提高专题8三角函数的范围最值问题（学生版）

探究一三角函数式的最值或范围提高探究一三角函数式的最值或范围【方法储备】求三角函数式的最值或范围问题(1)把三角函数式正确地化简成单一函数形式；(2)根据所给自变量的范围正确地确定ωx＋φ的范围，从而根据三角函数的单调性求范围.(3)有时需要借助基本不等式求范围或最值.【典例精讲】 例1.(2023·广东省广州市·模拟题)已知扇形POQ的半径为2，∠POQ=π3，如图所示，在此扇形中截出一个内接矩形ABCD(点B，C在弧PQ上)，则矩形ABCD面积的最大值为

．例2.(2023·北京市市辖区·模拟题)函数fx=Asinωx+φx∈R,A>0,ω>0,0<φ<π(1)求fx(2)设gx=f(x-π12)2，求函数【拓展提升】练11.(2023·江苏省南京市·模拟题)已知函数f(x)=2sinωx+π6，其中ω>0.若x1，x2是方程f(x)=2的两个不同的实数根，且|x1-x2|的最小值为练12.(2023·江苏省南京市·模拟题)已知函数f(x)=2cos(ωx+φ)的部分图像如图所示，则满足条件f(x)-f-7π4探究二与三角函数性质有关的参数范围【方法储备探究二与三角函数性质有关的参数范围与三角函数性质有关的参数问题，主要分为三类，其共同的解法是将y＝Asin(ωx＋φ)中的ωx＋φ看作一个整体，结合正弦函数的图象与性质（对称性、奇偶性或单调性）进行求解.考向1:由最值(或值域)求参数的范围考向2:由单调性求参数的范围考向3:由对称性求参数的范围考向4:由函数的零点求参数的范围【典例精讲】例3.(2023·湖北省三市联考)已知函数f(x)=8cos(x-θ+π3)cos(x-θ-π3)+2(0<θ<π2A.5π6 B.2π3 C.5π12例4.(2023·广东省揭阳市·模拟题)已知函数f(x)=sin(ωx-π6)(ω>0)在区间[0,π4]上的最大值为A.1 B.2 C.3 D.4例5.(2023·全国·模拟题)(多选）设函数g(x)=sinωx(ω>0)向左平移π3ω个单位长度得到函数f(x)，若f(x)在0,2π3上恰有2个零点，3A.gx在π12,π6上单调递减

B.ω的取值范围为134,4

C.若g(x)的图象关于直线x=2π【拓展提升】练21.(2023·海南省海口市·模拟题)已知x1，x2是函数f(x)=tanωx-φω>0,0<φ<π的两个零点，且x1-x2的最小值为π3，若将函数f(x)的图象向左平移πA.3π4 B.π4 C.7π8练22.(2023·山东省菏泽市·模拟题)已知函数f(x)=3sinωx-cosωx(ω>0)在区间-2π5,A.23,83 B.23,练23.(2023·河北省·模拟题)（多选）已知函数f(x)=3sin(ωx+φ)ω>0,|φ|<π2的最小正周期为T，且满足5π6<T<4π3，f13π6-x=-f(x)，A.-32 B.32 C.3探究探究三三角形中有关量的最值或范围【方法储备】三角形中的最值、范围问题的解题策略：(1)定基本量：根据题意画出图形，找出三角形中的边、角，利用正弦、余弦定理求出相关的边、角，并选择边、角作为基本量，确定基本量的范围.(2)构建函数：根据正弦、余弦定理或三角恒等变换，将所求范围的变量表示成函数形式.(3)求最值：利用基本不等式或函数的单调性等求函数的最值.【典例精讲】例6.(2023·北京市·模拟题)在△ABC中，若3cos2A-B2+5cosA.-34 B.-43 C.例7.(2023·湖南省·模拟题)在ΔABC中，sinBsin(1)判断ΔABC的形状；(2)求sinA+sin【拓展提升】练31.(2023·安徽省安庆市·模拟题)在△ABC中，BC=2,AB=2AC,D为BC

的中点，则tan∠ADC的最大值为

．练32.(2023·江西省宜春市期末考试)（多选）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c-b=2bcosA，则下列结论正确的有(

)A.A=2BB.B的取值范围为(0,π4)

C.ab的取值范围为【答案解析】例1.解：作∠POQ的角平分线OE，交AD于F，BC于E，连接OC，

根据题意可知△AOD为等边三角形，则E为BC的中点，F为AD的中点，

设∠COE=α，α∈(0,π6)，

CE=OCsinα=2sinα，则AD=BC=2CE=4sinα，

则OF=32AD=23sinα，

OE=OCcosα=2cosα，则AB=2cosα-23sinα，

所以矩形ABCD的面积S=AB⋅BC=4sinα(2cosα-23sinα)

=4sin2α+4例2.解：(1)由图知A=2，T4=π6-(-π6)=π3，则2πω=4×π3，

∴ω=32，∴fx=2sin32x+φ，

∴2sin32×π6+φ=2，

∴sinπ4+φ=1，

练11.解：∵x1，x2是方程f(x)=2的两个不同的实数根，且|x1-x2|的最小值为π，

由f(x)=2，得2sin(ωx+π6)-2=0，即sin(ωx+π6)=1，

∴ωx1+π6=2k1π+π2或ωx2+π6=2k2π+π2，

k1练12.解：34T=13π12-π3=34π,可得T=π,ω=2.

