2024年高考数学一轮复习专题2.6对数及对数函数练习含解析

PAGEPAGE1对数及对数函数【套路秘籍】【套路秘籍】千里之行始于足下一．对数的概念(1)对数的定义①一般地，假如a(a>0，a≠1)的b次幂等于N，即ab＝N，那么称b是以a为底N的对数，记作b＝logaN，其中，a叫做对数的底数，N叫做真数．②底数的对数是1，即logaa＝1,1的对数是0，即loga1＝0.(2)几种常见对数对数形式特点记法一般对数底数为a(a>0且a≠1)logaN常用对数底数为10lgN自然对数底数为elnN4.对数的性质与运算法则(1)对数的性质①＝N(a>0且a≠1，N>0)；②logaaN＝N(a>0且a≠1)．(2)对数的重要公式①换底公式：logbN＝eq\f(logaN,logab)(a，b均大于零且不等于1，N>0)；②logab＝eq\f(1,logba)(a，b均大于零且不等于1)．(3)对数的运算法则假如a>0且a≠1，M>0，N>0，那么①loga(MN)＝logaM＋logaN；②logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM(n∈R)；④＝eq\f(n,m)logaM.二．对数函数的定义1.形如y＝logax(a>0，a≠1)的函数叫作对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．2．对数函数的图象与性质a>10<a<1图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R过点(1,0)，即当x＝1时，y＝0在(0，＋∞)上是单调增函数在(0，＋∞)上是单调减函数3.反函数指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．【修炼套路】【修炼套路】为君聊赋《今日诗》，努力请从今日始考向一对数的运算【例1】（1）lg22·lg250＋lg25·lg40＝.（2）若3a=5b=225，则1a+1b（4）若loga2=m，loga【答案】（1）1（2）12【解析】（1）lg22·lg250＋lg25·lg40＝lg22·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(lg\f(1000,4)))＋(1－lg2)2·(2lg2＋1)＝lg22·(3－2lg2)＋(lg22－2lg2＋1)·(2lg2＋1)＝1.（2）∵3a（3）∵loga2=m，loga【套路总结】【套路总结】对数运算的一般思路(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并．(2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．【举一反三】1．已知a＝log32，那么log38－2log36用a表示为．【答案】a－2【解析】log38－2log36＝log323－2(log32＋log33)＝3log32－2(log32＋1)＝3a－2(a＋1)＝a－2.2．若3x＝4y＝36，则eq\f(2,x)＋eq\f(1,y)＝.【答案】1【解析】3x＝4y＝36，两边取以6为底的对数，得xlog63＝ylog64＝2，∴eq\f(2,x)＝log63，eq\f(2,y)＝log64，即eq\f(1,y)＝log62，故eq\f(2,x)＋eq\f(1,y)＝log63＋log62＝1.3．设2a＝5b＝m，且eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝2，则m＝.【答案】eq\r(10)【解析】由已知，得a＝log2m，b＝log5m，则eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(1,log2m)＋eq\f(1,log5m)＝logm2＋logm5＝logm10＝2.解得m＝eq\r(10).4．计算：eq\f(1－log632＋log62·log618,log64)＝.【答案】1【解析】原式＝eq\f(1－2log63＋log632＋log6\f(6,3)·log66×3,log64)＝eq\f(1－2log63＋log632＋1－log632,log64)＝eq\f(21－log63,2log62)＝eq\f(log66－log63,log62)＝eq\f(log62,log62)＝1.5.已知均不为1的正数a，b，c满意ax＝by＝cz，且eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＋eq\f(1,z)＝0，求abc的值．