2024-2025版高中物理第一章电磁感应微型专题1法拉第电磁感应定律的应用讲义+精练含解析教科版选修3-2

PAGE13-微型专题1法拉第电磁感应定律的应用[学科素养与目标要求]物理观念：进一步娴熟驾驭法拉第电磁感应定律．科学思维：1.对比公式E＝neq\f(ΔΦ,Δt)和E＝BLv，找到其区分和联系，并会敏捷选用这两个公式求解电动势.2.驾驭电磁感应电路中感应电荷量求解的基本思路和方法.3.会求解导体棒转动切割磁感线产生的感应电动势．一、E＝neq\f(ΔΦ,Δt)和E＝BLv的比较应用E＝neq\f(ΔΦ,Δt)E＝BLv区分探讨对象整个闭合回路回路中做切割磁感线运动的那部分导体适用范围各种电磁感应现象只适用于导体切割磁感线运动的状况计算结果Δt内的平均感应电动势某一时刻的瞬时感应电动势联系E＝BLv是由E＝neq\f(ΔΦ,Δt)在肯定条件下推导出来的，该公式可看做法拉第电磁感应定律的一个推论例1如图1所示，导轨OM和ON都在纸面内，导体AB可在导轨上无摩擦滑动，AB⊥ON，若AB以5m/s的速度从O点起先沿导轨匀速右滑，导体与导轨都足够长，磁场的磁感应强度为0.2T．问：图1(1)3s末夹在导轨间的导体长度是多少？此时导体切割磁感线产生的感应电动势多大？(2)3s内回路中的磁通量改变了多少？此过程中的平均感应电动势为多少？答案(1)5eq\r(3)m5eq\r(3)V(2)eq\f(15\r(3),2)Wbeq\f(5,2)eq\r(3)V解析(1)夹在导轨间的部分导体切割磁感线产生的电动势才是电路中的感应电动势．3s末，夹在导轨间导体的长度为：l＝vt·tan30°＝5×3×tan30°m＝5eq\r(3)m此时：E＝Blv＝0.2×5eq\r(3)×5V＝5eq\r(3)V(2)3s内回路中磁通量的改变量ΔΦ＝BS－0＝0.2×eq\f(1,2)×15×5eq\r(3)Wb＝eq\f(15\r(3),2)Wb3s内电路产生的平均感应电动势为：eq\x\to(E)＝eq\f(ΔΦ,Δt)＝eq\f(\f(15\r(3),2),3)V＝eq\f(5,2)eq\r(3)V.[学科素养]本题通过对瞬时感应电动势和平均感应电动势的计算，加深了学生对公式E＝neq\f(ΔΦ,Δt)和E＝BLv适用条件的理解．知道E＝neq\f(ΔΦ,Δt)探讨整个闭合回路，适用于计算各种电磁感应现象中Δt内的平均感应电动势；E＝BLv探讨的是闭合回路的一部分，即做切割磁感线运动的导体，只适用于计算导体切割磁感线运动产生的感应电动势，可以是平均感应电动势，也可以是瞬时感应电动势．通过这样的训练，熬炼了学生的综合分析实力，体现了“科学思维”的学科素养．例2如图2甲所示，固定在水平面上电阻不计的光滑金属导轨，间距d＝0.5m．右端接一阻值为4Ω的小灯泡L，在CDEF矩形区域内有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度B按如图乙规律改变．CF长为2m．在t＝0时，金属棒ab从图示位置由静止在恒力F作用下向右运动到EF位置，整个过程中小灯泡亮度始终不变．已知金属棒ab电阻为1Ω，求：图2(1)通过小灯泡的电流；(2)恒力F的大小；(3)金属棒的质量．答案(1)0.1A(2)0.1N(3)0.8kg解析(1)金属棒未进入磁场时，电路总电阻R总＝RL＋Rab＝5Ω回路中感应电动势为：E1＝eq\f(ΔΦ,Δt)＝eq\f(ΔB,Δt)S＝0.5V灯泡中的电流为IL＝eq\f(E1,R总)＝0.1A.(2)因灯泡亮度始终不变，故在t＝4s末金属棒刚好进入磁场，且做匀速运动，恒力F与安培力平衡，此时金属棒中的电流I＝IL＝0.1A恒力大小为F＝F安＝BId＝0.1N.