式演练】1.在三棱台中，点在上，且，点是三角形内（含边界）的一个动点，且有平面平面，则动点的轨迹是（）A．三角形边界的一部分 B．一个点C．线段的一部分 D．圆的一部分【答案】C【分析】过作交于，连接，证明平面平面，得，即得结论．【详解】如图，过作交于，连接，，平面，平面，所以平面，同理平面，又，平面，所以平面平面，所以，（不与重合，否则没有平面），故选：C．2.已知正方体的棱长为，、分别是棱、的中点，点为底面内（包括边界）的一动点，若直线与平面无公共点，则点的轨迹长度为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设点，计算出平面的一个法向量的坐标，由已知条件得出，可得出、所满足的等式，求出点的轨迹与线段、的交点坐标，即可求得结果.【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、，设点，，，设平面的法向量为，由，取，可得，，由题意可知，平面，则，令，可得；令，可得.所以，点的轨迹交线段于点，交线段的中点，所以，点的轨迹长度为.故选：B.3.在棱长为2的正方体中，点E，F分别是棱，的中点，P是上底面内一点（含边界），若平面BDEF，则Р点的轨迹长为（）A．1 B． C．2 D．【答案】B【分析】由分别取棱､的中点M､N，连接MN，由线面平行得面面平行，得动点轨迹，从而可计算其长度．【详解】如图所示，分别取棱､的中点M､N，连接MN，连接，∵M､N､E､F为所在棱的中点，∴，，∴，又平面BDEF，平面BDEF，∴平面BDEF，连接NF，由，，，，可得，，则四边形ANFB为平行四边形，则，而平面BDEF，平面BDEF，则平面BDEF.又，∴平面平面BDEF.又P是上底面内一点，且平面BDEF，∴P点在线段MN上.又，∴P点的轨迹长为.【题型二】动点保持垂直性求轨迹【典例分析】在正方体中，Q是正方形内的动点，，则Q点的轨迹是（）A．点 B．线段 C．线段 D．平面【答案】B【分析】如图，连接,证明,又，即得解.【详解】如图，连接,因为平面,所以平面,又平面,所以,又.所以点在线段上.故选：B【变式演练】1.在正方体中，点在侧面及其边界上运动，且保持，则动点的轨迹为（）A．线段 B．线段C．的中点与的中点连成的线段 D．的中点与的中点连成的线段【答案】A【分析】利用直线与平面垂直的判定可得面，又点在侧面及其边界上运动，并且总是保持与垂直，得到点的轨迹为面与面的交线．【详解】如图，连接，，，在正方体中，有平面，又点在侧面及其边界上运动，故点的轨迹为平面与平面的交线段.故选：A.2.在棱长为1的正方体中，M，N分别为，的中点，点P在正方体的表面上运动，且满足．给出下列说法：①点P可以是棱的中点；②线段MP的最大值为；③点P的轨迹是正方形；④点P轨迹的长度为．其中所有正确说法的序号是________．

【答案】②④【分析】以D为坐标原点，分别以DA，DC，为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，求出的坐标，从而得到MP的最大值，即可判断选项②，通过分析判断可得点P不可能是棱的中点，从而判断选项①，又，，可判断选项③和选项④．【详解】解：在正方体中，以D为坐标原点，为x轴，y轴，∵该正方体的棱长为1，M，N分别为，的中点，∴，M（，，），，∴，