将x=π3代入f(x)=2cos例3.解：f(x)=8cos(x-θ+π3)cos(x-θ-π3)+2

=8×cos⁡(x-θ+π3+x-θ-π3)+cos⁡(x-θ+π3-x+θ+π3)2+2

=4cos2x-2θ

因为f(x)=8cos(x-θ+π3)cos(x-θ-π3)+2(0<θ<例4.解：函数f(x)=sin(ωx-π6)(ω>0)在区间[0,π4]上的最大值为ω3，

当ωπ4-π6>π2，即ω>83时，f(x)的最大值为1=ω3，解得ω=3；

当ωπ4-π6≤π2，即0<ω≤83时，f(x)的最大值为sin(ωπ4-π6)=ω3，

令g(ω)=sin(ωπ例5.解：由题意f(x)=sin[ω(x+π3ω)]=sin⁡(ωx+π3)，

当x∈0,2π3，π3<ωx+π3<2π3ω+π3，

fx在0,2π3上恰有2个零点，3个极值点，

则52π<2π3ω+π3⩽3π，解得：134<ω⩽4，故B正确；

当ω=4时，若x∈π12,π6，则ωx∈π3,2π3，结合正弦函数单调性，

可知函数g(x)在π12,π6上不单调，故A错误；

对于C，若gx的图象关于直线x=2π3对称，

则2π3ω=kπ+π练21.解：由题意知函数fx的最小正周期T=π3，则πω=π3，得ω=3，

∴fx=tan3x-φ．

将函数fx的图象向左平移π12个单位长度，得到y=tan3x+π12-φ=tan3x+π4-φ的练22.解：由f(x)=3sinωx-cosωx=2sinωx-π6，

当x∈0,π时，ωx-π6∈-π6,ωπ-π6，

由f(x)在区间[0，

π]上只取得一次最大值，

所以

π2≤ωπ-π6<5π2，得23≤ω<

83练23.解：因为5π6<T<4π3，所以5π6<2πω<4π3，得32<ω<125，

因为f(13π6-x)=-f(x)，所以x=13π12为f(x)的零点，

即13π12ω+φ=k1π，k1∈Z，

因为f(-π6-x)=f(-π6+x)，所以x=-π6为f(x)图象的一条对称轴，

即-π6ω+φ=π2+k2π，k2∈Z，

所以54ω=-12+(k1-k2)，k1-k2∈Z例6.解：在△ABC中，∵3cos2A-B2+5cos2C2=4，即3×1+cos(A-B)2+5×1+cosC2=4，

化简可得3cos(A-B)+5cosC=0，

∴(3cosAcosB+3sinAsinB)-(5cosAcosB-5sinAsinB)=0，

∴-2cosAcosB+8sinAsinB=0，

∴4sinAsinB=cosAcosB，

∴tanAtanB=14．

很明显，tanA、tanB同号，又tanA、tanB最多有一者小于0故答案选：B．例7.解：(1)因为

sinBsinC=cos2A所以

2sinBsinC=1+cosA=1-cos因为

B,C∈(0,π)

，即-π<B-C<π，

所以

B-C=0

，即B=C，则ΔABC为等腰三角形；(2)因为

sin设

f(C)=sin2C+2sinC当

C∈(0,π3)

时，

f'(C)>0

，

f(C)

单调递增；

当

C∈(π3,π2所以，当

C=π3

时，

f(C)

最大，最大值为

练31.解：设

AC=x

，则

AB=2x

，因为D

为BC

的中点，

BC=2

，所以

BD=DC=1

，由三角形三边关系，可知

2x+x>2

且

2x-x<2

，解得

23<x<2在

△ABD

中，由余弦定理，得

cos∠ADB=A在

△ACD

中，由余弦定理，得

cos∠ADC=A因为

∠ADB+∠ADC=π

，

所以

cos∠ADB=cos所以

AD2+1-(2x)22AD则

cos∠ADC=5令

52x2-1=t

，则则

cos∠ADC=310当且仅当

t=1t

，即t=1

时，等号成立，此时

52x2-1=1因为

cos∠ADC≥35>0

，所以因为

y=cosx

在

0,π2

上单调递减，

y=tanx所以当

cos∠ADC

取得最小值时，

tan∠ADC此时

sin∠ADC=1-cos2∠ADC所以

tan∠ADC

的最大值为

43

．

故答案为：

4练32.解：∵c-b=2bcosA，

∴由正弦定理可得sinC-sinB=2sinBcosA，

又sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB，