2024-2025学年高中数学第1章导数及其应用1.4导数在实际生活中的应用讲义含解析苏教版选修2-2

PAGEPAGE101.4导数在实际生活中的应用eq\a\vs4\al([对应学生用书P22])面积、体积最大问题[例1]用长为18cm的钢条围成一个长方体形态的框架，要求长方体的长与宽之比为2∶1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？[思路点拨]不妨设长方体的宽为xm，则长为2xm，高为h＝eq\f(18－12x,4)＝(4.5－3x)meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<x<\f(3,2))).建立长方体的体积函数模型，再求最值．[精解详析]设长方体的宽为xm，则长为2xm，高为h＝eq\f(18－12x,4)＝(4.5－3x)meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<x<\f(3,2))).故长方体的体积为V(x)＝2x2(4.5－3x)＝(9x2－6x3)m3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<x<\f(3,2))).从而V′(x)＝18x－18x2＝18x(1－x)．令V′(x)＝0，解得x＝0(舍去)，或x＝1，因此x＝1.当0<x<1时，V′(x)>0；当1<x<eq\f(3,2)时，V′(x)<0，故在x＝1处V(x)取得极大值，并且这个极大值就是V(x)的最大值．从而最大体积V＝V(1)＝9×12－6×13＝3(m3)，此时长方体的长为2m，高为1.5m.故当长方体的长为2m，宽为1m，高为1.5m时，体积最大，最大体积为3m3.[一点通]在求实际问题中的最大值或最小值时，一般是先设自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数的最值的方法求解，留意结果应与实际状况相结合．用导数求解实际问题中的最大(小)值时，假如函数在区间内只有一个极值点，那么依据实际意义，该极值点也就是最值点．1．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20cm，要使其体积最大，则高为________cm.解析：设该漏斗的高为xcm，则底面半径为eq\r(202－x2)cm，其体积为V＝eq\f(1,3)πx(202－x2)＝eq\f(1,3)π(400x－x3)(0<x<20)，则V′＝eq\f(1,3)π(400－3x2)．令V′＝0，解得x1＝eq\f(20\r(3),3)，x2＝－eq\f(20\r(3),3)(舍去)．当0<x<eq\f(20\r(3),3)时，V′>0；当eq\f(20\r(3),3)<x<20时，V′<0，所以当x＝eq\f(20\r(3),3)时，V取得最大值．答案：eq\f(20\r(3),3)2．用长为90cm，宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器．先在四角分别截掉一个大小相同的小正方形，然后把四边翻折90°，再焊接而成．问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？解：设容器的高为xcm，容积为V(x)cm3，则V(x)＝x(90－2x)(48－2x)＝4x3－276x2＋4320x(0<x<24)．故V′(x)＝12x2－552x＋4320＝12(x－10)(x－36)．令V′(x)＝0，得x＝10，或x＝36(舍去)．当0<x<10时，V′(x)>0，即V(x)为增函数；当10<x<24时，V′(x)<0，即V(x)为减函数．因此，在定义域(0,24)内，函数V(x)只有当x＝10时取得最大值，其最大值为V(10)＝19600(cm3)．因此当容器的高为10cm时，容器的容积最大，最大容积为19600cm3.成本最低(费用最省)问题[例2]如图，某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200m2的三级污水处理池，由于地形限制，长、宽都不能超过16m，假如池外周壁建立单价为每米400元，中间两条隔墙建立单价为每米248元，池底建立单价为每平方米80元(池壁厚度忽视不计，且池无盖)．(1)写出总造价y(元)与污水处理池长x(m)的函数关系式，并指出其定义域；(2)污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低？并求出最低总造价．[思路点拨]eq\x(\a\al(分析,题意))→eq\x(\a\al(写出函数,关系式))→eq\x(写出定义域)→eq\x(\a\al(对函数关,系式求导))→eq\x(\a\al(探讨,单调性))→eq\x(求最值)[精解详析](1)污水处理池长为xm，则宽为eq\f(200,x)m.