流体力学第3章流体运动学

第3章流体运动学

选择题：

d2r

[3.[1]拉法表示流体质点的加速度”等于：（o）dr7；cudv

（b）~dt；（c）（v-V）v;（d）历个〃'°

解：用欧拉法表示的流体质点的加速度为dvdvz.

〃了k（R（M

[3.[2]流是：（o）流动随时间按一定规律变化；（。）各空

间点上的运动要素不随时间变化；（c）各过流断面的速度分布

相同；（d）迁移加速度为零。

解：恒定流是指用欧拉法来观察流体的运动，在任何固定的空间

点若流体质点的所有物理量皆不随时间而变化的流动.（6）

[3.[3]一元流动限于：（“）流线是直线；〃）速度分布按直

线变化；（c）运动参数是一个空间坐标和时间变量的函数；（d）

运动参数不随时间变化的流动。

解：一维流动指流动参数可简化成一个空间坐标的函数。3

[3.[4]流是：（〃）当地加速度为零；（2迁移加速度为零;

（C向心加速度为零：（♦）合加速度为零。解：按欧拉法流体

质点的加速度由当地加速度和变位

加速度（亦称迁移加速度）这两部分组成，若变位加速度等于零，

称为均匀流动（b）

[35]无旋运动限于：（〃）流线是直线的流动；（b）迹线是直线的流

动；（o）微团无旋转的流动；（d）恒定流动。

解：无旋运动也称势流，是指流体微团作无旋转的流

动，或旋度等于零的流动。

（d）

[3.6]变直径管，直径4=320mm,4=160mm，流速K=L5m/so

匕为：（。）3m/s；（b）4m/s；（c）6m/s；（d）9m/s0

解：按连续性方程,吊？4之二匕?/,故

（A丫"20•7

匕叫尤卜⑶[160=6ni/s

（o）

[37]平面流动具有流函数的条件是：（〃）理想流体；（少）无旋流

动；（c）具有流速势；（d）满足连续性。

解：平面流动只要满足连续方程，则流函数是存在的。（d）

[3.8]恒定流动中，流体质点的加速度：（“）等于零；（。）等于常

数；（o）随时间变化而变化；（d）与时间无关。解：所谓恒定

流动（定常流动）是用欧拉法来描述的，指任意一空间点观察流

体质点的物理量均不随时间而变化，但要注意的是这并不表示流

体质点无加速度。（d）

[3.[9]流动中，流线和迹线重合：（o）无旋；（b）

有旋；（c）恒定；（d）非恒定。

解：对于恒定流动，流线和迹线在形式上是重合的。

（C）

[3.[10]微团的运动与刚体运动相比，多了一项运

动：（，，）平移；（力）旋转；（c）变形；（d）加速。

解：流体微团的运动由以下三种运动：平移、旋转、变形迭加而

成。而刚体是不变形的物体。

（C）

[3.[11]一维流动的连续性方程%4二c成立的必要条件是：（。）

理想流体；（％）粘性流体；（c）可压缩流体；（d）不可压缩

流体。

解：一维流动的连续方程必1二c成立的条件是不可压缩流体，

倘若是可压缩流体，则连续方程为

（d）

[3.[12]与流线，在通常情况下：（〃）能相交，也能相切；

（o）仅能相交，

但不能相切；（c）仅能相切，但不能相交；（d）既不能相交，

也不能相切。

解：流线和流线在通常情况下是不能相交的，除非相交点该处的

速度为零（称为驻点），但通常情况下两条流线可以相切。

(o)