设，则，∵，∴，即当时，，当时，，取，，，，连结EF，FG，，HE，则，，∴四边形EFGH为矩形，则，，即，，又和为平面中的两条相交直线，∴平面EFGH，又，，∴M为EG的中点，则平面EFGH，为使，必有点平面EFGH，又点P在正方体表面上运动，∴点P的轨迹为四边形EFGH，因此点P不可能是棱的中点，故选项①错误；又，，∴，则点P的轨迹不是正方形且矩形EFGH周长为，故选项③错误，选项④正确；∵，，又，则，即，∴，点在正方体表面运动，则，解，∴，故当或，或1，MP取得最大值为，故②正确.故答案为：②④．3.如图，在正方体中，是棱的中点，是侧面内的动点，且与平面的垂线垂直，则下列说法不正确的是（）A．与不可能平行B．与是异面直线C．点的轨迹是一条线段D．三棱锥的体积为定值【答案】A【分析】设平面与直线交于，连接，，则为的中点，分别取，的中点，，连接，，，证明平面平面，即可分析选项ABC的正误；再由，得点到平面的距离为定值，可得三棱锥的体积为定值判断D．【详解】解：设平面与直线交于，连接，，则为的中点，分别取，的中点，，连接，，，如图，∵，平面，平面，∴平面，同理可得平面，又、是平面内的两条相交直线，∴平面平面，而平面，∴平面，得点的轨迹为一条线段，故C正确；并由此可知，当与重合时，与平行，故A错误；∵平面平面，和平面相交，∴与是异面直线，故B正确；∵，则点到平面的距离为定值，∴三棱锥的体积为定值，故D正确．故选：A．【题型三】由动点保持等距（或者定距）求轨迹【典例分析】已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，P为底面ABCD内一点，若P到棱CD，A1D1距离相等的点，则点P的轨迹是（）A．直线 B．椭圆 C．抛物线 D．双曲线【答案】D【分析】以D为坐标原点建立空间直角坐标系，求出点P的轨迹方程即可判断.【详解】如图示，过P作PE⊥AB与E，过P作PF⊥AD于F，过F作FG∥AA1交A1D1于G，连结PG，由题意可知PE=PG以D为坐标原点建立空间直角坐标系，设，由PE=PG得：，平方得：即点P的轨迹是双曲线.故选：D.【变式演练】1.如图，在四棱锥中，侧面为正三角形，底面为正方形，侧面底面，为正方形内（包括边界）的一个动点，且满足．则点在正方形内的轨迹为（）A． B．C． D．【答案】A【分析】如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，设，正方形的边长为，求出，的坐标，利用可得与的关系，即可求解.【详解】如图，以为坐标原点，，所在的直线分别为，轴建立如图所示的空间直角坐标系，设正方形的边长为，，则，，，，则，．由，得，所以点在正方形内的轨迹为一条线段，故选：A．2.如图，在棱长为的正方体中，、分别是、的中点，长为的线段的一个端点在线段上运动，另一个端点在底面上运动，则线段的中点的轨迹（曲面）与正方体（各个面）所围成的几何体的体积为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】连接、，分析得出，可知点的轨迹是以点为球心，半径长为的球面，作出图形，结合球体的体积公式可求得结果.【详解】连接、，因为，，且、分别为、的中点，故且，所以，四边形为平行四边形，故且，平面，则平面，因为平面，所以，，为的中点，故，所以，点的轨迹是以点为球心，半径长为的球面，如下图所示：

所以，线段的中点的轨迹（曲面）与正方体（各个面）所围成的几何体为球的，故所求几何体的体积为.故选：D.3.四棱锥P﹣OABC中，底面OABC是正方形，OP⊥OA，OA＝OP＝a．D是棱OP上的一动点，E是正方形OABC内一动点，DE的中点为Q，当DE＝a时，Q的轨迹是球面的一部分，其表面积为3π，则a的值是（）A． B． C． D．6【答案】B【分析】由题意结合选项可特殊化处理，即取OP与底面垂直，求得Q的轨迹，结合球的表面积求解．【详解】解：不妨令OP⊥OC，则OP⊥底面OABC，如图，∵D是OP上的动点，∴OD⊥底面OABC，可得OD⊥OE，又Q为DE的中点，∴OQ，即Q的轨迹是以O为球心，以为半径的球面，其表面积为S，得a故选：B．