2025年上海浦东新区高三三模高考数学试卷试题（含答案详解）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页浦东新区2024学年度第二学期练习卷高三数学一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题.考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分.1．已知集合，，则.2．已知函数，的最小值是，则实数.3．设为实数，则不等式的解集是.4．若，，那么在方向上的数量投影为.5．已知的展开式中各项系数和为27，则含项的系数为.（结果用数值表示）6．将一个高为的圆锥沿其侧面一条母线展开，其侧面展开图是半圆，则该圆锥的底面半径为．7．短轴长为2，离心率的椭圆的两焦点为，，过作直线交椭圆于A，B两点，则的周长为.8．曲线的图象上有一动点，则在此动点处切线的斜率的取值范围为.9．已知随机变量，其密度函数为，则.10．浦东某学校有学生2000人，为了加强学生的锻炼意识，学校举行了跑步和登山比赛，每人都参加且只能参加其中一项比赛，各年级参加比赛的人数情况如下表所示：高一年级高二年级高三年级跑步人数（单位：人）abc登山人数（单位：人）xyz其中，参加登山的人数占总人数的.为了解学生对本次比赛的满意程度，按分层抽样的方式从中抽取一个200人的样本进行调查，则高三年级参加跑步的学生中应抽取人.11．已知复数满足，则（i是虚数单位）的最小值为.12．对于函数，若关于的方程，（，）恰有个实数根，则称函数为“”函数.①函数的定义域且；②函数是“2”函数，也是“3”函数；那么同时满足条件①②的函数共有个.二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案.考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，13－14题每题选对得4分，15－16题每题选对得5分，否则一律得零分.13．在正项等比数列中，是方程的两个根，则（

）A．2 B．4 C．8 D．1614．，，请从以下选项中选出“”的充分条件（

）A． B． C． D．15．已知的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若，则以下关于“”的选项，结论正确的是（

）A．存在满足 B．存在锐角满足C．该表达式不存在最大值 D．该表达式不存在最小值16．如图，ABCD是四面体.已知，，以下两个语句中：①棱AB与棱CD一定相等；②棱AC与棱BD不一定相等；下列选项判断正确的是（