[3.[13]法描述流体质点的运动：（,,）直接；（。）

间接；（c）不能；

（d）只在恒定时能。

解：欧拉法也称空间点法，它是占据某一个空间点去观察经过这

一空间点上的流体质点的物理量，因而是间接的。而拉格朗日法

（质点法）是直接跟随质点运动观察它的物理量（b）

[3.[14]定流动中，流线与迹线：（“）一定重合；3）一定不

重合；（C）

特殊情况下可能重合；（d）一定正交。

解：对于恒定流动，流线和迹线在形式上一定重合，

但对于非恒定流动，在某些特殊情况下也可能重合，

举一个简单例子，如果流体质点作直线运动，尽管是

非恒定的，但流线和迹线可能是重合。（。）

[3.[15]一维流动中，“截面积大处速度小，截面积小处速度

大”成立的必要条件是：（o）理想流体；（〃）粘性流体；（。）

可压缩流体；（d）不可压缩流体。

解：这道题的解释同3.11题一样的。

（d）

[3.[16]势函数存在于流动中：（〃）不可压缩流

体；（“）平面连续；（c）所有无旋；（d）任意平面。解：速

度势函数（速度势）存在的条件是势流（无旋

流动）（C）

[3.17]流体作无旋运动的特征是：（“）所有流线都是直线；所

有迹线都

是直线；（c）任意流体元的角变形为零；（d）任意一点的涡量

都为零。

解：流体作无旋运动特征是任意一点的涡量都为零。

（d）

[3.18]速度势函数和流函数同时存在的前提条件是：（o）两维不可

压缩连续运动；（8）两维不可压缩连续且无旋运动；（C）三维

不可压缩连续运动；（d）三维不可压缩连续运动。

解：流函数存在条件是不可压缩流体平面流动，而速度势存在条

件是无旋流动，即流动是平面势流。

（o）

计算题

[3.19J设流体质点的轨迹方程为

x=_t_1

y-C2c+r-l>z=C3

其中G、G、G为常数。试求（1）uo时位于x=y=T

Z二c处的流体质点的轨迹方程；（2）求任意流体质点的速度；（3）

用Euler法表示上面流动的速度场；（4）用Euler法直接求加速度场

和用Lagrange法求得质点的加速度后再换算成Euler法的加速度场，

两者结果是否相同。

解：（1）以1=0,x=,yy=bfz=c代入轨迹方程，得

4=G-1h=c2~\

Q=o+1

<c2=b+|

故得L=c

当/=0时位于（。也c）流体质点的轨迹方程为

x=(a+l)ez-r-l

<y=(b+l)ez+,-1

(。)

dx

=qe/-1

~dt

w=0

⑵求任意质点的速度（

(b)

⑶若用Euler法表示该速度场

由（《）式解出。也。；

a-C(x+/+1)-1e

/?=(v-/+1)-1

C=Z

(c)(〃)式对1求导并将⑹式代入得

所

—

初

/P

—IIs

初

华1o

—

%

⑷用Eu-er法求加速度场

dudududu

av-—d11+—VHw

dtOxdydz

=l+(x+t)=x+t+\

dvdvdvdv

ci,--+—u+—v+—rrdtoxdydz

=-l+(>'T+2)=y-f+1

dyvd\vdwd\v

a.=-----+------u-------v+------iv=0ofoxdydz

由(〃)式Lagrange法求加速度场为

%=。=(o+1〃

Ct

、

二r二S+De公

cfzn

dt

(e)

将(c)式代入(e)式得

ax=x+t-f-|

<ay-y-r+1

a.=0

4

两种结果完全相同

[3.20]已知流场中的速度分布为

u=yz-f-t

v=xz-t>

w-xy

(1)试问此流动是否恒定。(2)求流体质点在通过场

中(1,1,1)点时的

加速度。

解：(1)由于速度场与时间/有关，该流动为非恒定流

动。

dudududu

z、ax--+------u+-v+------w

(2)dtdxdydz.

=1-f-z(xz-t)-f-y(xy)

dvdvdvdv

a..-——+——〃+——v+——wdtdxdydz

=-1+z(yz+f)+Qy)

dwdwdwdw

a.——F---u+----v+----w

dtdxdydz

=y(yz+t)+x(xz.-t)

Wx=1,y=1,z=1代入上式，得

b

4-3-/av~|+ta.-2

[3,[21]一流动的速度场为

v=(x+\)ri+(y+2)rj

试确定在Zn时通过⑵1)点的轨迹线方程和流线方程。

解：迹线微分方程为

dxdy.

一=—=druv

A=(y+2)产

以上两式积分得ln*+l)=#+q

ln(»+2)=|r-+C2

,x+1f

两式相减得1。一一二in

即二c(y+2)

将x=2,y=i代入得

故过⑵1)点的轨迹方程为

流线的微分方程为

dxdy

itv

dxdv

即(x^\7r^(y+2jr

消去/,两边积分得

ln(x+l)=ln(y+2)+Inc

或者x+I=c(y+2)

以x=2,),二1代入得积分常数c=1

故在~1,通过(2,1)点的流线方程为

x-y=I

[3,[22]流动的速度分布为

1(=ay(y-X2)

v-ax(y-xJ)

其中〃为常数。(1)试求流线方程，并绘制流线图；(2)

判断流动是否有旋，若无旋，则求速度势夕并绘制等势线。

解：对于二维流动的流线微分方程为

_dy

uv

ay"-x2)cix(/-x2)

习题

[3,23]一二维流动的速度分布为u=Ax-f-Byv=Cx+Dy

其中*、B、Go为常数。(1)*、B、C.。间呈何种关系时流动

才无旋；

(2)求此时流动的速度势。

解：⑴该流动要成为实际流动时，须满足diw=0,

du8v八

—+—=0

dxdy

或者力+0=0,得A=_£)

该流动无旋时，须满足rotv=0,

dvdu八

----------=(J

dxdy

或者C—8=0,得C=8

〃=Av+

(2)满足以上条件时，速度分布为By

积分得“二*\叼+小)

..+f\y)=v=Bx-Ay

由于内

f(y)=-Ay

因此速度势*02)十瓯

[3.24]设有粘性流体经过一平板的表面。已知平板近旁的

速度分布为

•Hy

v=v°。为常数，y为至平板的距离）试求平板上

的变形速率及应力。

解：流体微团单位长度沿X方向的直线变形速率为

du.

