探“图形运动”本质 促“整体建构”关联

［摘"要］研究者通过分析学生学习“旋转三要素”前后的测评数据，整合“线与面的旋转”教学内容，渗透“图形旋转即点旋转”的本质认知，在沟通与对比中不断提升学生的空间观念。［关键词］整体建构；图形的旋转；运动本质；空间观念小学阶段“图形运动”包括三个教学内容：轴对称、平移和旋转，教材基于从易到难、螺旋上升的原则进行编排。“旋转”是“图形的运动（三）”中的内容，它是小学数学“图形的位置与运动”板块最后一个学习内容，“旋转”与对称、平移相比更抽象，涉及的要素更多。在教学“图形的旋转”时，大部分教师先教学“线段旋转”，后教学“图形旋转”。因此，笔者产生了一些思考：基于整体建构视角，能否将线段教学融入图形旋转教学中？是否按先转三角尺再画三角形的思路教学？基于以上思考，笔者通过对比多种教学路径，基于真实学情从整体视角出发重组了教学内容。一、教学序列的分析“图形的运动”以轴对称、平移和旋转等载体通过全等变换，让学生进一步把握图形运动的特征，从而有效发展空间观念。内容要求、学业要求、教学提示都指向了让学生用“旋转三要素”描述图形的位置，用方格纸画简单的图案，感受旋转的特征。1.教材对比（1）教学序列的纵向分析“图形的运动”在各个学段的人教版教材中都有所涉及（如图1所示）：二年级，能初步感知旋转的现象，能定性判断“是不是旋转”；五年级，能用“旋转三要素”从定量的角度精准描述“怎样旋转”及尝试画简单的旋转图形；九年级，直接借助圆规和量角器作图。（2）教学序列的横向对比笔者对比了人教版、北师大版、苏教版三个版本的小学数学教材，对情境、素材、路径等方面进行了异同点对比分析（如图2所示）。①相同教学思路相同点1：基于生活原型，明晰“旋转三要素”。人教版教材借助指针旋转，北师大版、苏教版教材利用停车场转杆等生活情境来认识“旋转三要素”。相同点2：操作探究，深化旋转本质。三个版本教材都是借助摆一摆三角尺来渗透旋转本质。相同点3：关联点、线、面旋转，凸显结构化思想。教材关注了点、线、面的旋转，深化“图形旋转的本质即点的旋转”。②不同教学路径“图形的旋转”教学的路径不同：人教版先教学旋转三角尺再画三角形，北师大版先教学画旋转线段再画旋转后的图形，苏教版直接教学画旋转后三角形。2.学情分析笔者对147名学生进行了两次测试，具体情况见表1、表2。分析测试结果发现，学生对于“旋转三要素”的认知存在较大偏差，能感知线的旋转，但对面的旋转不够明晰和完整。针对这样的数据，笔者产生了思考。（1）教学“旋转三要素”后，能否直接进入“面的旋转”教学？学习“旋转三要素”后，学生画旋转线段准确率从64.63%提升至89.80%，表明学生对于画线段并无太大难度。画旋转线段后的三角形实际上是让学生经历找点、连线、成面的过程，发现点、线、面不是分离的，从而建构整体性的认知。因此，直接教学“面的旋转”更有利于学生建构整体的认知。（2）依托数据，把三角尺能否融入旋转画图教学？在学习“三要素”后，有59.86%的学生不借助三角尺的旋转也能正确画图。能否不再单独教学三角尺的旋转，而是将三角尺作为学习支架整合到“图形的旋转”教学中？这样的设计能够带来两大便利：一是“放一放”，让会画的学生利用空间想象画图，使三角尺起验证作用，充分发展学生空间观念；二是“扶一扶”，作为一个有力的学习支架，让有困难的学生先旋转三角尺再画图。二、单元序列的重组基于这样的思考，笔者在教学“三要素”后直接教学“图形旋转”，将三角尺、线段融入画三角形的教学中；第二课时为“图形的分析”，利用图形运动知识分析图形，根据情境需要灵活分解基本图形，培养学生解决问题的实践能力；第三课时为拓展课“图形的设计”，以设计“美丽的图案”为主线，经历多个图形拼组的运动变化，培养学生空间想象能力。