2025年高考数学模拟检测：三角函数与平面向量综合题型解题技巧试卷

2025年高考数学模拟检测：三角函数与平面向量综合题型解题技巧试卷一、选择题要求：本部分共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知函数f(x)=sin(x)+cos(x)，则f(x)的值域为（）A.[-√2,√2]B.[-1,1]C.[-2,2]D.[-√2,√2]2.若sinα+cosα=√2，则sin2α的值为（）A.1B.0C.-1D.23.已知向量a=(2,3)，向量b=(-1,2)，则向量a与向量b的夹角θ的余弦值为（）A.1/5B.2/5C.3/5D.4/54.若向量a=(x,y)，向量b=(2,3)，且向量a与向量b垂直，则x的值为（）A.3B.6C.9D.125.已知等差数列{an}的公差为d，首项为a1，若a1+a2+a3=9，则a1的值为（）A.3B.6C.9D.126.若等比数列{bn}的公比为q，首项为b1，若b1+b2+b3=27，则b1的值为（）A.3B.9C.27D.817.已知函数f(x)=x^2-2x+1，则f(x)的对称轴为（）A.x=1B.x=-1C.y=1D.y=-18.若函数f(x)=|x-1|+|x+1|，则f(x)的最小值为（）A.0B.1C.2D.39.已知向量a=(2,3)，向量b=(-1,2)，则向量a与向量b的模长分别为（）A.√5,√5B.√13,√13C.√2,√2D.√10,√1010.若函数f(x)=sin(x)+cos(x)的图像与直线y=k相交于点P，则k的取值范围为（）A.[-√2,√2]B.[-1,1]C.[-2,2]D.[-√2,√2]二、填空题要求：本部分共5小题，每小题5分，共25分。11.已知sinα=1/2，cosα=√3/2，则tanα的值为______。12.已知向量a=(2,3)，向量b=(-1,2)，则向量a与向量b的数量积为______。13.已知等差数列{an}的公差为d，首项为a1，若a1+a2+a3=9，则d的值为______。14.已知等比数列{bn}的公比为q，首项为b1，若b1+b2+b3=27，则q的值为______。15.已知函数f(x)=x^2-2x+1，则f(x)的顶点坐标为______。三、解答题要求：本部分共5小题，共75分。16.（15分）已知函数f(x)=sin(x)+cos(x)，求f(x)的值域。17.（20分）已知向量a=(2,3)，向量b=(-1,2)，求向量a与向量b的夹角θ。18.（20分）已知等差数列{an}的公差为d，首项为a1，若a1+a2+a3=9，求d的值。19.（20分）已知等比数列{bn}的公比为q，首项为b1，若b1+b2+b3=27，求q的值。20.（20分）已知函数f(x)=x^2-2x+1，求f(x)的图像与直线y=k的交点坐标。四、解答题要求：本部分共5小题，共75分。21.（15分）已知函数f(x)=2sin(x)-cos(x)，求f(x)的最大值和最小值。22.（20分）已知向量a=(3,4)，向量b=(4,3)，求向量a与向量b的投影。23.（20分）已知等差数列{an}的第n项为an=3n-2，求该数列的前10项和。24.（20分）已知等比数列{bn}的第n项为bn=2^(n-1)，求该数列的第4项和第7项的比值。25.（20分）已知函数f(x)=x^2-4x+4，求f(x)的图像与x轴的交点坐标。五、解答题要求：本部分共5小题，共75分。26.（15分）已知函数f(x)=3sin(x)+4cos(x)，求f(x)的周期。27.（20分）已知向量a=(5,-2)，向量b=(2,5)，求向量a与向量b的叉积。28.（20分）已知等差数列{an}的首项为a1=5，公差为d=2，求该数列的第10项。29.（20分）已知等比数列{bn}的首项为b1=3，公比为q=2，求该数列的前5项和。30.（20分）已知函数f(x)=x^3-3x^2+4x-4，求f(x)的导数f'(x)。六、解答题要求：本部分共5小题，共75分。31.（15分）已知函数f(x)=2sin(x+π/4)，求f(x)的图像与x轴的交点坐标。32.（20分）已知向量a=(1,0)，向量b=(0,1)，求向量a与向量b的模长。33.（20分）已知等差数列{an}的首项为a1=1，公差为d=3，求该数列的第n项。34.（20分）已知等比数列{bn}的首项为b1=4，公比为q=1/2，求该数列的第n项。35.（20分）已知函数f(x)=(x-1)^2+2，求f(x)的图像的顶点坐标。