【答案】1【解析】令ax＝by＝cz＝k.由已知k>0且k≠1，于是xlga＝ylgb＝zlgc＝lgk，故eq\f(1,x)＝eq\f(lga,lgk)，eq\f(1,y)＝eq\f(lgb,lgk)，eq\f(1,z)＝eq\f(lgc,lgk).因为eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＋eq\f(1,z)＝0，所以eq\f(lga＋lgb＋lgc,lgk)＝0，即eq\f(lgabc,lgk)＝0.故lg(abc)＝0，得abc＝1.6.设logaC，logbC是方程x2－3x＋1＝0的两根，求的值．【答案】±eq\f(\r(5),5).【解析】由题意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(logaC＋logbC＝3，,logaC·logbC＝1，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,logCa)＋\f(1,logCb)＝3，,\f(1,logCa·logCb)＝1，))于是有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(logCa＋logCb＝3，,logCa·logCb＝1，))(logCa－logCb)2＝(logCa＋logCb)2－4logCa·logCb＝32－4＝5，故logCa－logCb＝±eq\r(5).于是＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(logC\f(a,b)))－1＝eq\f(1,logCa－logCb)＝±eq\f(\r(5),5).7.方程eq\f(3,3x)－eq\f(5,6)＝3x－1的实数解为．【答案】x＝log32【解析】原方程可化为2(3x)2＋5·3x－18＝0，即(3x－2)(2·3x＋9)＝0,3x＝2(2·3x＝－9舍去)，得x＝log32.考向二对数函数的推断【例2】函数f(x)=(a2+a-5)A．3B．-3C．-log3【答案】B【解析】因为函数f(x)为对数函数，所以函数f(x)系数为1，即a2+a-5=1，即a=2或因为对数函数底数大于0，所以a=2，f(x)=log2x【套路总结】【套路总结】对数函数的推断：对数函数的系数等于一、真数大于0、底数大于0且不等于1。【举一反三】1．下列函数是对数函数的是()A．y=log3C．y=lnx【答案】C【解析】由对数函数定义可以，本题选C。2．下列函数，是对数函数的是A．y=lg10xB．y=log3x2C．y=lnxD．y=log13【答案】C【解析】由对数函数的定义，形如y=logax（a>0，a≠1）的函数是对数函数，由此得到：y=lg10x=x，y=log3x2=2log3．在M=log（x–3）（x+1）中，要使式子有意义，x的取值范围为A．（–∞，3]B．（3，4）∪（4，+∞）C．（4，+∞）D．（3，4）【答案】B【解析】由函数的解析式可得x+1>0x-3>0考向三对数的单调性【例3】（1）函数f(x)=lg(6x-（2）若函数f(x)＝log2(x2－ax－3a)在区间(－∞，－2]上是减函数，则实数a的取值范围是________．【答案】（1）[3,6)（2）[－4,4)【解析】（1）由题可得6x-x2>0，即0<x<6，所以函数f(x)的定义域为(0,6)，又函数y=6x-x2在（2）由题意得x2－ax－3a>0在区间(－∞，－2]上恒成立且函数y＝x2－ax－3a在(－∞，－2]上单调递减，则eq\f(a,2)≥－2且(－2)2－(－2)a－3a>0，解得实数a的取值范围是[－4,4)．【套路总结】【套路总结】复合函数的单调性以及单调区间的求法．复合函数的单调性，一要留意先确定函数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行推断，推断的依据是“同增异减”【举一反三】1．已知f(x)=x2-4ax+3,x<1logax+2a,x≥1满意对随意A．(0,12] B．[1【答案】C【解析】f（x）=x2-4ax+3,x<1logax+2a,x≥1满意所以分段函数是减函数，所以：0<a<12a≥14-4a≥2a，解得2．函数y=ln（4-x）+1n（2+x）的单调递增区间为（）A．(-2,1) B．