立体几何建系困难问题习题及答案

1.已知三棱锥P-ABC(如图一)的平面展开图(如图二)中，四边形ABCD为边长等于√2的正方形，△ABE和△BCF均为正三角形，在三棱锥P-ABC中：(1)证明：平面PAC⊥平面ABC;(2)若点M在棱PA上运动，当直线BM与平面PAC所成的角最大时，求二面角P-BC-M的余弦值.图一图二点P在面BCDE的射影O落在BE上.(1)求证：面PCE⊥面PBE;(2)求平面PCD与平面PBE所成锐二面角的余弦值.3.如图1,在矩形ABCD中，AB=3√5,BC=2√5,点E在线段DC上，且DE=√5,现将△AED沿AE折到△AED'的位置，连结CD',BD',如图2.图2(1)若点P在线段BC上，且,证明：AE⊥DP;(2)记平面AD'′E与平面BCD'的交线为1.若二面角B-AE-D'为,求1与平面D'CE所成角的正弦值.PA=PD,PA与平面PBC所成角的正弦值为(1)求侧棱PA的长；(2)设E为AB中点，若PA≥AB,求二面角B-PC-E的余弦值.1.【答案】(1)见解析；(2)【解析】(1)设AC的中点为0,连接BO,PO.∵POC平面PAC,∴平面PAC⊥平面ABC.∴当OM最短时，即M是PA的中点时，∠BMO最大.则O(0,0,0),C(1,0,0),B(0,1,0),A(-1,0,0),P(0,0,1),设平面MBC的法向量为m=(x₁,y1,z),则由得：令x₁=1,得y₁=1,z=3,即m=(1,1,3).设平面PBC的法向量为n=(x₂,y₂,z₂),.由图可知，二面角P-BC-M的余弦值为2.【答案】(1)详见解析；(2)【解析】(1)在四棱锥P-BCDE中，BE=CE=√2,BC=2,从而有CE⊥BE,由线面垂直定理可证CE⊥面PBE,又CEc面PCE,由面面垂直判断定定理即证面PCE⊥面PBE.(2)由条件知OP⊥面BCDE,过点E做OP的平行线EZ,又由(1)知EC⊥面PBE,以EB、EC、EZ分别为x、y、z轴建立如图所示：设面PCD的法向量为n₂=(x,y,z),则有从而可得面PCD的一个法向量为n₂=(1,-1,-3),设平面PCD与平面PBE所成锐二面角为θ,与(n,n₂〉互补，则故平面PCD与平面PBE所成二面角的余弦值为3.【答案】(1)详见解析；(2)【解析】证明：(1)先在图1中连结DP,在Rt△ADE中，由AD=BC=2√5,DE=√5,解：(2)延长AE,BC交于点Q,连接D'Q,根据公理3得到直线D'Q即为1,再根据二面角定义得到.在平面POD'内过点O作底面垂线，以O为原点，分别为OA,OP,及所作垂线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则D(0,-1,√3),E(-1,0,0),Q(-11,0,0),C(-3,4,0),D'Q=(-11,1,-√3),EC=(-2,4,0),ED=(1设平面D'EC的一个法向量为n=(x,y,z),由,取y=1,∴1与平面D'CE所成角的正弦值【解析】(1)取AD中点0,BC中点M,连结OP,OM,∵PA=PD,∴OP⊥AD,又∵ABCD是正方形，∴OA⊥OM,以O为原点OA,OM,OP为x,y,z轴建立空间直角坐标系O-xyz(如图),则设P(0,0,c)(c>0),则,CB=(10,0),设平面PBC的一个法向量为n=(x₁,y₁,z),则有取z₁=1,则y₁=c,从而n₁=(0,c,1),设PA与平面PBC所成角为α,∵