三、关键课例的实践“图形的旋转”是本单元的关键课例，教学重点为“认识旋转三要素，正确画出旋转90°后的三角形”，教学难点为“理解图形的旋转本质”。1.遵循教材：生活情境，认识“旋转三要素”（1）寻求共同点，初识“旋转三要素”师：如图3所示，这些运动都是旋转吗？有什么共同点？生1：都绕着1个点旋转。师：谁能上来指一指？师：我们称它为旋转中心。还有其他发现吗？生2：向左或向右转。师：谁能来演示一下？师：看来旋转还要有方向，数学上有专门的名词叫顺（逆）时针旋转。师：观察钟摆跟转杆，你们还有什么发现呢？生3：它们都旋转一定的角度。小结：通过对比这几幅图，发现都有中心点、方向和角度，这就是“旋转三要素”。设计意图：数学源于生活，应用于生活。本环节教师利用生活情境导入，让学生在辨析中逐步认识“旋转三要素”。（2）描述初尝试，话说“旋转三要素”师：二年级时我们学会判断旋转，现在是五年级了，可以用“旋转三要素”描述旋转。师：如图4所示，你们能用“旋转三要素”说一说转杆是怎么旋转的吗？生4：顺时针旋转90°。生5：转杆绕点O按顺时针方向旋转90°。师：现在呢？生6：转杆绕点O按逆时针方向旋转90°。师：大家都看得懂指针吗？12到6，它怎么转动？生7：指针绕点O按顺时针方向旋转180°。师：现在同桌相互说一说，让指针从几到几，它怎么转动？要求：从（""）到（""），指针绕点（""）按（""）方向旋转（""）。生8：从12到12，指针绕点O顺时针旋转360°。生9：从6到8，指针绕点O顺时针旋转60°。师：用“旋转三要素”描述旋转有什么好处吗？生10：描述更精确。设计意图：本环节教师引导学生用“旋转三要素”描述生活中的旋转，让学生在描述的过程中感受用“旋转三要素”描述的精确性。2.合理融合：简单图形，画“旋转三要素”师：线段的旋转对你们来说太简单了！下面，我们直接学习“三角形的旋转”。师：线段OA绕着点O按顺时针方向旋转90°，你能画出来吗？教师展示任务要求，如图5所示。（1）错误辨析，明晰正确画法作品1：中心点错误。（教师利用透明三角形演示，按着中心点旋转）师：旋转的时候绕着中心点，这个点是始终不动的。作品2：长度画错。（学生利用透明三角形演示）师：看一看前后长度有变化吗？生11：没有。师：那另外两条呢？师：旋转的时候形状大小不变，边的长度也不变。什么变了？生12：方向、位置。作品3：画成轴对称图形。师：猜猜看，他想成什么运动了？生13：轴对称。师：（展示正确作品）画对的同学请举手，谁能说说怎样才能又快又准地画旋转图呢？生14：找点A′、点B′，再连线。师：点A与点A′可以称为是一组对应点，怎么找到点A′的？生15：数格子。生16：先找到旋转90度后的线，然后数格子。师：真厉害！我们找到了点A和点B的对应点A′及点B′，然后与中心点O连线就可以画出旋转后的三角形！现在给你们一点时间对自己的作品进行调整。设计意图：本环节教师引导学生尝试画旋转后的三角形，呈现学生的典型错误，让学生在辨析中从关注面的旋转到关注线的旋转，并明晰画法。（2）由外到内，感受图形特征师：刚才利用3个点画了三角形，那三角形上只有这3个点吗？生18：我在三角形的边上可以找到1个点。生19：我在边上可以找到3个点。生20：线段是由无数个点组成的，3条边上可以找到很多点！师：只能在线段上找吗？生21：我在三角形内部也找到1个点。生22：三角形是由无数个点构成的。设计意图：画法明晰之后，本环节指向图形运动的深度解读。教师引导学生从关注3个特殊点到图形的所有点，为后续理解图形运动的本质做好铺垫。（3）从面至点，渗透运动本质师：这个点怎么运动（在直角边AO上标出点C）？生23：绕着点O顺时针旋转90°得到C′。师：其他点也这样运动吗？能找出几组对应点来验证一下吗？