【题型四】由动点保持等角（或定角）求轨迹【典例分析】正方体中，，分别为，的中点，是边上的一个点（包括端点），是平面上一动点，满足直线与直线夹角与直线与直线的夹角相等，则点所在轨迹为（）A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．抛物线或双曲线【答案】D【分析】根据题设分析可知：点轨迹为以为母线，为轴，为底面直径的圆锥体，及其关于反向对称的锥体与平面的交线，应用数形结合，结合平面与双锥面相交所成曲线的性质判断所在轨迹的形状.【详解】由题设，点轨迹为以为母线，为轴，为底面直径的圆锥体，及其关于反向对称的锥体与平面的交线，如下图示：当是边上移动过程中，只与下方锥体有相交，点轨迹为抛物线；当是边上移动过程中，与上方锥体也有相交，点轨迹为双曲线；故选：D【变式演练】1.如图，斜线段与平面所成的角为，为斜足，平面上的动点满足，则点的轨迹是（）A．直线 B．抛物线C．椭圆 D．双曲线的一支【答案】C【分析】由题可知点在以为轴的圆锥的侧面上，再结合条件可知的轨迹符合圆锥曲线中椭圆定义，即得.【详解】用垂直于圆锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面和圆锥的一条母线平行时，得到抛物线.此题中平面上的动点满足，可理解为在以为轴的圆锥的侧面上，再由斜线段与平面所成的角为，可知的轨迹符合圆锥曲线中椭圆定义.故可知动点的轨迹是椭圆.故选：C.2.如图所示，为长方体，且AB=BC=2，=4，点P为平面上一动点，若，则P点的轨迹为（）A．抛物线 B．椭圆 C．双曲线 D．圆【答案】B【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算和轨迹方程思想求得的轨迹方程，进而根据方程判定轨迹类型.【详解】如图，建立直角坐标系，则,.设,则向量，向量,，∴，即,,,这方程表示的轨迹是平面上的椭圆，故选：B.3.在长方体中，，，M为棱BC的中点，动点P满足，则点P的轨迹与长方体的侧面的交线长等于___________.【答案】【分析】由题意画出图形，由角的关系得到边的关系，然后再在平面内建系，求出P的轨迹方程，确定点P的轨迹与长方体的面的交线，进而求得交线长.【详解】如下图所示：当P在面内时，面，面；又，在与中，∵，则，∴，则，即.在平面中，以DC所在直线为x轴，以DC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则，，设，由，得，整理得：，即.∴点P的轨迹是以F(5，0)为圆心，半径为4的圆.设圆F与面的交点为E､M，作EK垂直x轴于点K，如图，则；∴；故点P的轨迹与长方体的面的交线为劣弧，所以劣弧的长为.故答案为：【题型五】投影求轨迹【典例分析】1822年，比利时数学家Dandelin利用圆锥曲线的两个内切球，证明了用一个平面去截圆锥，可以得到椭圆（其中两球与截面的切点即为椭圆的焦点），实现了椭圆截线定义与轨迹定义的统一性．在生活中，有一个常见的现象：用手电筒斜照地面上的篮球，留下的影子会形成椭圆．这是由于光线形成的圆锥被地面所截产生了椭圆的截面．如图，在地面的某个占正上方有一个点光源，将小球放置在地面，使得与小球相切．若，小球半径为2，则小球在地面的影子形成的椭圆的离心率为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】设，从而可得，，，利用勾股定理可得，再由离心率的定义即可求解.【详解】在中，设，，，，，，∴长轴长，，则离心率.故选：A【变式演练】1.如图，已知水平地面上有一半径为3的球，球心为，在平行光线的照射下，其投影的边缘轨迹为椭圆C．如图，椭圆中心为O，球与地面的接触点为E，．若光线与地面所成角为，椭圆的离心率__________．【答案】【分析】根据平行投影计算出椭圆C的短半轴长b，再求出光线与水平面所成锐角的正弦，进而求得椭圆C的长轴长2a而得解.【详解】连接，则，因为，如图：所以，所以在照射过程中，椭圆的短半轴长b是球的半径R，即，过球心与椭圆长轴所在直线确定的平面截球面所得大圆及对应光线，如图：椭圆的长轴长是，过A向做垂线，垂足是B，则，由题意得：，又，则，，即，所以椭圆的离心率为.故答案为：【题型六】翻折与动点求轨迹（难点）【典例分析】如图，将四边形中，沿着翻折到，则翻折过程中线段中点的轨迹是（）A．椭圆的一段 B．抛物线的一段C．双曲线的一段 D．一段圆弧【答案】D【分析】过点作的垂线，垂足为，过点点作的垂线，垂足为，连接，再分别分析翻折前、后的变化量与不变量，在翻折后的图形中取中点，进而可得答案.【详解】解：在四边形中，过点作的垂线，垂足为，过点点作的垂线，垂足为，连接，如图1，所以当四边形确定时，和三边长度均为定值，当沿着翻折到，形成如图2的几何体，并取中点，连接，由于在翻折过程中，，所以由中位线定理可得为定值，所以线段中点的轨迹是以中点为圆心的圆弧上的部分.故选：D【变式演练】1.已知△ABC的边长都为2，在边AB上任取一点D，沿CD将△BCD折起，使平面BCD⊥平面ACD．在平面BCD内过点B作BP⊥平面ACD，垂足为P，那么随着点D的变化，点P的轨迹长度为（）A． B． C． D．π【答案】C【分析】根据题意，先确定点P轨迹的形状，进而求出轨迹的长度即可.【详解】由题意，在平面BCD内作BQ⊥CD，交CD于Q，因为平面BCD⊥平面ACD，平面BCD与平面ACD交于CD，所以BQ⊥平面ACD，又BP⊥平面ACD，所以P,Q两点重合，于是随着点D的变化，BP⊥CD始终成立，可得在平面ABC中，BP⊥CP始终成立，即得点P的轨迹是以BC为直径的圆的一部分，由题意知随着点D的变化，∠BCD的范围为，可得点P的轨迹是以BC为直径（半径为1）的圆的，即得点P的轨迹长度为.故选：C.2.如图，等腰梯形中，，，，，沿着把折起至，使在平面上的射影恰好落在上．当边长变化时，点的轨迹长度为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据的射影在边上，且固定长度为1，所以的轨迹在以为原点半径为1的圆上，因此考虑的长度缩短到0时和变长到的长度两种情况，从而求出夹角大小，进而求出弧长.【详解】因为的射影在边上，且固定长度为1，所以的轨迹在以为原点半径为1的圆上.考虑极端情况：当的长度缩短到0时，都汇聚到线段的中点（D2）；当变长到的长度时（的射影为D3），如图，设，则,

在中，，同理：，∴，即在线段上的投影与点的距离为，从而与夹角为，故点的轨迹为.故选：B.3.已知矩形中，，，如图，将沿着进行翻折，使得点与点重合，若点在平面上的射影在四边形内部（包含边界），则动点的轨迹长度是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】过点作于点，交于点，则点在平面上的射影落在线段上.由翻折过程可知，，判断出的轨迹是以点为圆心，为半径的一段圆弧，求出圆心角，利用弧长公式求出弧长.【详解】如图（1），过点作于点，交于点，则点在平面上的射影落在线段上.在中，，，则，由等面积法得.翻折的过程中，动点满足，则动点的轨迹是以点为圆心，为半径的一段圆弧.易得，，，所以，则，如图（2），在圆中，，，所以点的轨迹是，且，则，，从而点的轨迹长度为.故选：C【课后练习】1．（多选题）（海南省海口市北京师范大学海口附属学校12月月考）如图，已知正方体的棱长为的中点，为正方形所在平面内一动点，则下列结论正确的是()A．若到直线与直线的距离相等，则的轨迹为抛物线B．若，则的中点的轨迹所围成图形的面积为C．若与所成的角为，则的轨迹为双曲线D．