(3)因灯泡亮度始终不变，金属棒在磁场中运动时，产生的感应电动势为E2＝E1＝0.5V金属棒在磁场中的速度v＝eq\f(E2,Bd)＝0.5m/s金属棒未进入磁场时的加速度为a＝eq\f(v,t)＝0.125m/s2故金属棒的质量为m＝eq\f(F,a)＝0.8kg.二、电磁感应中的电荷量问题闭合回路中磁通量发生改变时，电荷发生定向移动而形成感应电流，在Δt内迁移的电荷量(感应电荷量)q＝I·Δt＝eq\f(E,R总)·Δt＝neq\f(ΔΦ,Δt)·eq\f(1,R总)·Δt＝eq\f(nΔΦ,R总).(1)从上式可知，线圈匝数肯定时，感应电荷量仅由回路电阻和磁通量的改变量确定，与时间无关．(2)求解电路中通过的电荷量时，I、E均为平均值．例3(2024·中山市第一中学高二第一次段考)一个阻值为R、匝数为n的圆形金属线圈与阻值为2R的电阻R1、电容为C的电容器连接成如图3(a)所示回路．金属线圈的半径为r1，在线圈中半径为r2的圆形区域内存在垂直于线圈平面对里的匀强磁场，磁感应强度B随时间t改变的关系图线如图(b)所示．图线与横、纵轴的截距分别为t0和B0.导线的电阻不计．求：图3(1)通过电阻R1的电流大小；(2)0～t1时间内通过电阻R1的电荷量q；(3)t1时刻电容器所带电荷量Q.答案(1)eq\f(nπB0r\o\al(22),3Rt0)(2)eq\f(nπB0r\o\al(22)t1,3Rt0)(3)eq\f(2nπCB0r22,3t0)解析(1)由B－t图像可知，磁感应强度的改变率为：eq\f(ΔB,Δt)＝eq\f(B0,t0)，依据法拉第电磁感应定律，感应电动势：E＝neq\f(ΔΦ,Δt)＝nπr22eq\f(ΔB,Δt)＝eq\f(nπB0r\o\al(22),t0)依据闭合电路的欧姆定律，感应电流为：I1＝eq\f(E,3R)联立解得：I1＝eq\f(nπB0r\o\al(22),3Rt0)(2)通过R1的电荷量q＝I1t1，得：q＝eq\f(nπB0r\o\al(22)t1,3Rt0)(3)电容器两板间电压为：U＝I1R1＝eq\f(2nB0πr\o\al(22),3t0)则电容器所带的电荷量为：Q＝CU＝eq\f(2nπCB0r\o\al(22),3t0).三、导体棒转动切割磁感线产生感应电动势的计算1．当导体棒在垂直于磁场的平面内，其一端固定，以角速度ω匀速转动时，产生的感应电动势为E＝Bleq\x\to(v)＝eq\f(1,2)Bl2ω，如图4所示．图42．若圆盘在磁场中以角速度ω绕圆心匀速转动时，如图5所示，相当于多数根“辐条”转动切割磁感线，它们之间相当于电源的并联结构，圆盘上的感应电动势为E＝Breq\x\to(v)＝eq\f(1,2)Br2ω.图5例4长为l的金属棒ab以a点为轴在垂直于匀强磁场的平面内以角速度ω匀速转动，如图6所示，磁感应强度大小为B.求：图6(1)金属棒ab两端的电势差；(2)答案(1)eq\f(1,2)Bl2ω(2)eq\f(1,2)Bl2ωΔteq\f(1,2)Bl2ω解析(1)ab两端的电势差：E＝Bleq\x\to(v)＝eq\f(1,2)Bl2ω.(2)经时间Δt金属棒ab所扫过的扇形面积ΔS＝eq\f(1,2)l2θ＝eq\f(1,2)l2ωΔt，ΔΦ＝BΔS＝eq\f(1,2)Bl2ωΔt.由法拉第电磁感应定律得：eq\x\to(E)＝eq\f(ΔΦ,Δt)＝eq\f(\f(1,2)Bl2ωΔt,Δt)＝eq\f(1,2)Bl2ω.1．(两公式的对比应用)(多选)如图7所示，一导线弯成半径为a的半圆形闭合回路．