(1,4)【答案】A【解析】要使函数有意义，则4-x>02+x>0得x<4y=ln（4-x）+1n（2+x）=ln（4-x）（2+x）=ln（-x2+2x+8）设t=-x2+2x+8，则y=lnt为关于t的增函数，要求函数y=ln（-x2+2x+8）的单调递增区间，等价为求t=-x2+2x+8的单调递增区间，∵当-2＜x＜1时，函数t=-x2+2x+8为增函数，即函数t=-x2+2x+8的单调递增区间为（-2，1），即函数y=ln（4-x）+1n（2+x）的单调递增区间为（-2，1），故选：A．3．已知f(x)=log12(x【答案】[-1,【解析】令g(x)=x2-ax-a．∵f(x)=∴g(x)应在(-∞,-12)上为减函数且g(x)>0因此a2≥-12g-12≥0考向四比较大小【例4】(1)设a＝log412，b＝log515，c＝log618，则a，b，c的大小关系为________．(用“>”连接)【答案】（1）a>b>c（2）a<b<c【解析】（1）a＝1＋log43，b＝1＋log53，c＝1＋log63，∵log43>log53>log63，∴a>b>c.【套路总结】【套路总结】比较大小问题是每年高考的高频考点，基本思路是：(1)比较指数式和对数式的大小，可以利用函数的单调性，引入中间量；有时也可用数形结合的方法．(2)解题时要依据实际状况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，假如指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1.【举一反三】1.设a＝log3π，b＝log2eq\r(3)，c＝log3eq\r(2)，则a，b，c的大小关系是________．【答案】a>b>c【解析】因为a＝log3π>log33＝1，b＝log2eq\r(3)<log22＝1，所以a>b，又eq\f(b,c)＝eq\f(\f(1,2)log23,\f(1,2)log32)＝(log23)2>1，c>0，所以b>c，故a>b>c.2.已知a＝log23＋log2eq\r(3)，b＝log29－log2eq\r(3)，c＝log32，则a，b，c的大小关系是________．【答案】a＝b>c【解析】因为a＝log23＋log2eq\r(3)＝log23eq\r(3)＝eq\f(3,2)log23>1，b＝log29－log2eq\r(3)＝log23eq\r(3)＝a，c＝log32<log33＝1，所以a＝b>c.3.已知函数y＝f(x＋2)的图象关于直线x＝－2对称，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝|log2x|，若a＝f(－3)，b＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))，c＝f(2)，则a，b，c的大小关系是________．【答案】b>a>c【解析】易知y＝f(x)是偶函数．当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝|log2x|，且当x∈[1，＋∞)时，f(x)＝log2x单调递增，又a＝f(－3)＝f(3)，b＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))＝f(4)，所以b>a>c.4.设a＝log32，b＝log52，c＝log23，则a，b，c的大小关系是________．(用“>”连接)【答案】c>a>b【解析】a＝log32<log33＝1，b＝log52<log55＝1.又c＝log23>log22＝1，所以c最大．由1<log23<log25，得eq\f(1,log23)>eq\f(1,log25)，即a>b，所以c>a>b.考向五对数函数图像【例5】(1)如图是对数函数y＝logax的底数a的值分别取eq\r(3)，eq\f(4,3)，eq\f(3,5)，eq\f(1,10)时所对应的图象，则相应的C1，C2，C3，C4的a的值依次是________．(2)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f(x)＝ln(x＋1)，则函数f(x)的大致图象为()(3)当0<x≤eq\f(1,2)时，4x<logax，则a的取值范围是________．【答案】（1）eq\r(3)，eq\f(4,3)，eq\f(3,5)，eq\f(1,10)（2）C（3）eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1))【解析】（1）略（2）先作出当x≥0时，f(x)＝ln(x＋1)的图象，明显图象经过点(0,0)，再作此图象关于y轴对称的图象可得函数f(x)在R上的大致图象，如选项C中图象所示．