2024年秋九年级数学上册第四章图形的相似4.1成比例线段第2课时等比性质备课素材新版北师大版

PAGEPAGE7第四章图形的相像1成比例线段第2课时比例的性质素材一新课导入设计情景导入置疑导入归纳导入复习导入类比导入悬念激趣置疑导入如图4－1－15①所示，这两个正六边形边长的比和周长的比各是多少？你是怎么想的？如图②，这两个正八边形边长的比和周长的比各是多少？你是怎么想的？图4－1－15[说明与建议]说明：思维往往从人的动作、活动参加起先的，而动手操作及量一量活动，则最易激发学生的想象、思维和发觉．在量一量中增加自己的感性相识与阅历，进而上升到理性视察、思索与推理论证．建议：在学生操作时，老师要引导学生进行思索、分析，为进一步学习积累数学活动阅历做好铺垫．复习导入你还记得八年级上册中“改变的鱼”吗？假如将点的横坐标和纵坐标都乘(或除以)同一个非零数，那么用线段连接这些点所围成的图形的边长如何改变？图4－1－16①中的鱼是将坐标为(0，0)，(5，4)，(3，0)，(5，1)，(5，－1)，(3，0)，(4，－2)，(0，0)的点O，A，B，C，D，B，E，O用线段依次连接而成的；图②中的鱼是将图①中鱼上每个点的横坐标、纵坐标都乘2得到的．图4－1－16(1)线段CD与HL，OA与OF，BE与GM的长度分别是多少？(2)线段CD与HL的比，OA与OF的比，BE与GM的比分别是多少？它们相等吗？(3)你还能找到其他比相等的线段吗？[说明与建议]说明：利用前面学习过的学问——“改变的鱼”来引导学生找到两个图形间的共同之处．借助图形的直观性来调动学生的学习爱好，并通过三个问题引出新课．建议：可以让学生仔细视察，先独立思索，后小组沟通，为本节课的学习做好铺垫．素材二教材母题挖掘教材母题——第80页例2在△ABC与△DEF中，已知eq\f(AB,DE)＝eq\f(BC,EF)＝eq\f(CA,FD)＝eq\f(3,4)，且△ABC的周长为18cm，求△DEF的周长．【模型建立】依据比例中的等比性质，知各个比例式的分子之和与分母之和的比等于其中随意一个比例式．肯定要留意它的前提条件：各分母之和不等于0.【变式变形】1．已知eq\f(x,a)＝eq\f(y,b)＝eq\f(z,c)＝2(2a－3b＋c≠0)，求eq\f(2x－3y＋z,2a－3b＋c)的值．[答案：2]2．如图4－1－17，已知每个小方格的边长均为1，求线段AB，DE，BC，DC，AC，EC的长，并计算△ABC与△EDC的周长比．图4－1－17[答案：AB＝2eq\r(5)，DE＝eq\r(5)，BC＝2eq\r(10)，DC＝eq\r(10)，AC＝2eq\r(13)，EC＝eq\r(13)，△ABC与△EDC的周长比为2∶1]素材三考情考向分析[命题角度1]利用比例的性质求代数式的值比例的性质包含基本性质、等比性质和合比性质．在遇到相关问题时，要留意考虑选择适当的方法．例[凉山中考]已知eq\f(b,a)＝eq\f(5,13)，则eq\f(a－b,a＋b)的值是(D)A.eq\f(2,3)B.eq\f(3,2)C.eq\f(9,4)D.eq\f(4,9)[命题角度2]比例中的双解问题比例线段是相像三角形的基础，是沟通代数与几何计算的桥梁，但在详细处理有关比例线段的问题时，因缺乏慎重考虑，时常出现各种各样的错误，特殊是在运用等比性质时忽视分母之和不等于0的前提条件．例若eq\f(a,b＋c)＝eq\f(b,c＋a)＝eq\f(c,a＋b)＝k，求k的值．[答案：eq\f(1,2)或－1]素材四教材习题答案P80随堂练习已知eq\f(a,b)＝eq\f(c,d)＝eq\f(2,3)(b＋d≠0)，求eq\f(a＋c,b＋d)的值．解：eq\f(a＋c,b＋d)＝eq\f(2,3).P81习题4.21．已知eq\f(a,b)＝eq\f(c,d)＝eq\f(e,f)＝eq\f(2,3)(b＋d＋f≠0)，求eq\f(a＋c＋e,b＋d＋f)的值．解：eq\f(a＋c＋e,b＋d＋f)＝eq\f(2,3).2．如图，已知每个小方格的边长均为1，求AB，DE，BC，DC，AC，EC的长，并计算△ABC与△EDC的周长比．解：AB＝2eq\r(5)，DE＝eq\r(5)，BC＝2eq\r(10)，DC＝eq\r(10)，AC＝2eq\r(13)，EC＝eq\r(13)，l△ABC∶l△EDC＝2∶1.3．假如eq\f(a,b)＝eq\f(c,d)，那么eq\f(a＋b,b)＝eq\f(c＋d,d)，eq\f(a－b,b)＝eq\f(c－d,d).你认为这个结论正确吗？为什么？解：正确．理由：∵eq\f(a,b)＝eq\f(c,d)，∴eq\f(a,b)＋1＝eq\f(c,d)＋1，eq\f(a,b)－1＝eq\f(c,d)－1，即eq\f(a＋b,b)＝eq\f(c＋d,d)，eq\f(a－b,b)＝eq\f(c－d,d).素材五图书增值练习专题综合运用比例性质1.若＝＝，且2a－b＋3c＝21，求4a－3b＋c的值．2．如图，已知＝＝，求证：＝．【学问要点】1．成比例线段：在四条线段a，b，c，d中，假如a与b的比等于c与d的比，我们就把这四条线段叫做成比例线段．2．比例的基本性质(1)假如eq\f(a,b)＝eq\f(c,d)，那么ad＝bc，(2)假如eq\f(a,b)＝eq\f(b,c)，那么b2＝ac，(3)假如eq\f(a,b)＝eq\f(c,d)，那么eq\f(a±b,b)＝eq\f(c±d,d).【温馨提示】四条线段的长度单位不统一时，要化成统一的长度单位后，再计算推断是否成比例，防止出错．【方法技巧】1．比例式是等式，故可利用等式性质将比例式变形．2．遇到比例式时，可设协助未知数k，即设这些比的比值为k，这种借助另一个未知数的解题方法叫协助未知数法．3．利用比例的基本性质可求长度，通常是“知三求一”，有时也可以设适当未知数列方程求解．参考答案：1．解：设＝＝＝k，则a＋2＝3k，b＝4k，c＋5＝6k，