虚线MN右侧有磁感应强度为B的匀强磁场，方向垂直于回路所在的平面对下．回路以速度v向右匀速进入磁场，直径CD始终与MN垂直．从D点到达边界起先到C点进入磁场为止，下列结论正确的是()图7A．感应电动势最大值E＝2BavB．感应电动势最大值E＝BavC．感应电动势的平均值eq\x\to(E)＝eq\f(1,2)BavD．感应电动势的平均值eq\x\to(E)＝eq\f(1,4)πBav答案BD解析在半圆形闭合回路进入磁场的过程中，有效切割长度如图所示，所以进入过程中l先渐渐增大到a，然后再渐渐减小为0，由E＝Blv可知，感应电动势最大值Emax＝Bav，最小值为0，A错误，B正确；平均感应电动势为eq\x\to(E)＝eq\f(ΔΦ,Δt)＝eq\f(B·\f(1,2)πa2,\f(2a,v))＝eq\f(1,4)πBav，D正确，C错误．2.(转动切割磁感线产生感应电动势)如图8所示，匀强磁场中有一由半圆弧及其直径构成的导线框，半圆直径与磁场边缘重合；磁场方向垂直于半圆面(纸面)向里，磁感应强度大小为B0.使该线框从静止起先绕过圆心O、垂直于半圆面的轴以角速度ω匀速转动半周，在线框中产生感应电流．现使线框保持图中所示位置，磁感应强度大小随时间线性改变．为了产生与线框转动半周过程中同样大小的电流，磁感应强度随时间改变的改变率eq\f(ΔB,Δt)的大小应为()图8A.eq\f(4ωB0,π) B.eq\f(2ωB0,π)C.eq\f(ωB0,π) D.eq\f(ωB0,2π)答案C解析设半圆的半径为L，电阻为R，当线框以角速度ω匀速转动时产生的感应电动势E1＝eq\f(1,2)B0ωL2.当线框不动，而磁感应强度随时间线性改变时E2＝eq\f(1,2)πL2·eq\f(ΔB,Δt)，由eq\f(E1,R)＝eq\f(E2,R)得eq\f(1,2)B0ωL2＝eq\f(1,2)πL2·eq\f(ΔB,Δt)，即eq\f(ΔB,Δt)＝eq\f(ωB0,π)，故C项正确．3.(电磁感应中的电荷量问题)如图9所示，空间存在垂直于纸面的匀强磁场，在半径为a的圆形区域内部及外部，磁场方向相反，磁感应强度的大小均为B.一半径为b(b＞a)、电阻为R的圆形导线环放置在纸面内，其圆心与圆形区域的中心重合．当内、外磁场同时由B匀称地减小到零的过程中，通过导线环截面的电荷量为()图9A.eq\f(πB|b2－2a2|,R)B.eq\f(πBb2＋2a2,R)C.eq\f(πBb2－a2,R)D.eq\f(πBb2＋a2,R)答案A解析起先时穿过导线环向里的磁通量设为正值，Φ1＝Bπa2，向外的磁通量则为负值，Φ2＝－B·π(b2－a2)，总的磁通量为它们的代数和(取肯定值)Φ＝B·π|b2－2a2|，末态总的磁通量为Φ′＝0，由法拉第电磁感应定律得平均感应电动势为eq\x\to(E)＝eq\f(ΔΦ,Δt)，通过导线环截面的电荷量为q＝eq\f(\x\to(E),R)·Δt＝eq\f(πB|b2－2a2|,R)，A项正确．一、选择题考点一公式E＝neq\f(ΔΦ,Δt)、E＝BLv的应用1．(多选)如图1甲所示，在匀强磁场中有一细金属环．通过圆环的磁通量Φ随时间t的改变状况如图乙所示，则关于圆环中产生的平均感应电动势的说法，正确的是()图1A．在0～2s内，平均感应电动势为2VB．在2～4s内，平均感应电动势为2VC．在4～9s内，平均感应电动势为0.6VD．在4～9s内，平均感应电动势为1V答案AD2．如图2所示，三个相同的金属圆环内存在着不同的有界匀强磁场，虚线表示环的某条直径，已知全部磁场的磁感应强度随时间改变关系都满意B＝kt，磁场方向如图所示．