（3）由题意得，当0<a<1时，要使得4x<logaxeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<x≤\f(1,2)))，即当0<x≤eq\f(1,2)时，函数y＝4x的图象在函数y＝logax图象的下方．又当x＝eq\f(1,2)时，即函数y＝4x的图象过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2)).把点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))代入y＝logax，得a＝eq\f(\r(2),2).若0<x≤eq\f(1,2)时，函数y＝4x的图象在函数y＝logax图象的下方，则需eq\f(\r(2),2)<a<1(如图所示)．当a>1时，不符合题意，舍去．所以实数a的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1)).【举一反三】1。函数y＝2log4(1－x)的图象大致是()【答案】C【解析】函数y＝2log4(1－x)的定义域为(－∞，1)，解除A，B；又函数y＝2log4(1－x)在定义域内单调递减，解除D.故选C.2.已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|lgx|，0<x≤10，,－\f(1,2)x＋6，x>10，))若a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则abc的取值范围是________．【答案】(10,12)【解析】作出函数f(x)的大致图象如下．由图象知，要使f(a)＝f(b)＝f(c)，不妨设0<a<b<c，则－lga＝lgb＝－eq\f(1,2)c＋6.∴lga＋lgb＝0，∴ab＝1，∴abc＝c.由图知10<c<12，∴abc∈(10,12)．3.若函数y＝a|x|(a>0且a≠1)的值域为{y|y≥1}，则函数y＝loga|x|的图象大致是()【答案】B【解析】由于y＝a|x|的值域为{y|y≥1}，∴a>1，则y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，又函数y＝loga|x|的图象关于y轴对称．因此y＝loga|x|的图象应大致为选项B.故选B.考向六定义域与值域【例6】．已知函数f（x）＝log2x的定义域是[2，16]．设g（x）＝f（2x）﹣[f（x）]2．（1）求函数g（x）的解析式及定义域；（2）求函数g（x）的最值．【答案】（1）gx=log22x【解析】（1）由题意可得则gx=log22x-log（2）令t＝log2x，则t∈[1，3]，函数gx转化为h（t）＝﹣t2+t+1，t由二次函数性质，得h（t）在[1，3]递减所以h（t）的值域为[h（3），h（1）]，即[﹣5，1]，所以当x＝8时，t=3，g（x）有最小值﹣5，当x＝2时，t=1，g（x）有最大值1．【举一反三】1.函数y=log1【答案】【解析】x2-6x+17=x-32+8>0恒成立，设t=由复合函数的单调性可知函数y=log12x2-6x+172．函数f(x)=log2(ax2+2x+a)【答案】[0,1]【解析】若函数f(x)=log2(ax2+2x+a)的值域为R，故函数y＝ax2+2当a＝0时符合条件；当a＞0时，应有△＝4﹣4a2≥0，解得-1≤a≤1，故0<a≤1，综上知实数a的取值范围是[0,13.已知函数f(x)=loga(x+2)，g(x)=loga（1）求函数f(x)+g(x)的定义域；（2）若函数f(x)+g(x)的最大值是2，求a的值；（3）求使f(x)-g(x)>0成立的x的取值范围.【答案】（1）(-2,4)（2）t∈(0,9]（3）a>1时满意题意的x的取值范围是(1,4);0<a<1【解析】（1）要使f(x)+g(x)的表达式有意义，则有：x+2>0∴函数f(x)+g(x)的定义域是(-（2）令h(x)=f(x)+g(x)，则h(x)=设t=-x2+2x+8，则t∈(即y=logat，t∈(0,9]的最大值是2.∴a>1且（3）由f(x)-g(x)>0即logⅠ：若a>1，则x+2>4-x>0,∴1<x<4Ⅱ：若0<a<1，则有：0<x+2<4-x,∴-2<x<1∴a>1时满意题意的x的取值范围是(1,4)0<a<1时满意题意的x的取值范围是考向七反函数【例7】已知函数f（x）=2x的反函数为y=g（x），则g（12A．