若与平面所成的角为，则的轨迹为椭圆【答案】ABC【分析】A：由平面，可得即为到直线的距离，由抛物线的定义即可判断；B：由题意可得中点的轨迹为以中点为圆心，为半径且平行于平面的圆，计算可判断；C：建立空间直角坐标系，设，，，由与所成的角为60°，可得点的轨迹方程，从而可判断；D：由与平面所成的角为，计算可得为定值，可判断点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，从而可判断．【详解】对于A，平面，即为到直线的距离，在平面内，点到定点的距离与到定直线的距离相等，∴点的轨迹就是以为焦点，为准线的抛物线，故A正确；对于B，平面，即为到直线的距离，在平面内，点到定点的距离与到定直线的距离相等，∴点的轨迹就是以为焦点，为准线的抛物线，故B正确；对于C，如图，建立空间直角坐标系，，0，，，0，，，0，，，2，，设，，，则，，，，2，，，化简得，即，∴的轨迹为双曲线，故C正确；对于D，与平面所成的角为，∴，则，∴点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，故D错误．故选：ABC﹒2.（广东省六校高三上学期第三次联考数学试题）（多选题）如图的正方体中，棱长为2，点是棱的中点，点在正方体表面上运动.以下命题正确的有（）A．侧面上不存在点，使得B．点到面的距离与点到面的距离之比为C．若点满足平面，则动点的轨迹长度为D．若点到点的距离为，则动点的轨迹长度为【答案】BD【分析】先找到点满足平面的轨迹，可判断选项，将平面补全，利用比例判断选项，找到满足点到点的距离为的轨迹，可判断选项【详解】取中点，中点，连接，，，易证，又平面，平面，所以平面，又，同理得到平面，所以平面平面，所以若点满足平面，则点在的三边上运动，，所以动点的轨迹长度为，所以错误；当点在侧面上运动时，点的运动轨迹为线段，当运动到中点时，因为△是等腰三角形，所以，又因为，所以，故错误；取中点，连接，，易证，则共面，令，则易得，所以点到面的距离与点到面的距离之比为，故正确；因为，所以若点到点的距离为，则动点的轨迹在正方形和正方形及正方形上，若在正方形上，则满足，所以在正方形上，动点的轨迹为以为圆心，为半径的四分之一圆弧，所以周长为，同理点在正方形及正方形面上运动时，轨迹分别为以为圆心，为半径的四分之一圆弧，所以动点的轨迹长度为，所以正确；故选：3.（多选题）（全国著名重点中学领航高考冲刺试卷（六））如图，在正方体中，E为的中点，点F在线段上运动，G为底面ABCD内一动点，则下列说法正确的是（）A．B．若，则点G在线段AC上C．当点F从A向运动时，三棱锥的体积由小变大D．若，GE与底面ABCD所成角相等，则动点G的轨迹为圆的一部分【答案】ABD【分析】结合线面垂直的知识来判断A选项的正确性.结合平面的知识来判断B选项的正确性.结合锥体体积的求法来确定C选项的正确性.结合阿波罗尼斯圆的知识来判断D选项的正确性.【详解】连接，∵在平面内的射影为，，且，则平面，，∴，故A正确；∵，∴FG与确定唯一的平面，而平面与有F，，C三个不在一条直线上的公共点，∴平面与重合，又G为底面ABCD内一动点，则点G必在平面与平面ABCD的交线AC上，故B正确；∵，平面，平面，∴平面，故当点F在上运动时，点F到平面的距离不变，于是三棱锥的体积不变，即三棱锥的体积不变，故C错误；连接GD，GA，当，GE与底面ABCD所成角相等时，易得，∵AD为定值，由阿波罗尼斯圆易知点G的轨迹为圆的一部分，故D正确．阿波罗尼斯圆：已知平面上两点A，B，则所有满足（且）的点P的轨迹是一个以定比m：n内分和外分定线段AB的两个分点的连线为直径的圆，此圆称为阿波罗尼斯圆．故选：ABD4.（吉林省梅河口市第五中学第一次月考）在棱长为1的正方体中，，分别为，的中点，为底面的中心，点在正方体的表面上运动，且满足，则下列说法正确的是（）A．点可以是棱的中点 B．