甘肃省武威六中2011届高三上学期期中考试（数学理）（应届班）

甘肃省武威六中2011届高三上学期期中考试（数学理）（应届班）一、选择题要求：从每题的四个选项中，选择一个正确的答案。1.已知函数$f(x)=x^3-3x^2+4x$，则函数的对称中心为（）A.$(1,1)$B.$(1,0)$C.$(0,1)$D.$(0,0)$2.若复数$z$满足$|z-1|=|z+1|$，则复数$z$对应的点在复平面上的轨迹是（）A.$y$轴B.第一象限C.第二象限D.第四象限二、填空题要求：直接写出答案。3.已知等差数列$\{a_n\}$的首项为$2$，公差为$3$，则第$10$项$a_{10}$的值为______。4.若函数$f(x)=ax^2+bx+c$（$a\neq0$）的图象与$x$轴的两个交点坐标分别为$(-1,0)$和$(2,0)$，则函数$f(x)$的解析式为______。三、解答题要求：写出解题过程，并给出答案。5.（1）已知数列$\{a_n\}$是等比数列，且$a_1=2$，$a_3=32$，求该数列的通项公式。（2）已知函数$f(x)=x^3-3x^2+4x$，求函数$f(x)$的极值。四、解答题要求：写出解题过程，并给出答案。5.（3）已知函数$f(x)=\frac{1}{x^2-4}$，求函数$f(x)$在区间$(-\infty,-2)$和$(2,+\infty)$上的单调性。6.（4）已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n=4n^2-3n$，求该数列的首项$a_1$和公差$d$。7.（5）在平面直角坐标系中，已知点$A(1,2)$和点$B(-3,4)$，求线段$AB$的中点坐标。8.（6）已知函数$g(x)=x^3-6x^2+9x+2$，求函数$g(x)$的导数$g'(x)$。9.（7）已知等比数列$\{b_n\}$的公比为$q$，且$b_1=3$，$b_4=24$，求等比数列$\{b_n\}$的通项公式。10.（8）在平面直角坐标系中，抛物线$y=x^2-4x+3$与直线$y=2x-1$相交于两点$A$和$B$，求线段$AB$的长度。本次试卷答案如下：一、选择题1.答案：B解析思路：对称中心是函数图象关于某点的对称点，由于函数$f(x)=x^3-3x^2+4x$是一个三次函数，其对称中心可以通过求导找到函数的极值点，然后求这两个极值点的中点得到对称中心。求导得$f'(x)=3x^2-6x+4$，令$f'(x)=0$解得$x=1$，代入原函数得$f(1)=1^3-3\cdot1^2+4\cdot1=2$，所以对称中心为$(1,2)$。2.答案：A解析思路：由于$|z-1|=|z+1|$，表示复数$z$到点$1$和点$-1$的距离相等，这意味着$z$对应的点在复平面上位于$y$轴上，因为$y$轴上的点到$x$轴的左右两侧距离相等。二、填空题3.答案：$a_{10}=2+3\cdot(10-1)=2+27=29$解析思路：等差数列的通项公式为$a_n=a_1+(n-1)d$，其中$a_1$是首项，$d$是公差。代入已知的首项和公差，计算第$10$项的值。4.答案：$f(x)=x^2-4x+3$解析思路：由于函数与$x$轴的交点坐标为$(-1,0)$和$(2,0)$，可以将这两个点代入函数的解析式，得到两个方程$x^2-4x+3=0$，解这个方程得到$a=1$，$b=-4$，$c=3$。三、解答题5.（1）答案：$a_n=2\cdot4^{n-1}$解析思路：等比数列的通项公式为$a_n=a_1\cdotq^{n-1}$，其中$a_1$是首项，$q$是公比。已知$a_1=2$，$a_3=32$，代入通项公式得$32=2\cdotq^2$，解得$q=4$，所以通项公式为$a_n=2\cdot4^{n-1}$。5.（2）答案：极大值$f(1)=2$，极小值$f(2)=0$解析思路：求导得$f'(x)=3x^2-6x+4$，令$f'(x)=0$解得$x=1$和$x=2$。分别计算这两个点的函数值，得到极大值$f(1)=2$和极小值$f(2)=0$。四、解答题5.（3）答案：在区间$(-\infty,-2)$上单调递增，在区间$(2,+\infty)$上单调递减解析思路：求导得$f'(x)=-\frac{2}{(x^2-4)^2}$，分析导数的符号可以知道在区间$(-\infty,-2)$和$(2,+\infty)$上导数都为负，因此函数在这两个区间上单调递减。5.（4）答案：$a_1=3$，$d=4$解析思路：等差数列的前$n$项和公式为$S_n=\frac{n}{2}(2a_1+(n-1)d)$，代入已知的前$n$项和$S_n=4n^2-3n$，解得$a_1=3$和$d=4$。5.（5）答案：中点坐标为$(-1,3)$解析思路：线段的中点坐标是两个端点坐标的平均值，所以中点坐标为$\left(\frac{1-3}{2},\frac{2+4}{2}\right)=(-1,3)$。5.（6）答案：$g'(x)=3x^2-12x+9$解析思路：对函数$g(x)=x^3-6x^2+9x+2$求导，得到$g'(x)=3x^2-12x+9$。5.（7）答案：等比数列$\{b_n\}$的通项公式为$b_n=3\cdot2^{n-1}$解析思路：已知$b_1=3$，$b_4=24$，代入等比数列的通项公式$b_n=b_1\cdotq^{n-1}$，解得$q=2$，所以通项公式为$b_n=3\cdot2^{n