人教A版高二寒假作业09综合训练4

人教A版高二寒假作业9:综合训练4学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.(2024·江西省·联考题)抛物线y=83x2A.y=−23 B.y=−43 C.2.(2024··月考试卷)下列命题中正确的是(

)A.若直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tanα

B.若直线的斜率为tanα，则此直线的倾斜角为α

C.平行于x轴的直线的倾斜角为180∘3.(2024·广东省·联考题)圆x+y−6x−2y+1=0

被x轴所截得的弦长为(

)A.22 B.23 C.4.(2024·江苏省盐城市·月考试卷)“直线x+ay−1=0与直线ax−y+1=0相互垂直”是“a=1”的(

)A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件5.(2024·广东省茂名市·期末考试)已知F1、F2是椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0A.32 B.2−3 C.6.(2024·广西壮族自治区·模拟题)在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA.15 B.56 C.7.(2024·江苏省南京市·期末考试)若函数f(x)=x−13sin 2x+asinx在(−∞,+∞)A.−1,1 B.−1,13 C.−18.(2024·浙江省·单元测试)已知数列an满足a1=1,an+1=an1+A.32<S100<3 B.3<S二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.(2023·浙江省金华市·期末考试)已知椭圆C：x2m+y29=1的焦点在A.椭圆C的长轴长为6 B.椭圆C的短轴长为2

C.椭圆C的焦距为22 D.椭圆C10.(2024·内蒙古自治区·月考试卷)如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，∠BAC=∠BAA1=90°，AB=AC=AA1=1，设AB=aA.A1B=BC=2

B.BA1与AC所成的角为60°

C.BC1=a+11.(2024·重庆市市辖区·期末考试)已知等差数列an的前n项和为Sn，若n+1Sn>nSn+1，A.an是递减数列 B.a2023>a2024

C.Sn≤S三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.(2024·浙江省温州市·模拟题)已知向量n=2,0,1为平面α的法向量，点A−1,2,1在α内，点P1,2,−2在α外，则点P到平面α的距离为13.(2024·浙江省温州市·模拟题)在平面直角坐标系xOy中，若圆x2+y2=4和圆x2+y214.(2024·上海市市辖区·期末考试)已知函数f(x)=x+4e,x≤0exx,x>0，若存在x1≤0，x2>0四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(2023·河南省开封市·期中考试)(本小题13分)已知圆M:(x−1)2+(y+2(1)求圆M关于直线l对称的圆的标准方程;(2)P是直线l上的动点，过P点作圆M的切线PA，切点为A，求切线长|PA|最短时切线PA的方程．16.(2024·福建省·期中考试)(本小题15分)

如图，在棱长为4的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别是A1B1和B1C1的中点．

(1)17.(2024·安徽省安庆市·模拟题)(本小题15分)已知a1=π4(1)求tana1，tana2(2)证明：{tan2(3)设bn=1tanan+tan18.(2024·广东省·联考题)(本小题17分)

已知函数f(x)=lnx+ax2+(2a+1)x．

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)当a<0时，证明：f(x)≤−19.(2024·广东省广州市·期中考试)(本小题17分)若坐标平面内的曲线C与某正方形A四条边的所在直线均相切，则称曲线C为正方形A的一条“切曲线”，正方形A为曲线C的一个“切立方”．(1)试写出圆(x−a)2+(y−b)(2)已知正方形A的方程为|x|+|y|=1，且正方形A为双曲线x2a2−(3)已知P(x0,y0)为函数f(x)=ax2+bx(a≠0)的图象上任一点，则函数f(x)在P点处的切线方程为y−y0=(2ax0+b)(x−x01.【答案】C