本次试卷答案如下：一、选择题1.A解析：函数f(x)=sin(x)+cos(x)可以写成f(x)=√2sin(x+π/4)，由于sin函数的值域为[-1,1]，所以f(x)的值域为[-√2,√2]。2.C解析：sinα+cosα=√2可以转化为sinα=√2-cosα，利用sin^2α+cos^2α=1，得到sin2α=2sinαcosα=2(√2-cosα)cosα。3.B解析：向量a与向量b的夹角θ的余弦值由公式cosθ=(a·b)/(|a||b|)计算，其中a·b是向量a和向量b的数量积，|a|和|b|分别是向量a和向量b的模长。4.A解析：向量a与向量b垂直，即a·b=0，代入向量a和向量b的坐标，得到2x+3y=0，解得x=-3/2。5.A解析：等差数列的前三项和为a1+(a1+d)+(a1+2d)=3a1+3d=9，解得a1=3。6.A解析：等比数列的前三项和为b1+b1q+b1q^2=b1(1+q+q^2)=27，解得b1=3。7.A解析：函数f(x)=x^2-2x+1可以写成f(x)=(x-1)^2，对称轴为x=1。8.B解析：函数f(x)=|x-1|+|x+1|在x=-1和x=1时取得最小值，即f(x)的最小值为0。9.A解析：向量a和向量b的模长分别为|a|=√(2^2+3^2)=√13，|b|=√((-1)^2+2^2)=√5。10.D解析：函数f(x)=sin(x)+cos(x)可以写成f(x)=√2sin(x+π/4)，由于sin函数的值域为[-1,1]，所以k的取值范围为[-√2,√2]。二、填空题11.1解析：tanα=sinα/cosα=(1/2)/(√3/2)=√3/3。12.7解析：向量a与向量b的数量积为a·b=2*(-1)+3*2=4。13.2解析：等差数列的前三项和为a1+(a1+d)+(a1+2d)=9，解得d=2。14.3解析：等比数列的前三项和为b1+b1q+b1q^2=27，解得q=3。15.(1,0)解析：函数f(x)=x^2-2x+1可以写成f(x)=(x-1)^2，顶点坐标为(1,0)。三、解答题16.解析：函数f(x)=sin(x)+cos(x)可以写成f(x)=√2sin(x+π/4)，由于sin函数的值域为[-1,1]，所以f(x)的值域为[-√2,√2]。17.解析：向量a与向量b的夹角θ的余弦值由公式cosθ=(a·b)/(|a||b|)计算，代入向量a和向量b的坐标，得到cosθ=(2*(-1)+3*2)/(√13*√5)=4/√65。18.解析：等差数列的前三项和为a1+(a1+d)+(a1+2d)=9，解得d=2。19.解析：等比数列的前三项和为b1+b1q+b1q^2=27，解得q=3。20.解析：函数f(x)=x^2-2x+1可以写成f(x)=(x-1)^2，与直线y=k相交，即(x-1)^2=k，解得x=1±√k。四、解答题21.解析：函数f(x)=2sin(x)-cos(x)可以写成f(x)=√5sin(x-φ)，其中tanφ=2/3，由于sin函数的值域为[-1,1]，所以f(x)的值域为[-√5,√5]。22.解析：向量a与向量b的投影为|a|cosθ，其中θ是向量a与向量b的夹角，由公式cosθ=(a·b)/(|a||b|)计算，代入向量a和向量b的坐标，得到投影为|a|cosθ=√13*(4/√65)=4/√5。23.解析：等差数列的前10项和为S10=(a1+a10)*10/2=(5+(5+9d))*10/2=50+45d。24.解析：等比数列的第4项和第7项的比值为b4/b7=(b1q^3)/(b1q^6)=q^(-3)=1/8。25.解析：函数f(x)=x^2-4x+4可以写成f(x)=(x-2)^2，与x轴相交，即(x-2)^2=0，解得x=2。五、解答题26.解析：函数f(x)=3sin(x)+4cos(x)可以写成f(x)=5sin(x+φ)，其中tanφ=4/3，由于sin函数的周期为2π，所以f(x)的周期为2π。27.解析：向量a与向量b的叉积由公式a×b=|a||b|sinθ计算，其中θ是向量a与向量b的夹角，由公式cosθ=(a·b)/(|a||b|)计算，代入向量a和向量b的坐标，得到叉积为|a||b|sinθ=√13*√13*sinθ=13sinθ。28.解析：等差数列的第10项为a10=a1+(10-1)d=5+9d。29.解析：等比数列的前5项和为S5=b1(1-q^5)/(1-q)=3(1-2^5)/(1-2)=93。30.解析：函数f(x)=x^3-3x^2+4x-4的导数f'(x)=3x^2-6x+4。六、解答题31.解析：函数f(x)=2sin(x+π/4)的图像与x轴的交点坐标由方程2sin(x+π/4)=0求解，得到x=-π/4+2kπ，k为整数。32.