2024-2025学年高中数学第二章数列2.2等差数列第2课时等差数列的性质练习新人教A版必修5

PAGEPAGE1其次章2.2第2课时等差数列的性质A级基础巩固一、选择题1．已知等差数列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则a12等于(A)A．15 B．30C．31 D．64[解析]∵a7＋a9＝a4＋a12，∴a12＝16－1＝15.2．假如等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝(C)A．14 B．21C．28 D．35[解析]∵a3＋a4＋a5＝3a4＝12，∴a4＝4，∴a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝7a4＝28.3．已知等差数列{an}满意a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则有(C)A．a1＋a101>0 B．a1＋a101<0C．a1＋a101＝0 D．a51＝51[解析]由题设a1＋a2＋a3＋…＋a101＝101a51＝0，∴a51＝0.∴a1＋a101＝2a51＝0，故选C．4．已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，则a20等于(B)A．－1 B．1C．3 D．7[解析]∵{an}是等差数列，∴a1＋a3＋a5＝3a3＝105，∴a3＝35，a2＋a4＋a6＝3a4＝99，∴a4＝33，∴d＝a4－a3＝－2，a20＝a4＋16d＝33－32＝1.5．已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝9，a2＋a4＋a6＝15，则a3＋a4＝(D)A．5 B．6C．7 D．8[解析]在等差数列{an}中，a1＋a3＋a5＝3a3＝9，∴a3＝3；又a2＋a4＋a6＝3a4＝15，∴a4＝5，∴a3＋a4＝8.6．设{an}是公差为正数的等差数列，若a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，则a11＋a12＋a13等于(B)A．120 B．105C．90 D．75[解析]∵a1＋a2＋a3＝3a2＝15，∴a2＝5，又∵a1a2a3＝80，∴a1a3＝16，即(a2－d)(a2＋d)＝16，∵d>0，∴d＝3.则a11＋a12＋a13＝3a12＝3(a2＋10d)＝105.二、填空题7．(2024－2024学年度北京市顺义区杨镇一中高二月考)在等差数列{an}中，若a1＋a2＋a3＋a4＝30，则a2＋a3＝__15__.[解析]解法一：设公差为d，∵a1＋a2＋a3＋a4＝4a1＋6d＝30，∴2a1＋3d＝15.又a2＋a3＝2a1＋3d＝15.解法二：由等差数列的性质可知，a1＋a4＝a2＋a3，∴a1＋a2＋a3＋a4＝2(a2＋a3)＝30，∴a2＋a3＝15.8．已知等差数列{an}中，a3、a15是方程x2－6x－1＝0的两根，则a7＋a8＋a9＋a10＋a11＝__15__.[解析]∵a3＋a15＝6，又a7＋a11＝a8＋a10＝2a9＝a3＋a15，∴a7＋a8＋a9＋a10＋a11＝(2＋eq\f(1,2))(a3＋a15)＝eq\f(5,2)×6＝15.三、解答题9．已知等差数列{an}的公差d>0，且a3a7＝－12，a4＋a6＝－4，求{an}的通项公式．[解析]由等差数列的性质，得a3＋a7＝a4＋a6＝－4，又∵a3a7＝－12，∴a3、a7是方程x2＋4x－12＝0的两根．又∵d>0，∴a3＝－6，a7＝2.∴a7－a3＝4d＝8，∴d＝2.∴an＝a3＋(n－3)d＝－6＋2(n－3)＝2n－12.10．四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数．[解析]设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)．依题意，得2a＝2，且(a－3d)(a＋3d)＝－8，即a＝1，a2－9d2＝－8，∴d2＝1，∴d＝1或d＝－1.又四个数成递增等差数列，所以d>0，∴d＝1，故所求的四个数为－2,0,2,4.B级素养提升一、选择题1．数列{an}中，a2＝2，a6＝0且数列{eq\f(1,an＋1)}是等差数列，则a4等于(A)A．eq\f(1,2) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,4) D．eq\f(1,6)[解析]令bn＝eq\f(1,an＋1)，则b2＝eq\f(1,a2＋1)＝eq\f(1,3)，b6＝eq\f(1,a6＋1)＝1，由条件知{bn}是等差数列，∴b6－b2＝(6－2)d＝4d＝eq\f(2,3)，∴d＝eq\f(1,6)，∴b4＝b2＋2d＝eq\f(1,3)＋2×eq\f(1,6)＝eq\f(2,3)，∵b4＝eq\f(1,a4＋1)，∴a4＝eq\f(1,2).2．在等差数列{an}中，若a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，则a9－eq\f(1,3)a11的值为(C)A．14 B．15C．16 D．