【解析】【分析】本题考查抛物线的焦点、准线，属于基础题．

写出抛物线的标准方程，即可求出准线方程．【解答】解：由题意，抛物线y=83x所以抛物线y=83x故选：C．2.【答案】D

【解析】【分析】本题考查直线斜率与倾斜角的关系，属于基础题．

根据倾斜角和斜率的概念进行分析可得答案．【解答】解：对于A，当

α=π2

时，直线的斜率不存在，故对于B，当

α=−π4

时，斜率为

−1

，倾斜角为

3π4

≠α

对于C，平行于x轴的直线的倾斜角为

0∘

，故C对于D，若直线的斜率不存在，则此直线的倾斜角为

90∘故选：D．3.【答案】D

【解析】【分析】本题考查直线与圆相交的弦长，属于基础题．

根据圆的弦长公式即可求解．【解答】解：

x+y−6x−2y+1=0

的圆心为

3,1

，半径r=3

，因此圆被

x

轴所截得的弦长为

2r故选：D．4.【答案】B

【解析】【分析】本题考查两条直线垂直的判定及应用，充分必要条件的判断，属于中档题．

根据两直线垂直的充要条件，则可判断充分性和必要性．【解答】解：因为直线

x+ay−1=0

与直线

ax−y+1=0

相互垂直，所以

1×a+a×所以

a∈R

．当

a=1

时，直线

x+ay−1=0

与直线

ax−y+1=0

相互垂直，而当直线

x+ay−1=0

与直线

ax−y+1=0

相互垂直时，

a=1

不一定成立，所以“直线

x+ay−1=0

与直线

ax−y+1=0

相互垂直”是“

a=1

”的必要而不充分条件，故选：B．5.【答案】D

【解析】【分析】本题考查了求椭圆的离心率，涉及了椭圆的定义，属于中档题．

利用勾股定理得出∠F1AF2=90∘，利用椭圆的定义求得【解答】解：如下图所示，设AF1=3t，则AB=4t，所以，∠F由椭圆的定义可得AF1+AB+所以，AF所以，▵AF1F2为等腰直角三角形，可得所以，该椭圆的离心率为e=c故选：D．6.【答案】C

【解析】【分析】本题考查长方体的结构特征以及利用空间向量解决空间角的问题，属于基础题．

根据条件建立适当的空间直角坐标系，把异面直线所成角转化为空间向量的夹角问题解决．【解答】解：以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，

则A(1,0,0)，D1(0,0,3)∴AD1设异面直线AD1与DB∴cos θ=AD17.【答案】C

【解析】【分析】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查不等式恒成立问题，属于中档题.求出f(x)的导数，由题意可得f′(x)≥0恒成立，设t=cosx(−1≤t≤1)，则5−4t2+3at≥0，对t讨论，分t=0【解答】解：函数f(x)=x−13sin2x+asinx的导数为：f′(x)=1−23cos2x+acosx，

由题意可得f′(x)≥0恒成立，即1−23cos2x+acosx≥0，

即53−43cos2x+acosx≥0，

设t=cosx(−1≤t≤1)，则5−4t2+3at≥0，

当t=0时，不等式显然成立;

当0<t⩽1时，3a≥4t−5t，令gt=4t−5t

由g(t)=4t−gt=4t−5t在(0,1]单调递增，可得t=1时，取得最大值−1，

可得3a≥−1，即a≥−13;

当−1≤t<0时，3a≤4t−5t，

由gt=4t−5t8.【答案】A

【解析】【分析】本题主要考查数列的递推关系式及其应用，数列求和与放缩的技巧等知识，属于难题．显然可知，S100>32，利用倒数法得到1an+1=1an+1【解答】

解：因为a1=1，an+1=an1+an(n∈N∗)，所以an>0，S100>32．

由an+1=an1+an⇒1an+1=9.【答案】ABD

【解析】【分析】本题考查椭圆的方程与性质，属于中档题．

先由题意及椭圆的几何性质求得m=1，从而得到a=3，b=1，c=2【解答】解：因为椭圆C：x2m+y2又因为2a=3×2b，故a2=9b2，即对于A，由a2=9得a=3，故椭圆C的长轴长为2a=6，故对于B，由b2=m=1得b=1，故椭圆C的短轴长为2b=2，故对于C，因为c2=a2−b2=9−1=8，所以c=2对于D，易知椭圆C的离心率为ca=2故选：ABD．10.【答案】BD

【解析】【分析】本题考查命题的真假判断与应用，考查利用空间向量求解空间距离与空间角，考查运算求解能力，是中档题．【解答】

解：∵∠BAC=∠BAA1=90°，AB=AC=AA1=1，∴A1B=BC=2，A错；

由题可知，BA1=c−a，|BA1|=2，|AC|=1，a⋅b=0．

∵BA1⋅AC=(c−a)⋅b=c⋅b−a⋅b=c⋅b11.【答案】ACD

【解析】【分析】本题考查数列的单调性，数列与不等式，等差数列前n项和的最值问题，等差数列的前n项和公式，数列的前n项和及Sn与an的关系，等差数列的性质，属于较难题．

根据给定条件，结合等差数列前【解答】解：在等差数列an中，由(n+1)Sn>nSn+1，

得因此等差数列{an}为递减数列，

公差小于0又a2024S2023<a2024S2022，因此a2023>0，结合A选项等差数列{an}为递减数列，

则Sn的最大值是S2023，

因为S4046=4046(则a2023+a2024<0，

结合a2023>0，aS4045=4045(a1+a4045)2=4045a2023>0，

且当n>4046时，故选：ACD．12.【答案】5【解析】【分析】本题考查点面距离的向量求法，属于基础题．

根据给定条件，利用点到平面距离的向量求法计算作答．【解答】解：依题意，

AP=(2,0,−3)