线段的最大值为C．点的轨迹是平行四边形 D．点轨迹的长度为【答案】B【分析】在正方体中，以点为坐标原点，分别以、、方向为轴、轴、轴正方向，建立空间直角坐标系，根据，确定点的轨迹，在逐项判断，即可得出结果.【详解】在正方体中，以点为坐标原点，分别以、、方向为轴、轴、轴正方向，建立空间直角坐标系，因为该正方体的棱长为，分别为，的中点，则，，，，所以，设，则，因为，所以所以，即，令，当时，；当时，；取，，连接，，，则，，则，，所以，，又，且平面，平面，所以平面，所以，为使，必有点平面，又点在正方体的表面上运动，所以点的轨迹为正三角形，故C错误；因此点不可能是棱的中点，故A错误；线段的最大值为，故B正确；点轨迹的长度为，故D错误；故选：B5.（广东省深圳市平冈高级中学高三上学期9月第一次月考）如图所示，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点，F是侧面CDD1C1上的动点，且B1F∥平面A1BE，则F在侧面CDD1C1上的轨迹的长度是（）A．a B． C． D．【答案】D【分析】过做与平面平行的平面，该平面与侧面的交线，即为满足条件的轨迹，求解即可.【详解】设G，H，I分别为CD，CC1，C1D1边上的中点，连接B1I，B1H，IH，CD1，EG，BG，则∥∥,所以A1，B，E，G四点共面，由∥平面B1HI，平面B1HI，所以A1E∥平面B1HI，同理A1B∥平面B1HI，，所以平面A1BGE∥平面B1HI，又因为B1F∥平面A1BE，所以F落在线段HI上，因为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，所以，即F在侧面CDD1C1上的轨迹的长度是.故选：D.6.（湖南省永州市高三上学期第一次适应性考试）已知在三棱锥中，为线段的中点，点在(含边界位置)内，则满足平面的点的轨迹为（）A．线段，的中点连接而成的线段B．线段的中点与线段靠近点的三等分点连接而成的线段C．线段的中点与线段靠近点的三等分点连接而成的线段D．线段靠近点的三等分点与线段靠近点的三等分点连接而成的线段【答案】A【分析】利用面面平行得到线面平行，即可.【详解】解：如图所示，P、Q分别为线段，的中点，所以,平面,平面，所以平面，同理平面，,所以平面平面，若平面,则会有平面，故点的轨迹为线段，的中点连接而成的线段，故选A.7.（辽宁省实验中学上学期联考）已知正六棱柱的棱长均为，点在棱上运动，点在底面内运动，，为的中点，则动点的轨迹与正六棱柱的侧面和底面围成的较小部分的体积为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意，可判断出动点的轨迹为球，结合球的体积公式，即可求解.【详解】由直角三角形的性质得，所以点在以为球心，半径是的球面上运动，因为，所以动点的轨迹与正六棱柱的侧面和底面围成的较小部分球，其体积为.故选：B.8.四棱锥中，底面是正方形，，．是棱上的一动点，E是正方形内一动点，的中点为，当时，的轨迹是球面的一部分，其表面积为，则的值是（）A． B． C． D．6【答案】B【分析】首先假设，将四棱锥放在正方体中，然后根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半求得，得到点的轨迹，最后根据题意列出方程求出的值.【详解】由题意不妨设,又，底面是正方形，所以可将四棱锥放在一个正方体内，所以面，又面，则，又的中点为，所以，即的轨迹是以为球心，为半径的球，且点恒在正方体内部，又因为8个一样的正方体放在一起，点的轨迹就可以围成一个完整的球，所以的轨迹是以为球心，为半径的球的球面，所以，解得，故选：B9.棱长为的正方体中，点P在平面内运动，点到直线的距离为定值，若动点的轨迹为椭圆，则此定值可能为（