测得A环内感应电流为I，则B环和C环内感应电流分别为()图2A．IB＝I、IC＝0B．IB＝I、IC＝2IC．IB＝2I、IC＝2ID．IB＝2I、IC＝0答案D解析C环中穿过圆环的磁感线完全抵消，磁通量为零，保持不变，所以没有感应电流产生，则IC＝0.依据法拉第电磁感应定律得：E＝eq\f(ΔΦ,Δt)＝eq\f(ΔB,Δt)S＝kS，S是有效面积，则得E∝S，所以A、B中感应电动势之比为EA∶EB＝1∶2，依据欧姆定律知，IB＝2IA＝2I，故选D.3．如图3所示，一无限长直导体薄板宽为l，板的长度方向沿y轴，板面与z轴垂直，整个系统放在磁感应强度为B的匀强磁场中，B的方向沿z轴正方向．板的两侧与一个电压表相接，假如电压表与导体薄板均以速度v向y轴正方向移动，则电压表指示的电压值为()图3A．0B.eq\f(1,2)BlvC．BlvD．2Blv答案A解析整个导体薄板在切割磁感线，相当于长为l的导线在切割磁感线，而连接电压表的导线也在切割磁感线，整个回路中电流恒为零，所以电压表测得的数值为0.4．(多选)半径为a、右端开小口的导体圆环和长为2a的导体直杆，单位长度电阻均为R0.圆环水平固定放置，整个内部区域分布着竖直向下的匀强磁场，磁感应强度为B.杆在圆环上以速度v平行于直径CD向右做匀速直线运动，杆始终有两点与圆环良好接触，从圆环中心O起先，杆的位置由θ确定，如图4所示．则()图4A．θ＝0时，杆产生的感应电动势为2BavB．θ＝eq\f(π,3)时，杆产生的感应电动势为eq\r(3)BavC．θ＝0时，杆受的安培力大小为eq\f(2B2av,2＋πR0)D．θ＝eq\f(π,3)时，杆受的安培力大小为eq\f(3B2av,3＋5πR0)答案AD解析起先时刻，感应电动势E1＝BLv＝2Bav，故A项正确．θ＝eq\f(π,3)时，E2＝B·2acoseq\f(π,3)·v＝Bav，故B项错误．由L＝2acosθ，E＝BLv，I＝eq\f(E,R)，R＝R0[2acosθ＋(π＋2θ)a]，得在θ＝0时，F＝eq\f(B2L2v,R)＝eq\f(4B2av,2＋πR0)，故C项错误．θ＝eq\f(π,3)时，F＝eq\f(3B2av,3＋5πR0)，故D项正确．考点二导体转动切割磁感线的计算5．如图5所示，半径为r的金属圆盘在垂直于盘面的匀强磁场B中，绕O轴以角速度ω沿逆时针方向(从右向左看)匀速运动，则通过电阻R的电流的大小是(金属圆盘的电阻不计)()图5A.eq\f(Br2ω,R) B.eq\f(2Br2ω,R)C.eq\f(Br2ω,2R) D.eq\f(Br2ω,4R)答案C解析金属圆盘在匀强磁场中匀速转动，可以等效为多数根长为r的导体棒绕O点做匀速圆周运动，其产生的电动势大小为E＝eq\f(Br2ω,2)，故通过电阻R的电流I＝eq\f(Br2ω,2R)，故选C.6.如图6所示，导体棒AB的长为2R，绕O点以角速度ω匀速转动，OB长为R，且O、B、A三点在一条直线上，有一磁感应强度为B的匀强磁场充溢转动平面且与转动平面垂直，那么AB两端的电势差大小为()图6A.eq\f(1,2)BωR2B．2BωR2C．4BωR2D．6BωR2答案C解析A点线速度vA＝ω·3R，B点线速度vB＝ωR，AB棒切割磁感线的平均速度eq\x\to(v)＝eq\f(vA＋vB,2)＝2ωR，由E＝BLv得，AB两端的电势差大小为E＝B·2R·eq\x\to(v)＝4BωR2，C正确．考点三电磁感应中的电荷量问题7．在匀强磁场中，有一个接有电容器的矩形导线回路，如图7所示，已知电容C＝30μF，回路的宽和长分别为l1＝5cm，l2＝8cm，磁场磁感应强度的改变率为5×10－2T/s，则()图7A．