-1 B．1 C．12 D．2【答案】A【解析】∵由y=f(x)=2x，得x=log则g1【举一反三】1．已知函数f(x)=1+2lgx，则A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】依据题意：f1=1+2lg1=1若f故f1+2．已知f(x)=x+1【答案】-1【解析】f(x)=x+12x，由y=x+12x,得∴f-13．f(x)=x2+2x（x≥0【答案】x+1-1（x≥0【解析】设fx=y=x2+2x因为x≥0，所以x=-1+因为x≥0，所以y≥0，所以反函数f-1(x)=x+1故答案为：x+1-1，【运用套路】【运用套路】纸上得来终觉浅,绝知此事要躬行1．若a=log2【答案】a<b<c【解析】因为a=log222．a=40.9，b=log2【答案】a>c>b【解析】a=40.9=2又a=293．已知a=5log23.4，b=【答案】a>b>c【解析】a=5log23.4，∵log23.4>log若函数y=loga(x2-ax+1)【答案】0<a<2且a≠1【解析】由题意可得：要使f（x）的定义域为R，则对随意的实数x都有x2﹣ax+1＞0恒成立，故有a>0a≠1△=a2-4<0解得0＜a5．函数f(x)=lg(2kx2-kx+【答案】[【解析】由题意，函数f(所以关于x的不等式2kk=0时，不等式为3k≠0时，应满意△=k2综上，实数k的取值范围是[0,3)．故答案为：6．函数fx【答案】-∞，0【解析】ln∵1+2x-1>0且本题正确结果：-∞,07．定义在-2a+3,a上的偶函数fx，当x∈0,a时，fx【答案】1,2【解析】由题意，函数fx是定义在-2a+3,a上的偶函数，所以-2a+3+a=0，即a=3当x∈0,3时，2x+3∈3,9，所以又由fx是定义在-3,3上的偶函数，所以函数fx的图象关于y轴对称，所以f8．函数fx【答案】1【解析】令2x=t，t>0，则4x9．函数y=log【答案】[2,+∞)【解析】∵x2+2x+5＝（x+1）2+4，∴x2+2x+5＝（x+1）2+4≥4，则y＝log2（x2+2x+5）≥log24＝2，即y≥2，∴函数的值域为[2，+∞）．故答案为：[2，+∞）.10．函数y=log【答案】(0,1]【解析】由题意可知函数定义域为：2x-将y=log22x-x可知x∈0,1时，t单调递增；又y=可得y=log22x-x11．f(x)=log2(4x)【答案】9【解析】f(x)=log2=-12log2x2+当t=-12时，12．函数y=1g（1-x）+-x2【答案】[-【解析】要使原函数有意义，则：1-x>0-x2+x+2≥0,解得-1≤x＜1；∴原函数的定义域是[-1，1）．

13.已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－1x＋4－2a，x<1，,1＋log2x，x≥1，))若f(x)的值域为R，则实数【答案】(1,2]【解析】当x≥1时，f(x)＝1＋log2x≥1，当x<1时，f(x)＝(a－1)x＋4－2a，要满意f(x)的值域为R，需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－1>0，,a－1＋4－2a≥1，))解得a∈(1,2]．14．已知函数f(x)＝loga(2x－a)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(2,3)))上恒有f(x)>0，则实数a的取值范围是________．【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，1))【解析】当0<a<1时，函数f(x)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(2,3)))上是减函数，所以logaeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)－a))>0，即0<eq\f(4,3)－a<1，解得eq\f(1,3)<a<eq\f(4,3)，故eq\f(1,3)<a<1；当a>1时，函数f(x)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(2,3)))上是增函数，所以loga(1－a)>0，即1－a>1，解得a<0，此时无解．综上所述，实数a的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，1)).15．