据题意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<x≤16，,0<\f(200,x)≤16，))解得eq\f(25,2)≤x≤16，y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋2·\f(200,x)))×400＋eq\f(400,x)×248＋16000＝800x＋eq\f(259200,x)＋16000eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(25,2)≤x≤16))，(2)由(1)知y′＝800－eq\f(259200,x2)＝0，解得x＝18，当x∈(0,18)时，函数y为减函数；当x∈(18，＋∞)时，函数y为增函数．又∵eq\f(25,2)≤x≤16，∴当x＝16时，ymin＝45000.∴当且仅当长为16m、宽为12.5m时，总造价y最低为45000元．[一点通](1)实际生活中用料最省、费用最低、损耗最小、最节约时间等都须要利用导数求解相应函数的最小值，此时依据f′(x)＝0求出函数取极值的点(留意依据实际意义舍去不合适的函数取极值的点)，若函数在该点旁边满意左减右增，则此时惟一的微小值就是所求函数的最小值．(2)在解题过程中很简单忽视关键词“无盖”，从而多求了一个底面积．实际问题中的用料最省问题一般都是要求几何体的表面积，但要留意实物的表面积往往会缺少一个底面或侧面等．3．做一个容积为256升的方底无盖水箱，它的高为________分米时最省材料．解析：设水箱底面边长为x分米，则高为eq\f(256,x2)分米，用料总面积S＝x2＋4·eq\f(256,x2)·x＝x2＋eq\f(256×4,x)，S′＝2x－eq\f(256×4,x2)，令S′＝0得x＝8，当0＜x＜8时，S′＜0，当x＞8时，S′＞0，所以当x＝8时，S取得最小值，则高为4分米．答案：44．某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经测算，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋eq\r(x))x万元．假设桥墩等距离分布，全部桥墩都视为点，且不考虑其他因素．记余下工程的费用为y万元．(1)试写出y关于x的函数关系式；(2)当m＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？解：(1)设需新建n个桥墩，则(n＋1)x＝m，即n＝eq\f(m,x)－1.所以y＝f(x)＝256n＋(n＋1)(2＋eq\r(x))x＝256eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,x)－1))＋eq\f(m,x)(2＋eq\r(x))x＝eq\f(256m,x)＋meq\r(x)＋2m－256.(2)由(1)知，f′(x)＝－eq\f(256m,x2)＋eq\f(1,2)mx－eq\f(1,2)＝eq\f(m,2x2)(xeq\f(3,2)－512)．令f′(x)＝0，得xeq\f(3,2)＝512，所以x＝64.当0＜x＜64时，f′(x)＜0，f(x)在区间(0,64)内为减函数；当64＜x＜640时，f′(x)＞0，f(x)在区间(64,640)内为增函数．所以f(x)在x＝64处取得最小值．此时n＝eq\f(m,x)－1＝eq\f(640,64)－1＝9.故需新建9个桥墩才能使y最小．利润最大问题[例3]某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量x(吨)与每吨产品的价格P(元/吨)之间的关系式为P＝24200－eq\f(1,5)x2，且生产x吨的成本为R＝50000＋200x(元)．问该工厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？(利润＝收入－成本)[思路点拨]依据利润与生产量以及价格之间的关系，建立满意题意的函数关系式，然后利用导数求解．[精解详析]每月生产x吨时的利润为f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(24200－\f(1,5)x2))x－(50000＋200x)＝－eq\f(1,5)x3＋24000x－50000(x≥0)．由f′(x)＝－eq\f(3,5)x2＋24000＝0，解得x1＝200，x2＝－200(舍去)．因为f(x)在[0，＋∞)内只有一个点x＝200使f′(x)＝0，且0＜x＜200时，f′(x)＞0；x＞200时，f′(x)＜0；故x＝200就是最大值点，且最大值为f(200)＝－eq\f(1,5)×2003＋24000×200－50000＝3150000(元)．所以每月生产200吨产品时，利润达到最大，最大利润为315万元．