电容器带电荷量为2×10－9CB．电容器带电荷量为4×10－9CC．电容器带电荷量为6×10－9CD．电容器带电荷量为8×10－9C答案C×0.05×0.08V＝2×10－4V．电容器的电荷量为q＝CU＝30×10－6×2×10－4C＝6×10－9C，C选项正确．8．如图8所示，一正方形线圈的匝数为n，边长为a，总电阻为R，线圈平面与匀强磁场垂直，且一半处在磁场中，在Δt时间内，磁感应强度的方向不变，大小由B匀称地增大到2B，在此过程中，线圈中通过导线横截面的电荷量为()图8A.eq\f(Ba2,2R) B.eq\f(nBa2,2R)C.eq\f(nBa2,R) D.eq\f(2nBa2,R)答案B解析磁感应强度的改变率eq\f(ΔB,Δt)＝eq\f(2B－B,Δt)＝eq\f(B,Δt)，eq\x\to(E)＝neq\f(ΔΦ,Δt)＝neq\f(ΔB,Δt)S，其中磁场中的有效面积S＝eq\f(1,2)a2，由q＝eq\x\to(I)·Δt＝eq\f(\x\to(E),R)Δt，得q＝eq\f(nBa2,2R)，选项B正确，A、C、D错误．9.如图9所示，将一个闭合金属圆环从有界磁场中匀速拉出，第一次速度为v，通过金属圆环某一横截面的电荷量为q1，其次次速度为2v，通过金属圆环某一横截面的电荷量为q2，则()图9A．q1∶q2＝1∶2B．q1∶q2＝1∶4C．q1∶q2＝1∶1D．q1∶q2＝2∶1答案C10.物理试验中，常用一种叫做“冲击电流计”的仪器测定通过电路的电荷量．如图10所示，探测线圈与冲击电流计串联后可用来测定磁场的磁感应强度．已知线圈的匝数为n，面积为S，线圈与冲击电流计组成的回路电阻为R.若将线圈放在被测匀强磁场中，起先时线圈平面与磁场垂直，现把探测线圈翻转180°，冲击电流计测出通过线圈的电荷量为q，由上述数据可得出被测磁场的磁感应强度为()图10A.eq\f(qR,S)B.eq\f(qR,nS)C.eq\f(qR,2nS)D.eq\f(qR,2S)答案C解析由题意知q＝eq\x\to(I)·Δt＝eq\f(\x\to(E),R)·Δt＝eq\f(n\f(ΔΦ,Δt),R)Δt＝neq\f(ΔΦ,R)＝neq\f(2BS,R)，则B＝eq\f(qR,2nS)，故C正确．11．(多选)如图11所示是测量通电螺线管内部磁感应强度的一种装置：把一个很小的测量线圈放在待测处(测量线圈平面与螺线管轴线垂直)，将线圈与可以测量电荷量的冲击电流计G串联，当将双刀双掷开关K由位置1拨到位置2时，测得通过测量线圈的电荷量为q.已知测量线圈的匝数为N，横截面积为S，测量线圈和G串联回路的总电阻为R.下列推断正确的是()图11A．在此过程中，穿过测量线圈磁通量的改变量为ΔΦ＝qRB．在此过程中，穿过测量线圈磁通量的改变量为ΔΦ＝eq\f(qR,N)C．待测处磁感应强度的大小为B＝eq\f(qR,NS)D．待测处磁感应强度的大小为B＝eq\f(qR,2NS)答案BD解析由E＝Neq\f(ΔΦ,Δt)＝IR，q＝IΔt，得ΔΦ＝eq\f(qR,N)，B正确；ΔΦ＝2BS，得B＝eq\f(qR,2NS)，D正确．二、非选择题12．如图12所示，导线全部为裸导线，半径为r，两端开有小口的圆内有垂直纸面对里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，一根长度大于2r的导线MN以速度v在圆环上无摩擦地自左端匀速滑到右端，电路中固定电阻值为R，其余部分电阻均忽视不计，试求MN从圆环左端滑到右端的过程中：图12(1)电阻R上的最大感应电流；(2)电阻R上的平均感应电流；