若函数f(x)＝loga(x2－x＋2)在区间[0,2]上的最大值为2，则a＝________.【答案】2【解析】令u(x)＝x2－x＋2，则u(x)在[0,2]上的最大值u(x)max＝4，最小值u(x)min＝eq\f(7,4).当a>1时，y＝logau是增函数，f(x)max＝loga4＝2，得a＝2；当0<a<1时，y＝logau是减函数，f(x)max＝logaeq\f(7,4)＝2，得a＝eq\f(\r(7),2)(舍去)．故a＝2.16．计算：（1）lg25+2（2）求值：log3（3）eln2（4）3lg（5）0.027（6）lg（7）2log（8）lg【答案】（1）6（2）154（3）5（4）12（5）0.09；（6）3.（7）-3；（8）【解析】（1）原式=lg（2）log3（3）依据指数和对数的运算公式得到：原式=2+2+lg（4）由题意，依据指数幂与对数的运算性质，可得3lg（5）原式=0.09+5（6）原式=2=2+lg（7）2log（9）lg=2+17．已知函数f(x)＝lgeq\f(x－1,x＋1).(1)计算：f(2020)＋f(－2020)；(2)对于x∈[2,6]，f(x)<lgeq\f(m,x＋17－x)恒成立，求实数m的取值范围．【答案】（1）0（2）(9，＋∞)．【解析】(1)由eq\f(x－1,x＋1)>0，得x>1或x<－1.∴函数的定义域为{x|x>1或x<－1}．又f(x)＋f(－x)＝lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－x,1＋x)·\f(1＋x,1－x)))＝0，∴f(x)为奇函数．故f(2020)＋f(－2020)＝0.(2)当x∈[2,6]时，f(x)<lgeq\f(m,x＋17－x)恒成立可化为eq\f(x－1,1＋x)<eq\f(m,x＋17－x)恒成立．即m>(x－1)(7－x)在[2,6]上恒成立．又当x∈[2,6]时，(x－1)(7－x)＝－x2＋8x－7＝－(x－4)2＋9.∴当x＝4时，[(x－1)(7－x)]max＝9，∴m>9.即实数m的取值范围是(9，＋∞)．18.已知函数f(x)＝3－2log2x，g(x)＝log2x.(1)当x∈[1,4]时，求函数h(x)＝[f(x)＋1]·g(x)的值域；(2)假如对随意的x∈[1,4]，不等式f(x2)·f(eq\r(x))>k·g(x)恒成立，求实数k的取值范围．【答案】（1）[0,2]（2）(－∞，－3)．【解析】(1)h(x)＝(4－2log2x)·log2x＝－2(log2x－1)2＋2，因为x∈[1,4]，所以log2x∈[0,2]．故函数h(x)的值域为[0,2]．(2)由f(x2)·f(eq\r(x))>k·g(x)得(3－4log2x)(3－log2x)>k·log2x.令t＝log2x，因为x∈[1,4]，所以t∈[0,2]，所以(3－4t)(3－t)>k·t对一切t∈[0,2]恒成立．①当t＝0时，k∈R；②当t∈(0,2]时，k<eq\f(3－4t3－t,t)恒成立，即k<4t＋eq\f(9,t)－15恒成立，因为4t＋eq\f(9,t)≥12，当且仅当4t＝eq\f(9,t)，即t＝eq\f(3,2)时取等号，所以4t＋eq\f(9,t)－15的最小值为－3，即k∈(－∞，－3)．19．已知函数f(x)=loga(2+x)-loga(1)求函数f(x)的定义域；(2)求满意f(x)≤0的实数x的取值范围．【答案】（1）(-2,2【解析】（1）由题意可得，2-x>02+x>0，解可得，-2<x<2，∴函数f(x)的定义域为(-(2)由f(x)=loga(2+x)-①a>1时，0<2+x≤2-x，解可得，-2<x≤0，②0<a<1时，0<2-x≤2+x，解可得，0≤x<2．20．已知函数f(x)=loga(x（I）若函数h(x)=f(x)-g(x)，求函数h(x)的定义域；（II）求不等式f(x)-g(x)>0的解集.【答案】（I）(2,+∞)（II）见解析【解析】（I）由x2-4>0得x<-2或x>2，由2x-1>0得x>1所以函数h(x)的定义域为(2,+∞)（II）由f(x)-g(x)>0得f(x)>g(x)，当0<a<1时，有x2-4<2x-1得x由（I）知x>2，所以2<x<3，当a>1时，有x2-4>2x-1得x由（I）知x>2，所以x>3，综上，解集为（2，3）∪（3，+∞21．