）A．①，②都正确 B．①正确，②错误C．①错误，②正确 D．①，②都错误三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤.17．已知.(1)数列的前项和为，点均在函数的图象上，求数列的通项公式；(2)设；当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.18．如图，点是以为直径的半圆上的动点，已知，且平面.(1)证明：平面平面；(2)若点满足，当三棱锥的体积取得最大值时，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.19．申辉中学机器人兴趣小组，进行某款机器人研发学习活动.该机器人被设计从数轴上的原点出发，机器人每一步只能选择向数轴正方向或向负方向行走1个单位.设机器人第步选择向正方向行走的概率为.设行走步后机器人所在位置对应的数为随机变量.(1)兴趣小组成员小浦对机器人行走的步数和机器人所在位置进行了观察记录，记录数据如下：n1234512123请求出变量和之间的线性相关系数：(2)若，求；(3)已知，在的条件下，求的概率.20．已知曲线，第一象限内点在曲线上.、，连接并延长与曲线交于点，.以为圆心，为半径的圆与线段交于点，记，的面积分别为，.(1)若，求点的坐标；(2)若点的坐标为，求证；(3)求的最小值.21．已知实数，且a、b、c依次构成等差数列，对于曲线，，若满足、、依次构成等差数列，则曲线，为曲线.(1)若，，是曲线，求实数的值；(2)已知曲线，都是曲线，证明：是曲线；(3)若，为曲线，求的取值范围.答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页1．【分析】根据交集的运算法则求出A与B的交集即可.【详解】由题意得，因为，，所以，故答案为.2．【分析】由题意先求出时的取值范围，从而得到的值域，再根据最小值为-1求出实数a的值.【详解】由题意得，当时，，故在的值域为,又因为最小值是-1，所以，故答案为.3．【分析】根据分式不等式解法求解即可.【详解】因为，解得且，即，所以不等式的解集是.故答案为：4．##【分析】由投影数量的定义即可求解.【详解】在方向上的数量投影为.故答案为：.5．12【分析】先令表示出各项系数和，求出的值，再利用二项式定理的通项公式求解即可.【详解】令代入中得，，则，根据二项式定理，含的项为，所以含项的系数为12.故答案为：12.6．1【分析】设该圆锥的底面半径为r，推导出母线长为2r，再由圆锥的高为，能求出该圆锥的底面半径．【详解】设该圆锥的底面半径为r，将一个高为的圆锥沿其侧面一条母线展开，其侧面展开图是半圆，，解得，圆锥的高为，，解得．故答案为1．【点睛】本题考查圆锥的底面半径的求法，考查圆锥性质、圆等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7．##【分析】根据题意，求出长半轴长，再由周长为求解.【详解】设椭圆的长半轴长为，短半轴长为，则，又离心率为，则，解得，所以周长为.故答案为：.8．【分析】根据导数的几何意义，即可求解.【详解】，根据导数的几何意义可知，切线的斜率的取值范围为.故答案为：9．【分析】根据正态曲线的密度函数对应计算可得；【详解】因为随机变量，其密度函数为，所以，.故答案为：10．45【分析】由题意可先将参加登山的总人数求出，即可得到参加跑步的总人数，再根据可求出每个年级参加跑步的人数，最后根据分层抽样的原理，先求出应抽出的跑步的总人数，再根据高三年级参加跑步的人占所有参加跑步人数的比例求出应抽取多少高三参加跑步的学生人数.【详解】由题意得，因为加登山的人数占总人数的，所以参加登山的人数为人，参加跑步的人为1500人.又由得，高三年级参加跑步的人数为人.根据分层抽样的方法，应抽取的跑步总人数为人，所以高三年级应抽取人.故答案为：45.11．【分析】确定复数的轨迹，结合点到线的距离公式即可求解.【详解】设，则由可得：，则，即或的几何意义为射线上的点与的距离，结合图像可知：到的距离即为最小值，最小值为：，故答案为：12．18【分析】根据题目所给条件，先根据定义域确定关键的函数值，然后根据计数原理将不能确定的几个函数值进行排列即可得到答案.【详解】由题意，函数的定义域为和函数的值域均为：，可知自变量和函数值是一一对应的关系；的定义域为，根据题目给出的“3”函数的新定义：有，即：，，.可得：，只能是，，，这样在值域当中只剩下是的倍，故，.因为函数是“2”函数，根据题意恰有2个根，结合，，，，；剩余的不能确定的个函数值中，只需要，不同的分配方法有种.故答案为：13．B【分析】根据等比数列的性质求解.【详解】因为是方程的两个根，所以，又因为在等比数列中，，又因为是正项等比数列，所以，所以，故选:B.14．C【分析】根据充分条件的定义，结合特殊值，即可判断选项.【详解】A.若，满足，不满足，故A不是充分条件；B.当满足，不满足，所以B不是充分条件；C.若，又因为，所以，所以C是充分条件；D.，，满足，不满足，故D不是充分条件.故选：C15．C【分析】由题意结合正弦定理，由可得，可得，所以，再结合的取值范围判断各选项的正误即可.【详解】由题意得，因为，所以，由正弦定理可得，，所以，所以.因为，所以，设，则，由得，所以在上递减，在上递增，又，所以，所以无解，A错误；若，则，与锐角相矛盾，B错误；由得C正确，D错误.故选：C.16．A【分析】将四面体补成平行六面体，利用已知条件和平行六面体中的对称性，结合余弦定理构造等量关系，从而推导出选项的正误.【详解】在如图所示的平行六面体中，设，，，，，，则由余弦定理有：，，，，，，由得，，将上面6个式子代入化简可得：①，类似地，由得，，代入上面6个式子化简可得：②，得：故，从而，即，故①正确；而由已知条件无法推出，则AC与BD不一定相等，故②正确；故选：A.17．(1)(2)【分析】（1）由题意可得，根据的关系求通项公式即可；（2）求出，换元后，分离参数，转化为求函数的最小值，利用二次函数配方后得解.【详解】（1）由题意，，当时，，当时，，则.（2），设，当时，，恒成立，则，因为，所以.18．(1)证明见解析(2).【分析】（1）要证明面面垂直，即需要证明线面垂直，那么过这条线的平面就会垂直于另一平面.（2）首先根据三棱锥体积取得最大这个条件得出的结论，然后找出平面与平面的二面角，最后根据线段关系和相似三角形求出该二面角的余弦值，或者建立平面直角坐标系，利用向量法进行求解.【详解】（1）证明：因为平面，平面，所以，因为为半圆的直径，所以，因为平面，所以平面，因为平面，所以平面平面.（2）方法1：，当且仅当时等号成立.设圆心为，连接，在平面上过作，连接，在平面上过作，如图所示.因为，，所以，因为平面，平面，所以平面平面，因为平面，平面平面，所以平面ABC，平面，则，，平面，所以平面，而平面，于是，所以为平面与平面的夹角，在平面上，，有，得，，，有，得，则，，平面与平面所成锐角的余弦值为.方法2：据（1）知，面，，当时，达到最大：过点作于，建立以为原点，为轴，为轴，过点垂直于平面的方向为z轴.设平面与平面的法向量分别为，.则点，，，，.，；则；令，可得；因为平面的法向量为.则平面与平面夹角的余弦值.19．(1)(2)0(3)【分析】（1）由表中数据及相关系数的公式即可求解；（2）由题可知的所有可能取值为，，，，根据题意求出对应取值的概率即可求解；（3）由条件概率的定义及独立事件的乘法公式节课求解.【详解】（1）由表可知：，，，，代入相关系数的公式可得：.（2）由题可知的所有可能取值为，，，，表示三次均向正方向行走，故；表示两次选择正方向，一次选择负方向行走，故；表示一次选择正方向，两次选择负方向行走，故；表示三次均选择负方向行走，故，所以.（3）设为事件A，为事件，，其中，，，故.20．(1)(2)证明见解析(3).【分析】（1）设，，，与联立求出和韦达定理，根据求出即可求解；（2）求出即可证明；（3）由（1）求出，考虑和两种情况，根据求出，求出，根据（2）求出，根据结合基本不等式即可求解.【详解】（1）设，，，与联立可得，，，，，因为，所以，由可得，故因为在第一象限，所以，解得，由得；（2）由题意得，，故，，，则，即；（3）由（1）得，，故，因为，所以，当时，，，，故，，，故，所以⊥，，则，由对称性可知，则，当时，，，由得，将其代入中得，显然，当时，，当时，，解得，，，因为，其中，由（2）知，又，故，故，所以，当且仅当，即时等号成立，此时，由于，故.21．(1)(2)证明见解析(3)【分析】（1）根据定义和等差中项的性质列等式，讨论的范围化简等式，即可求得的值；（2）根据定义和等差中项的性质列等式，可得，进一步根据等差中项性质列关于的等式即可证明.（3）已知，为曲线，构