流体力学习题解答6

习题六

2

1.已知不可压缩平面流动的速度分布u=x+2x-4y,v=-2xy-2yo确定流动：（I）是否满足

连续性条件；（2）是否有旋；（3）驻点位置；（4）如存在速度势函数和流函数，求出它

们。4题

2.已知不可压缩平面流动的速度势为：（1）C9=—Inr；（2）—arctan^-o求：（1）

27r2乃x

速度分布；（2）流函数和流动图案。5题图

3.求以下平面流动的涡量场，并判断由给定涡量场能否唯一地确定相应的速度场。

（1）u=-y,v=0；（2）u=-（x+y）,v=y；（3）u=-y,v=x：

22

4.已知平面流场的速度分布量为：r>a,u=产T,V--5—-7；r<a,u=-yft>,v=x/。

x~+y~x~+y~

。为常数，a为半径，求图中三条封闭曲线C1,C2,C3的环量r2,「3。

5.证明以下分别用速度势和流函数表示的两个流场实际实际上是同一流场：

（P=x2+x_y2和〃=2xy+y

6.不压缩流体平面流动的速度势为夕=/一）,2+工，求其相应的流函数。

7.在（1,0）和（-1,0）两点各有强度为4乃的点源，试求在（0,0）,（0,I）,（0,-1）,

（1,1）的速度。

8.两个速度环量相等且为「=10〃//s的旋涡，分别位于y=±3处。求（1）原点处的分

速度u,V；（2）A（4,0）点处的u,V；（3）B（6.5）点处的u,v；（4）流线方程。

15题图

9.已知不可压缩流体平面流动的速度势为*=，一）/,求在点（2,1.5）处的压强。设

驻点的压强为101kN/m2,流体的密度为夕=1.19颔/〃

10.根据固定壁面可以和流线等价交换的原则，决定如下平面流动的速度势和沿壁面的

速度分布。

（1）一强度为Q的点源位于（a,0）处，y轴为固定壁面。

（2）一强度为Q的点汇位于（0,a）处，x轴为固定壁面。

11.x轴上的两点（a,0）,（-a,0）处分别放置强度为Q的一个点源和一个点汇。证

明叠加后组合流动的流函数为：

Qlay

W=arctan992

2万,v+y--a~

12.速度为V,的平行流和强度为Q的点源叠加，形成绕半无穷体的流动。求其流函数

和速度势，并证明柱形体的外形方程为r=Q（万一仍/2W，sin。，它的宽度为Q/V-

13.在平面xoy上的点（a,0）,（-a,0）处各放置一个强度为Q的点源，在点（0,a）,

（0,-a）处各放置一个强度为Q的点汇.求组合流动流函数，并证明通过这四点的圆

周就是这组合流动的一条流线。

14.已知复势函数W=（a+ib）lnz+z,其中a,b是常数，求流体运动的流线。

15.已知复势函数W=l/z,求流体运动的流线和等势线。

z+4

16.已知复势函数为（1）W=l+iz；（2）W=（l+i）In-——；（3）W=6iz+i24/z；问：

z-4

（1）流动由哪几种基本流动组成，它们的坐标位置？绘出流动图形；（2）计算经过封

闭曲线x2+），2=9的流量，及沿此曲线的速度环量。

17.圆柱体长l=5m,直径D=lm,垂直立于平板车上。平板车以=20m/s的速度匀速

前进。若此圆柱体以每秒5转绕垂直轴顺时针旋转，并受到垂直于平板行驶方向的侧风

作用，风速V2=15m/s。求圆柱体所受流体作用力的大小和方向（空气密度为1.2kg/m3,

忽略圆柱体两端三维效应）。32题图啊

18.设有半径为a,强度为「的圆周形涡丝，求经过圆心的对称轴z上的任一点M的

诱导速度。33题图

19.设有一条强度为「的LJ形泯丝，其两端伸向无穷远，求图示的点M处的诱导速度。

34图

参考答案：

4.空+仪=21+2-2尤一2=0,不可压缩，犷存在；=1(---)=1(-2^+4),

dxdyy2dxdy2

有旋，。不存在

驻点：x2+2x-4y=0且2xy+2y=0得(-1,--),(0,0),(-2,0)