已知函数f(x)=log（1）若函数gx=log2（2）若关于x的方程f(x)=x+m,x∈[0,1]有实根，求实数【答案】（1）gx为非奇非偶函数；值域为-∞,0；（2）【解析】（1）由2x-1>0得f因此定义域不关于原点对称，所以函数gx有题意知：g当x∈0,+∞时，所以log21-22（2）方程有实根，即m=fx构造函数h则h因为函数y=2-x+1在R上单调递减，而y=所以复合函数hx=log所以hx在0,1上最小值为h1即hx∈log22．已知函数f(x)=loga(9-3x（1）若函数f(x)的反函数是其本身，求a的值；（2）当a=14时，求函数【答案】（1）a=3；（2）-3【解析】（1）由题意知函数f（x）的反函数是其本身，所以f（x）的反函数ay＝9﹣3x，x＝log3反函数为y＝log3（9-a（2）当a=14时，f（x）＝log14(9-3则y＝f（x）+f（﹣x）＝﹣log23．已知函数f(x)=loga(1-x)+（1）求函数f(x)的定义域；（2）若函数f(x)有最小值而无最大值，求f(x)的单调增区间。【答案】（1）(-3,1【解析】（1）要使函数有意义，则1-x＞0x+3＞0，得x＜1即函数的定义域为（﹣3，1），（2）f（x）＝loga（1﹣x）+loga（x+3）＝loga（1﹣x）（x+3）＝loga（﹣x2﹣2x+3）＝loga（﹣（x+1）2+4），设t＝﹣（x+1）2+4，当﹣3＜x＜1时，0＜t≤4，若函数f（x）有最小值而无最大值，则函数ylogat为减函数，则0＜a＜1，要求f（x）的单调增区间，则等价于求t＝﹣（x+1）2+4，在﹣3＜x＜1时的减区间，∵t＝﹣（x+1）2+4的单调递减区间为[﹣1，1），∴f（x）的单调递减区间为[﹣1，1）．24．已知函数f(x)=log（1）当a=10时，求f(x)的值域和单调减区间；（2）若f(x)存在单调递增区间，求a的取值范围．【答案】（1）-∞,lg16;[5,9【解析】（1）当a=10时，f(x)=log设t=-x由-x2+10x-9>0，得x2-10x+9<0此时t=-(x-5)2+16∈(0,16]要求f(x)的单调减区间，等价为求t=-(x-5)∵t=-(x-5)2+16的单调递减区间为[5,9)（2）若f(x)存在单调递增区间，当a>1，函数t=-x2+ax-9存在单调递增区间即可，则判别式Δ=a2当0<a<1，则函数t=-x2+ax-9存在单调递减区间即可，则判别式Δ=a2-36>0得a>6或a<-6，此时25．已知函数f(x)=log2a-x(1)若f(-23)=1(2)在(1)的条件下，关于x的方程f(x)=log2(x-t)【答案】（1）2；（2）(-∞,2)【解析】1函数fx=log2a-xa+x，若f-2由1知，fx=log22-x2+x，定义域为等价于∃x∈-2,2，使2-x2+x=x-t成立；即∃x∈设gx=x-2-x2+x，x∈-2,2设x+2=m，则m∈0,4，∴函数gm=m-∴gm∈-∞,2，从而可得t∈-∞,2，即实数26．已知函数f(x)=(a（1）若函数g(x)=loga(x+1)+loga（2）在（1）的条件下，若x∈[13,2]，不等式g(x)-m+3≤0【答案】（1）见解析；（2）[4,+∞)．【解析】（1）由题意可知a2-2a-2=1a>0且a≠1，解得a=3因为g(x)=loga(x+1)+loga(3-x)，所以故g(x)的定义域为x|-1<x<3．由于g(x)=log令u(x)=-x则由对称轴x=1可知，u(x)在(-1,1)上单调递增，在因为y=log3u所以函数g(x)的单调递增区间为(-1,1)，单调递减区间为（2）因为不等式g(x)-m+3≤0的解集非空，所以m-3≥g(x)由（1）知，当x∈[13,2]时，函数g(x)的单调递增区间为[因为g(13)=所以m-3≥1，即m≥4，故实数m的取值范围为[4,+∞)．27．对数函数g（x）=1ogax（a＞0，a≠1）和指数函数f（x）=ax（a＞0，a≠1）互为反函数．已知函数f（x）=3x，其反函数为y=g（x）．（Ⅰ）若函数g（kx2+2x+1）的定义域为R，求实数k的取值范围；（Ⅱ）若0＜x1＜x2且|g（x1）|=|g（x2）|，求4x1+x2的最小值；（Ⅲ）定义在I上的函数F（x），假如满意：对随意x∈I，总存在常数M＞0，都有-M≤F（x）≤M成立，则称函数F（x）是I上的有界函数，其中M为函数F（x）的上界．若函数h（x）=1-mf【答案】（Ⅰ）k＞1；（Ⅱ）4；（Ⅲ）见解析【解析】（Ⅰ）由题意得g（x）=log3x，因为g（kx2+2x+1）=log3（kx2+2x+1）的定义域为R，所以kx2+2x+1＞0恒成立，当k=0时不满意条件，当k≠0时，若不等式恒成立，则△=4-4k<0k（Ⅱ）由|g（x1）|=|g（x2）|，得|log3x1|=|log3x2|，因为0＜x1＜x2，所以0＜x1＜1＜x