菽现〃（五）（为X轴方向）

、生_=0

dxv-4}

dv

,=0

力v=0

同理沿y方向直线变形速率为

沿Z方向直线变形速度为

dw

在xQv平面上的角变形速率

产八_-%

丸v=o2a

-VoCOS（一）

v=o2aa

在j仑平面上的角变形速率

/”=（不+在）=°

在zOx平面上的角变形速率

牛顿流体的本构关系为(即变形和应力之间关系)

/「PT/菽

Pi〃

〃「P-2〃在

dvdit

仁不)

dud\v

Tv.=Trr=//(--1~)

a.<z<r•cc,

dzOX

,dwd\)

%=%=〃♦+二)dyoz

故在平板上，PLPH)

r=r=0

6(，冗y、丸〃乃％

而.内了02。2。尸02a

[3.[25]可压缩流体运动的3个速度分量为

u=ax

N-ay>w--2«z

其中“为常数。试证明这一流动的流线为y?z二consJ

yconsr两曲面的交线。

解：由流线的微分方程

drdydzcixay-2&z

dv_dy

cixaydy_dzay_2az

积分(“)得

—=q

)，

积分(。)得

即证明了流线为曲面Vz二常数与曲面7=常数的交线。

[3.[26]平面流动的速度场为y=(4y-6x)"+(6y-9x)求rT时的

流线方程，并画出1区间穿过X轴的4条流线图形。

y解：流线的微分方程为

、"，二1时的流线为

dv_dy习题3.26图4y—6x

6y-9x

dvdy

/或者2(2y~3x)3(2y-3x)

即3dx=2dy

积分得3x-2y=c为流线方程

设c=3,6,9,12时可画出I—“穿过x轴的4条流线

[3.27]已知不可压缩流体平面流动，在y方向的速度分量

为p=y-2x+2y0

试求速度在X方向的分量〃。

解：此平面流动必须满足diw=O对于二维流动即

dudv八

-H----0

-6以y=）广-2x+2y代入”，+2=0du

故瓦二一2〉」2枚u=-2xy^2x+f（y-t）

[3.[28]平行板间，流体的单宽流量。已知速度分布为

〃二〃max

式中尸0为中心线，k±6为平板所在位置，〃max为常数。

〃“〃/，'-〃〃〃〃〃〃〃

习/您.28图

解：如图，由〃二%-一（》」，平板间的速度分布为抛物线

分布。

通过dy截面的体积流量dQ为

dO=〃d）,="maxU-（》[dy

Q=2/dQ=2〃m,[,1—（工产dy则平板间的流

量」。b\.

二2小竺，小

HUSAIIHA

[3.[29]两个流动，哪个有旋？哪个无旋？哪个有角变形？哪个

无角变形？

(1)W=-ay?V=ax,Cp=O

cyex

lt=v=

(2)一厂+)',厂+尸，vv=0

式中八C是常数。

解：(1)判别流动是否有旋，只有判别28是否等于零。

-=0-0=0

dy&

电一a=0.0=0

&dx

史一包二L二2"

dxdy

所以rotv=23A流动为有旋流动。

.Iodu17.、八

.4.九二一(---+----)二一(。一〃)二0

角变形F2』/2

2dy'||T

/xzI燃+，

八&〜-

所以流动无角变形。

(2)本蛾二。一。二0

一空=0-0=0

dx

du_c(x2+y2)-lex[-c(x2+y2)+2cy]_

dy&+。(素+//

枚流动为无旋

77、

._!:（厂一）厂）

同理4—,+/）、

〃

二。

7=0

[3.30）已知平面流动的速度分布〃=大+2x-4y,p=~2xy-2y。试确

定流动：

（1）是否满足连续性方程；（2）是否有旋；（3）如存在速度势和流函

数，

求出。和W0

解：（1）由divy是否为零

得

dudv

一十—=2x+2-2x-2=0dxdy

故满足连续性方程

（2）由二维流动的28

dy型浴妗他

故流动有旋

（3）此流场为不可压缩流动的有旋二维流动，存在流函

数-

而速度势。不存在

〃二〃二x2+2x-4ydy

积分得:春+2xy-2必+f（x）

一=t-2xy+2ydx

板2xy+2y+f\x)=2冷，+2y

因此『二+2xy-2/(常数可以作为零)