即a＝3k－2，b＝4k，c＝6k－5．

∵2a－b＋3c＝21，∴2（3k－2）－4k＋3（6k－5）＝21，

∴k＝2．∴a＝4，b＝8，c＝7．

∴4a－3b＋c＝4×4－3×8＋7＝－1．2．证明：∵＝＝，∴＝，即＝，∴＝，即＝．素材六数学素养提升比例线段错解诊所在学习比例线段时，时常出现各种各样的错误，为了便利同学们学习，现就常见的错解问题举例说明.一、对比的概念相识模糊例1因为＝，所以a＝4，b＝3，你认为这种说法正确吗？为什么？错解正确.因为a＝4，b＝3，所以＝，反过来则有＝，即a＝4，b＝3.剖析＝仅表示a、b在同一长度单位下的比值，并不表示a＝4，b＝3.正解这种说法是错误的.因为＝仅表示a、b在同一长度单位下的比值，它表示a＝4k，b＝3k(k＞0)，所以这种说法是错误的.二、对线段比的单位相识不足例2有两条线段，它们的长度之比为a∶b＝5∶3，则a＝5cm，b＝3cm，你认为这种说法正确吗？为什么？错解正确.因为a＝5cm，b＝3cm，所以它们的长度之比为a∶b＝5∶3，即这种说法是正确的.剖析比值是没有单位的，它与采纳共同单位无关.正解这种说法是错误的.因为a∶b＝5∶3仅表示a、b的比值，它表示a＝5k，b＝4k(k＞0)，所以这种说法是错误的.三、忽视单位的统一例3A、B两地的实际距离AB＝250m，画在纸上的距离A′B′＝5cm，求纸上距离与实际距离的比.错解纸上距离与实际距离的比是A′B′∶AB＝5∶250＝1∶50.剖析求两条线段的比，就是求出这两条线段用统一单位量得的线段长度之比，这里要留意有三点：①两条线段的比与采纳的长度单位无关，因此一般线段的长度单位可不写；②假如给出的线段长度单位不同，则必需化为同一长度单位后再求线段的比；③两线段的比值总是正数，如在运算中出现负数，必需舍去，结果一般化为最简整数比.由此我们可以发觉本题的错解是没有将单位化同一.正解因为AB＝250m＝25000cm，所以纸上距离与实际距离的比是A′B′∶AB＝5∶25000＝1∶5000.四、错误认为两个分式相等就有分子与分母分别相等例4若＝，求的值.错解因为＝，所以解得所以＝.剖析这里错把两个分数相等，则它们的分子、分母分别相等，而事实上如＝，分子上的2与1、分母上的4与2都是不相等的，虽然结果是正确的，但是过程是错误的.正解设＝＝k(k≠0)，所以y＝(y－x)k，即xk＝yk－y＝y(k－1)，所以＝＝＝.五、忽视运用性质的条件例5若＝＝＝k.求k的值.错解因为＝＝＝k，所以由等比性质，得＝k，即k＝.剖析运用等比性质的条件是分母之和不等于0，而这里并没有说明a+b+c≠0，所以应分状况探讨.正解当a+b+c≠0时，由等比性质，得＝k，即k＝；当a+b+c＝0时，则有a+b＝－c，或a+c＝－b，或b+c＝－a，无论哪一种状况都有k＝－1，所以k的值为或－1.六、错误地运用设k法解题例6已知x∶y∶z＝3∶5∶6，且2x－y+3z＝38，求3x+y－2z的值.错解设x∶y∶z＝3∶5∶6＝k，则x＝3k，y＝5k，z＝6k，又2x－y+3z＝38，所以6k－5k+18k＝38，即k＝2，所以3x+y－2z＝9k+5k－12k＝2k＝4.剖析本题不能用“设x∶y∶z＝3∶5∶6＝k”的方法求解，因为“3∶5∶6＝k”这个式子是错误的，所以虽然结果正确，但起先的设法就是错误的.正解因为x∶y∶z＝3∶5∶6，所以可设＝＝＝k，则x＝3k，y＝5k，z＝6k，又2x－y+3z＝38，所以6k－5k+18k＝38，即k＝2，所以3x+y－2z＝9k+5k－12k＝2k＝4.七、忽视成线段成比例的依次性例7已知线段a＝3cm，b＝5cm，c＝7