[一点通]利润最大问题是生活中常见的一类问题，一般依据“利润＝收入－成本”建立函数关系式，再利用导数求最大值．求解时要留意：①价格要大于成本，否则就会亏本；②销量要大于0，否则不会获利．5．某商品一件的成本为30元，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出(200－x)件，当每件商品的定价为________元时，利润最大．解析：利润为S(x)＝(x－30)(200－x)＝－x2＋230x－6000(30≤x≤200)，S′(x)＝－2x＋230，由S′(x)＝0得x＝115，当30≤x<115时，S′(x)>0；当115<x≤200时，S′(x)<0，所以当x＝115时利润最大．答案：1156．某商场销售某种商品的阅历表明，该商品每日的销售量y(单位：kg)与销售价格x(单位：元/kg)满意关系式y＝eq\f(a,x－3)＋10(x－6)2.其中3＜x＜6，a为常数．已知销售价格为5元/kg时，每日可售出该商品11千克．(1)求a的值；(2)若该商品的成本为3元/kg，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．解：(1)因为x＝5时，y＝11，所以eq\f(a,2)＋10＝11，a＝2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量y＝eq\f(2,x－3)＋10(x－6)2.所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x)＝(x－3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,x－3)＋10(x－6)2))＝2＋10(x－3)(x－6)2,3＜x＜6.从而，f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]＝30(x－4)(x－6)．于是，当x改变时，f′(x)，f(x)的改变状况如下表：x(3,4)4(4,6)f′(x)＋0－f(x)极大值42由上表可得，x＝4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点．所以，当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.答：当销售价格为4元/kg时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．1．解决实际生活问题的基本思路：eq\x(实际问题)eq\x(用函数表示的数学问题)eq\x(用导数解决数学问题)eq\x(实际问题的答案)2．求实际问题中的最大(小)值，主要步骤如下：(1)抽象出实际问题的数学模型，列出变量之间的函数关系式y＝f(x)；(2)求出函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；(3)比较函数在区间端点和使f′(x)＝0的点处的取值大小，最大者为最大值，最小者为最小值．[对应课时跟踪训练(九)]一、填空题1．已知某生产厂家的年利润y(单元：万元)与年产量x(单位：万件)之间的函数关系式为y＝－eq\f(1,3)x3＋81x－234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为________万件．解析：y′＝－x2＋81，令y′＝0，得x＝9(x＝－9舍)，且经探讨知x＝9是函数取极大值的点，所以厂家获得最大年利润的年产量是9万件．答案：92．用总长为14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，若所制作容器的底面的一边比高长0.5m，则当高为________m时，容器的容积最大．解析：设高为x米，则V＝x(x＋0.5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(14.8,4)－2x－0.5))，令V′＝－6x2＋4.4x＋1.6＝0，解得x＝1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(4,15)舍去)).答案：13.如图，将直径为d的圆木锯成长方体横梁，横截面为矩形，横梁的强度同它的断面高的平方与宽x的积成正比(强度系数为k，k>0)．要将直径为d的圆木锯成强度最大的横梁，断面的宽x应为________．解析：设断面高为h，则h2＝d2－x2.设横梁的强度函数为f(x)，则f(x)＝kxh2＝kx(d2－x2)，0<x<d.令f′(x)＝k(d2－3x2)＝0，解得x＝±eq\f(\r(3),3)d(舍去负值)．当0<x<eq\f(\r(3),3)d时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当eq\f(\r(3),3)d<x<d时，f′(x)<0，f(x)单调递减．