四年级下第01讲-从洛书到幻方-1

第一讲从洛书到幻方492357816大家仔细观察一下右侧这个3行3列的数阵图，很快就会发现一个有趣的现象：它的每行、每列以及每条对角线上492357816幻方有大有小，刚才的这个幻方是3行3列的，因此也叫做三阶幻方；如果幻方是4行4列的，我们就称之为四阶幻方；至于五阶、六阶幻方的含义依此类推．右图是一个基本三阶幻方，其实任意一个三阶幻方都是可以由它变化而来的．比如用2至10构建一个三阶幻方，那么只需要把基本三阶幻方中的每一个数都加1即可；又如用2，4，6，…，16，18构建一个三阶幻方，那么只需要把基本三阶幻方中的每一个数都乘2即可．因此，学会构建三阶幻方的方法，我们就可以很轻松地构建无数个三阶幻方．我们先来学习一种很快构建三阶幻方的方法．我国古代的数学家概括其构建方法为：“九子斜排，上下对易，左右相更，四维突出”．如下图所示：1和9对调1和9对调3和7对调12345678999274563814、2、8、6分别往外拉9927456381例题1用3，6，9，…，24，27这9个数构建一个三阶幻方．「分析」用3，6，9，…，24，27构建三阶幻方与用1~9构建三阶幻方有什么联系呢？

练习1用7，14，21，…，56，63这9个数构建一个三阶幻方．下面我们来学习一般幻方的填法，包括三阶、四阶、五阶或更高阶幻方．例题2712142712142131116109「分析」每行、每列、每条对角线上所填数之和都相等，你能算出这个和是多少吗？练习2712&495163811在右图的方格表中填入恰当的数，使得每行、每列、每条对角线上的所填数之和都相等．那么“&”处所填的数是多少？8★A75有些时候一开始幻和是求不出来的，这个时候需要利用一类基本的数学思想——比较法来推导．如右图三阶幻方，我们取出有公共格（★）的一行一列．由于行和与列和相同，因此去掉“★”公共格后，剩下数的和仍然相同．也就是说，因此A就等于6．这种方法我们称之为比较法，通过对有公共格的两条直线进行比较分析，可以确定一些未知的空格．8★A75例题3请完成图中的三阶幻方：6358「分析」利用题目中已填的数是无法直接算出幻和的，可以利用“比较法”填出一些数，进而计算幻和吗？练习3请完成图中的三阶幻方：141411722（1）幻和等于幻方中心方格内所填数的3倍，如右图所示，即幻和；（2）所有经过中心方格的行、列或对角线上的三个数，均构成等差数列；（3）位置如a、b、c所示的三个格子满足如下关系：．492492357816（1）幻和等于；（2）4、5、6，2、5、8，9、5、1，3、5、7均成等差数列；（3），，，．利用以上的几个性质，就可以非常快捷地填出有空缺的三阶幻方．例题4（1）请完成左下图中的三阶幻方．（2）在右下图中的每个空格内填入一个数，使得每行、每列及两条对角线上的3个方格中的各数之和都等于27．「分析」尝试用一下三阶幻方重要性质解决问题吧！

练习4（1）请完成左下图中的三阶幻方．（2）已知右下图这个幻方的幻和等于30，这个幻方中最大的数字是多少？711711796欧拉幻方如图是一个欧拉幻方，它的每行或每列数之和为260，半行或半列之和为130．更妙的是一个国际象棋中的马可以按照它的步法依正整数顺序从1走到64．114831503316631830514636219143547249321534176452294452061361354425569402160285384124571237436552639105922542742758233811例题59378238468423087在图中的每个空格内填入一个数，使得每行、每列及两条对角线上的5个方格中的各数之和都相等．「分析」试着找一下交叉的两个幻和，能否应用“比较法”填出一些格子，进而计算出幻和呢？

比较法就是通过对两条有公共部分的直线进行幻和的比较，从而求出幻方中的一些未知数．这个方法不仅适用于幻方，也适用于一些与幻方类似（相等和数）的数阵图问题．所以比较法在数学学习中是一种很重要的数学思想和解题方法．例题6319将319「分析」在填写幻方时，我们常常找有公共方格的两条直线进行比较分析，本题我们也可以用类似的方法．课堂内外神秘的洛书相传在我国远古的伏羲氏时代，有一匹龙马游于黄河，马背上负有一幅奇妙的图案，这就是所谓的《河图》．有一只神龟出没于洛水，龟壳上有一些神秘的符号，这就是所谓的《洛书》．伏羲氏知道后，就按照《河图》、《洛书》编制八卦，用以推算历法，预测吉凶等．在我国的古籍《周易》、《尚书》、《论语》中都有关于《河图》、《洛书》的记载．《周易》的系辞篇里是这样记载的：“河出图，洛出书，圣人则之．”这与上述传说颇相吻合．也许这一记载正是上述传说的来源或记录吧！明朝的程大位也曾说：“数何肇自图书乎，伏羲氏得之以画卦，大禹得之以序畴，列圣得之以开物．”意思是说：“数起源于什么？它起源于河图、洛书吗？伏羲氏得到它后，用它绘制出八卦；大禹得到它后，用客观存在来规划田畴，其客观存在圣贤得到后，用来开发物产．”那么，河图究竟是一个什么样的图案，洛书究竟是一些什么样的书写符号呢？这在《周易》、《论语》这些典籍中都没有记载．直到宋代，朱熹经解《周易》时，曾派他手下的学者蔡元定去四川，用高价才在民间收购到了华山道士搏传出的《太极图》、《河图》、《洛书》等．其中《太极图》与现在流传的太极图相同，而《河图》《洛书》则是由一些圆圈点构成的图形，洛书的形状如左下图所示．这与公元前一世纪时我国汉代的《大戴礼》一书中的九宫图相合．所谓九宫，就是将一个正方形用两组与边平行的分割线，每组两条，分割成的九个小正方格．每个小方格分别填入从1到9这九个自然数中的其中一个，不同的方格填入的数不同，使得三横行中每一横行三个数的和（叫行和），三纵列中每一纵列三个数的和（叫列和），两条对角线中每一条对角线上三个数的和（叫对角和）都相等，等于．这样得到的图就叫九宫图．与洛书相应的九宫图如右下图所示．作业用2、4、6、8、10、12、14、16、18这9个数构建一个三阶幻方．

请将1~16填入图中16个方格中，使得每行、每列及两条对角线上的各数之和都相等．现在已经填