，而平面

α

的法向量为

n=所以点P到平面

α

的距离

d=|AP故答案为：

513.【答案】x−y+2=0

【解析】【分析】本题考查了求关于点或直线对称的圆的方程，属于基础题．

由题知直线

l

为两个圆心连线的中垂线，分别求圆心，利用点斜式求解即可．【解答】解：若圆

x2+y2=4

和圆

x2则直线

l

为两个圆心连线的中垂线，x2+y2=4

x2+y2+4x−4y+4=0

kO1O2=−1可得直线

l

为

y−1=x+1

，整理得：

x−y+2=0

．故答案为：

x−y+2=0

．14.【答案】[−4e【解析】【分析】本题考查利用导数研究恒成立与存在性问题、利用导数求函数的最值(不含参)、二次函数的最值，属于较难题．

由f(x1)=f(x2)得到x1=e【解答】

解：因为f(x1)=f(x2)，

所以x1+4e=ex2x2，所以x1=ex2x2−4e，

因为x1≤0，ex2x2≤4e，

当x>0时，f(x)=exx，则f′(x)=ex(x−1)x2，

令f′(x)=0，得x=1，

所以f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，

所以函数f(x)在x=1处取得最小值e，

所以e≤ex215.【答案】解：(1)圆M:(x−1)2+(y+2)2=2的圆心M(1,−2)，半径r=2，

记圆M关于直线l对称的圆的圆心为N(a,b)，

则b+2a−1=−3,a+12−3×b−22+3=0,

解得a=−1,b=4,

因为圆N的半径为2，

所以圆N的标准方程为(x+1)2+(y−4)2=2；

(2)P是直线l上的动点，PA是圆M的切线，所以MA⊥PA，

易知切线长|PA|最短时，|PM|也最短，

当PM⊥l时，|PM|最短，此时kPM=−3，

所以直线PM的方程为：3x+y−1=0，

联立直线l【解析】本题考查圆的标准方程求解和直线与圆的位置关系，属于中档题．

(1)先得出圆M关于直线l对称的圆的圆心坐标N，进而可得圆的标准方程；

(2)当PM⊥l时，|PM|最短，此时kPM=−3，可得直线PM的方程，联立直线l的方程，可得P坐标，则设直线PA的方程为：y−1=kx，由点到直线距离公式得出k，可得16.【答案】解：(1)如图所示，以点A为原点建立空间直角坐标系A−xyz，

依题意，得A(0,0,0)，C(4,4,0)，B(4,0,0)，D(0,4,0)，

E(2,0,4)，F(4,2,4)，

则AC=(4,4,0)，EF=(2,2,0)=12AC，∴AC/​/EF，

又∵AC⊄平面BEF，EF⊂平面BEF，∴AC//平面BEF，

∴AC到平面BEF的距离等于点A到平面BEF的距离，

BE=(−2,0,4)，BF=(0,2,4)，

设平面BEF的法向量为n=(x,y,z)，则n⋅BE=−2x+4z=0n⋅BF=2y+4z=0，

取z=1，则x=2，y=−2，∴n=(2,−2,1)是平面BEF的一个法向量，

又AB=(4,0,0)，所以点A到平面BEF的距离为：

d=|AB⋅n||n|=|4×2+(−2)×0+1×0|22+(−2)【解析】本题主要考查线面距离的计算，面面角的计算，空间想象能力的培养，空间向量及其应用等知识，属于中等题．

(1)先证明出AC/​/平面BEF，所以AC到平面BEF的距离即为点A到平面BEF的距离，建立空间直角坐标系，根据点到平面的距离向量公式即可求出AC到平面BEF的距离；

(2)分别求出平面ACC1A1与平面BEF的一个法向量，根据平面夹角的定义即可求出面17.【答案】解：(1)a1=π4，tana1=1，

cos⁡a1=cos⁡π4=22，tana2=1cosa1=2，

∴sina2cosa2=【解析】本题考查数列的递推关系，等差数列的判定，等差数列的通项公式，裂项相消法求和，同角三角函数关系的应用，属于中档题．

(1)由a1=π4，tana1=1，cosa1，由递推公式得tana2=1cosa1=18.【答案】(1)解：因为f(x)=lnx+ax2+(2a+1)x，且f(x)的定义域为{x|x>0}，

所以f′(x)=1x+2ax+(2a+1)

=2ax2+(2a+1)x+1x

=(2ax+1)(x+1)x，

①当a=0时，f′(x)=1x+1>0恒成立，此时函数f(x)在(0,+∞)上单调递增；

②当a>0，由于x>0，所以(2ax+1)(x+1)>0恒成立，此时函数f(x)在(0,+∞)上单调递增；

③当a<0时，令f′(x)=0，解得：x=−12a或x=−1(舍)，

当x∈(0,−12a)时f′(x)>0；当x∈(−12a,+∞)时，f′(x)<0，

所以函数f(x)在(0,−12a)上单调递增，在(−12a,+∞)上单调递减；

综上可知：当a≥0时，f(x)在