所以函数f(x)在定义域(0，d)内只有一个极大值点x＝eq\f(\r(3),3)d.所以x＝eq\f(\r(3),3)d时，f(x)有最大值．答案：eq\f(\r(3),3)d4.如图，已知一罐圆柱形红牛饮料的容积为250mL，则它的底面半径等于________时(用含有π的式子表示)，可使所用的材料最省．解析：设圆柱的高为h，表面积为S，容积为V，底面半径为r，则表面积S＝2πrh＋2πr2，而V＝250＝πr2h，得h＝eq\f(250,πr2)，则S＝2πr·eq\f(250,πr2)＋2πr2＝eq\f(500,r)＋2πr2，S′＝－eq\f(500,r2)＋4πr，令S′＝0得r＝eq\f(5\r(3,π2),π)，因为S只有一个极值，所以当r＝eq\f(5\r(3,π2),π)时，S取得最小值，即此时所用的材料最省．答案：eq\f(5\r(3,π2),π)5.如图，内接于抛物线y＝1－x2的矩形ABCD，其中A、B在抛物线上运动，C、D在x轴上运动，则此矩形的面积的最大值是________．解析：设CD＝x，则点C坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)，0)).点B坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)，1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)))2))所以矩形ABCD的面积S＝f(x)＝x·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)))2))＝－eq\f(x3,4)＋x(x∈(0,2))．由f′(x)＝－eq\f(3,4)x2＋1＝0，得x1＝－eq\f(2,\r(3))(舍)，x2＝eq\f(2,\r(3))，所以x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2,\r(3))))时，f′(x)＞0，f(x)是递增的，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,\r(3))，2))时，f′(x)＜0，f(x)是递减的，当x＝eq\f(2,\r(3))时，f(x)取最大值eq\f(4\r(3),9).答案：eq\f(4\r(3),9)二、解答题6．某品牌电视生产厂家有A，B两种型号的电视机参与了家电下乡活动，若厂家对A，B两种型号的电视机的投放金额分别为p，q万元，农夫购买电视机获得的补贴分别为eq\f(1,10)p，eq\f(2,5)lnq万元，已知A，B两种型号的电视机的投放总额为10万元，且A，B两种型号的电视机的投放金额均不低于1万元，请你制定一个投放方案，使得在这次活动中农夫得到的补贴最多，并求出最大值．(精确到0.1，参考数据：ln4≈1.4)解：设B型号电视机的投放金额为x万元(1≤x≤9)，农夫得到的补贴为y万元，则A型号的电视机的投放金额为(10－x)万元，由题意得y＝eq\f(1,10)(10－x)＋eq\f(2,5)lnx＝eq\f(2,5)lnx－eq\f(1,10)x＋1,1≤x≤9，∴y′＝eq\f(2,5x)－eq\f(1,10).令y′＝0得x＝4，由y′>0得1≤x<4，由y′<0得4<x≤9，故y在[1,4)上单调递增，在(4,9]上单调递减，∴当x＝4时，y取得最大值，且ymax＝eq\f(2,5)ln4－eq\f(1,10)×4＋1≈1.2，这时，10－x＝6.故厂家对A，B两种型号的电视机的投放金额分别为6万元和4万元时，农夫得到的补贴最多，最多补贴约1.2万元．7．请你设计一个包装盒．如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形态的包装盒．E，F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE＝FB＝x(cm)．(1)若广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？(2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．解：设包装盒的高为h(cm)，底面边长为a(cm)．由已知得a＝eq\r(2)x，h＝eq\f(60－2x,\r(2))＝eq\r(2)(30－x)，0＜x＜30.(1)S＝4ah＝8x(30－x)＝－8(x－15)2＋1800，所以当x＝15时，S取得最大值．(2)V＝a2h＝2eq\r(2)(－x3＋30x2)，V′＝6eq\r(2)x(20－x)．由V′＝0，得x＝0(舍)或x＝20.当x∈(0,20)时，V′＞0；当x∈(20,30)时，V′＜0.所以当x＝20时，V取得极大值，也是最大值．此时eq\f(h,a)＝e