17[解析]由题意，得5a8＝120，∴a8＝24，∴a9－eq\f(1,3)a11＝(a8＋d)－eq\f(1,3)(a8＋3d)＝eq\f(2,3)a8＝16.3．已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，则a20等于(B)A．－1 B．1C．3 D．7[解析]∵{an}是等差数列，∴a1＋a3＋a5＝3a3＝105，∴a3＝35，a2＋a4＋a6＝3a4＝99，∴a4＝33，∴d＝a4－a3＝－2，a20＝a4＋16d＝33－32＝1.4．(2015·北京理，6)设{an}是等差数列．下列结论中正确的是(C)A．若a1＋a2＞0，则a2＋a3＞0 B．若a1＋a3＜0，则a1＋a2＜0C．若0＜a1＜a2，则a2＞eq\r(a1a3) D．若a1＜0，则(a2－a1)(a2－a3)＞0[解析]先分析四个答案，A举一反例a1＝2，a2＝－1，则a3＝－4，a1＋a2>0，而a2＋a3<0，A错误；B举同样反例a1＝2，a2＝－1，a3＝－4，a1＋a3<0，而a1＋a2>0，B错误；下面针对C进行探讨，{an}是等差数列，若0<a1<a2，则a1>0，设公差为d，则d>0，数列各项均为正，由于aeq\o\al(2,2)－a1a3＝(a1＋d)2－a1(a1＋2d)＝aeq\o\al(2,1)＋2a1d＋d2－aeq\o\al(2,1)－2a1d＝d2>0，则aeq\o\al(2,2)>a1a3⇒a2>eq\r(a1a3)，选C．二、填空题5．在等差数列{an}中，已知am＋n＝A，am－n＝B，，则am＝__eq\f(1,2)(A＋B)__.[解析]∵m－n，m，m＋n成等差数列，又{an}是等差数列．∴am－n，am，am＋n成等差数列，∴2am＝am－n＋am＋n＝A＋B，∴am＝eq\f(1,2)(A＋B)．6．若x≠y，两个数列x，a1，a2，a3，y和x，b1，b2，b3，b4，y都是等差数列，则eq\f(a2－a1,b3－b2)＝__eq\f(5,4)__.[解析]设两个等差数列的公差分别为d1，d2，由已知，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x＋4d1,y＝x＋5d2))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4d1＝y－x,5d2＝y－x))，解得eq\f(d1,d2)＝eq\f(5,4)，即eq\f(a2－a1,b3－b2)＝eq\f(d1,d2)＝eq\f(5,4).三、解答题7．四个数成等差数列，其平方和为94，第一个数与第四个数的积比其次个数与第三个数的积少18，求此四个数．[解析]设四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，据题意得，(a－3d)2＋(a－d)2＋(a＋d)2＋(a＋3d)2＝94⇒2a2＋10d2＝47.①又(a－3d)(a＋3d)＝(a－d)(a＋d)－18⇒8d2＝18⇒d＝±eq\f(3,2)代入①得a＝±eq\f(7,2)，故所求四个数为8,5,2，－1或1，－2，－5，－8或－1,2,5,8或－8，－5，－2，1.8．已知等差数列{an}中，a2＋a6＋a10＝1，求a3＋a9.[解析]解法一：a2＋a6＋a10＝a1＋d＋a1＋5d＋a1＋9d＝3a1＋15d＝1，∴a1＋5d＝eq\f(1,3).∴a3＋a9＝a1＋2d＋a1＋8d＝2a1＋10d＝2(a1＋5d)＝eq\f(2,3).解法二：∵{an}为等差数列，∴2a6＝a2＋a10＝a3＋a9，∴a2＋a6＋a10＝3a6＝1，∴a6＝eq\f(1,3)，∴a3＋a9＝2a6＝eq\f(2,3).C级实力拔高1．设数列{an}是等差数列，bn＝(eq\f(1,2))an又b1＋b2＋b3＝eq\f(21,8)，b1b2b3＝eq\f(1,8)，求通项an.[解析]∵b1b2b3＝eq\f(1,8)，又bn＝(eq\f(1,2))an，∴(eq\f(1,2))a1·(eq\f(1,2))a2·(eq\f(1,2))a3＝eq\f(1,8).∴(eq\f(1,2))a1＋a2＋a3＝eq\f(1,8)，∴a1＋a2＋a3＝3，又{an}成等差数列∴a2＝1，a1＋a3＝2，∴b1b3＝eq\f(1,4)，b1＋b3＝eq\f(17,8)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b1＝2,b3＝\f(1,8)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b1＝\f(1,8),b3＝2))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝－1,a3＝3))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝3,a3＝－1))，∴an＝2n－3或an＝－2n＋5.2．已知{an}是等差数列，且a1＋a2＋a3＝12，a8＝16.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若从数列{an}中，依次取出第2项、第4项、第6项、…、第2n项，按原来依次组成一个新