4

-=u=x2+2x-4y,得〃=+2xy-2y2+f(x),-=-v,所以

dydx

2xy+2y+r(x)=2xy+2y

f(x)=0,f(x)=0,甲=,x2y+2xy-2y2

5.⑴浸喑噜

所以〃=得。

tg^=2,*=(),“且工

(2)(P-——arctan-=—^

2乃x2乃xrdr”rdO2m

rr

一乙一5—V---，所以〃=Inr

rdOrdre2勿，-----------2万

8.Q.=---o(1)u=-y,v=O,Q.=l;(2)u=-(x+yj,v=y,Q.=1;(3)u=-y,v=x,Q.=2

dxdy

八-coa~y

9.r>a,u=———y»v=罕x,；r<a>u=-y①，v=x(wo时，Q.=2M；r>a时,

厂+y~x~+y~

Q.=0

「二=2如以2；对曲线c

对曲线C12•r=o；对曲线C3：

A

Lc1212

F=2a—7O：r=-CD7TCl

42

10.(p=x2+x-y2u=—=2x+1,v=^~=-2y

dxdy

_diy_.dii/_

〃=2xy+y,u=—=2x+1,v=--=~2y

dydx

虫"=2x+l

12.(p=x2-y2+x,〃=2A>'+)'+/(%)，因为

dydx

w_v/(p

dx6y

所以-(2y+f(x))=-2y,f(x)=C=0,1=2xy+y

13W2[ln(z-1)+ln(z+1)]=211n(z-1)+ln(z+1)]

2万

此=“*=2(III

)=2(----------------1---------)-------

dzz-1z+1x-\+iyx+i+iy

在点(0,0)：u-iv=0,u=0,v=0;点(0,1)：u-iv=-2i,u=0,v=2.

412.412

点(0>-1)：u-iv=2i,u=0,v=-2;点(-1,-1)：u-iv=--F—i,u=--,v=-----

^5555

r-/v=—[^―1

15.Wz=—[ln(z+3)4-ln(z-3)],r=10.—w+-]--

2mdzmz+3z-3

AAL40.40

点(0.0)处:u-iv=0,u==,v=9;点A(4,0)处:u-iv=-——i,u=0,v=——

7乃77r

5-5-9/-5J-3z125/11、5/93

点B(6,5)处:u-iv=2[——-+'],u=--(----+—),v=—(-----+——)

兀106347T106347T10634

W=①+啦=-^―(0-ilnr)=-^―0———Inri=-^―3--In(Jx2+y2;

所以

2712乃2乃2兀兀'

(/)=—In(y[x^+F

兀

口噌=2…噜7，,,

18.(p=x2-y2,点(2,1.5)

处,V2=25

p+"2=p°用二p0—14.875尸。=100985Pa

20.(I)W=—[ln(z-«)+ln(z+a)],y轴上u=0,32

247ier+y

(2)W=z-ai)+In(z+67z)|,u-iv=---~----：------：1,X轴上

dzL7iz-aiz+at

u-iv=•」c22

x+ai2万尸+。

21.W=——[ln(z-a)-ln(z+〃)]令z-a=r

2兀

z+a=r2e汨2.W=[In八—Inq+4—2]，“(4-%)

)'y

tgO'—tg%x-ax+alay

而tg（q-夕2）=792

1+4厂十厂-cr

r-a~

Qlay

23.W=Vxz+—Inz"=匕y+求驻点u-ivuV^+g」，令u=v=0j"z=Q

24ITIITIZ2叱

Q

即x=-，y（）二°

02或

驻点:。=乃,所以过驻点的流线为：+2乃

2万2万

广：7^（乃一。）,或r一2一(乃一。),当。TOfl'J-,y=&

2和2m4,sin02%

_Q_

24.W[ln(z-o)+ln(z+a)-ln(z-ai)-ln(z+at)]

「271

dWQ,11I

u-iv=---=---[----+------------

dz27rz-az+az-iaz+ia

2z2zi_Q4/z

圆周上

z2-a2~z2+a2~2/rz4-a4

z=aeiO

2万a4(e,40-l)mie'10-e'10

2Qcos夕一isin。_Q-sin^-zcos^

m2/sin20皿sin20

所以u=--^—,v=-2—,vr=wcos^+vsin^=—2-+-^-=0

2加cos。2如sin。2加2沏

丫0二-2八亩夕+1^05夕=&吆夕+&。依夕二2[/印9+。吆例，在次圆周上只有切向

2加2加2加

速度，而法向速度v，=0,可见圆周是流线。

27.W=(a+ib)(lnr+i^)+x+iy,i//=aO+b\nr+y=const

28.

x-iyX1

W=l/z=(p=—：-----=const=----,(X2-G)+y2=cJ

~7"/+),2

厂+y-2G

y222

,x+(y+C2)=C2

w=工2+y2

3O.(l)W=l+iz,均匀流，Vg=i