作品1：找到2条直角边上的点。生24：都是绕着点O顺时针旋转90°。作品2：找到内部的点。生25：也都是绕着点O顺时针旋转90°。师：可以怎么验证？生26：用三角尺的直角进行验证。生27：还可以用量角器验证。作品3：斜边上的一点。生28：好像是绕点O顺时针旋转90°。师：一下子分不清，我们用几何画板进行演示。生29：都是绕点O顺时针旋转90°。小结：图形绕着点O顺时针旋转90°，就是图形上所有的点也都绕着点O顺时针旋转90°，所以旋转后图形的形状、大小不变。设计意图：本环节教师引导学生从关注面到关注线再到关注点，借助几何画板从边上的点到内部的点延伸，感受图形旋转的本质是点的旋转。3.巩固提升：自由创作，用“旋转三要素”师：敢不敢挑战下自己？刚才三角形AOB是绕着点O顺时针旋转90°，你们还想它绕着哪个点转？还想往哪个方向转？准备旋转多少度？把这段话补充完整之后，开始画一画。展示任务要求：三角形AOB绕（""）按（""）时针旋转（""）。课件展示学生作品，如图6所示，由学生逐一汇报。生30：绕点O逆时针旋转90°。生31：绕点B顺时针旋转90°。生32：绕点A顺时针旋转180°。生33：绕点B顺时针旋转270°。设计意图：本环节教师让学生自行选择“旋转三要素”，感受“旋转三要素”对于旋转的重要性。在学生各种作品的介绍与展示中，将汇报变成展示过程，让学生在潜移默化中学会学习。4.纵横对比：前后衔接，理解“旋转三要素”（1）图形运动横向对比师：关于图形的运动，以前学习了轴对称、平移，它们有什么不同之处？生34：都是运动，但是运动方式不同，分别是翻动、移动、转动。师：正是因为这些运动才让我们的世界变得更丰富、更美丽。如图7所示，请欣赏平面上的图形运动。如图8所示，请学生欣赏立体的图形运动。生35：立着旋转就形成了体。小结：图形在平面上运动，就会形成各种各样的美丽图形，在立体空间上旋转就会形成以后要认识的体。（2）图形运动纵向对比师：二年级和五年级都学习了旋转，那以后还会学习吗？生（齐声答）：会。课件展示二年级、五年级、九年级关于旋转的教材内容。小结：今后，在九年级还会进一步学习旋转。相信你能用旋转的知识解决更多问题。设计意图：本环节教师让学生去对比感受运动的不同点，明晰正是由于这些运动才会产生各种美丽的图案；同时，将旋转从二维拓展到三维，让学生感受面的旋转会形成体，逐步深化对旋转学习的认知。四、教学反思1.聚焦学情，内容适度整合单元整体教学要基于真实学情，笔者在教学前开展前测，聚焦学生学习“旋转三要素”后对于画旋转后图形的影响。通过两次数据的对比，发现学生在学习“旋转三要素”后再去画旋转后的线段并无太大难度，因此，教师改变“先线段旋转，后图形旋转”的教学路径，直接将线段与图形的旋转教学进行整合。教师先从生活情境入手，引导学生不断观察与反思，得到“旋转三要素”；然后，让学生不断尝试与完善，用“旋转三要素”精确描述图形的旋转；最后，将画线段旋转变成想象线段旋转，让学生较好地感受“线的旋转”。实践发现，教师直接教学图形旋转，大部分学生能准确画出图形。因此，教师要根据学情，进行教学内容的适度整合，为旋转教学拓宽新的思路。2.聚焦差异，支架灵活运用教师要尊重学生差异，将三角尺适当优化，为学生提供透明三角形纸片作为学习支架。透明纸片的好处在于学生能直接画出内部及线上的点，通过旋转操作清晰地认识到点的旋转轨迹。课堂中，教师将透明三角形纸片装于信封中，告知学生有困难时使用。教师让有困难的学生先旋转三角形再画图，利用学习支架，提升课堂学习参与感；能力强的学生先画图再旋转，利用三角形进行验证。实物旋转与空间想象一并进行，让学生在旋转三角形与画法的对比中逐步感受图形运动中的变与不变。教师对同一素材采用不同的使用方法，关注学生的差异性成长，让每