福建省厦门市2018届高三下学期第一次（开学）考试试题理（数学）

福建省厦门市2018届高三下学期第一次（开学）考试试题理（数学）一、选择题要求：请从下列各题给出的四个选项中，选择一个正确的答案，并将该选项前的字母填写在答题卡相应的位置上。1.已知函数$f(x)=\sqrt{x^2+1}$，若$f(\sinx)=\cosx$，则实数$x$的取值范围是（）A.$x\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$B.$x\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$C.$x\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right]$D.$x\in\left[-\frac{\pi}{2},\pi\right]$2.设函数$f(x)=ax^2+bx+c$（$a\neq0$）的图象经过点$A(0,1)$和点$B(1,4)$，若$f(x)$的图象的对称轴方程为$x=-1$，则下列方程组无解的是（）A.$\begin{cases}ax^2+bx+c=1\\ax^2+bx+c=4\end{cases}$B.$\begin{cases}ax^2+bx+c=1\\ax^2+bx+c=0\end{cases}$C.$\begin{cases}ax^2+bx+c=1\\ax^2+bx+c=-4\end{cases}$D.$\begin{cases}ax^2+bx+c=1\\ax^2+bx+c=0\end{cases}$二、填空题要求：请将答案填写在答题卡相应的位置上。3.函数$f(x)=x^3-3x+2$的导数$f'(x)$的值域为______。4.已知等差数列$\{a_n\}$的首项为$a_1$，公差为$d$，若$a_3=5$，$a_7=13$，则$\frac{a_5}{a_6}=\frac{______}{______}$。三、解答题要求：请将解答过程写在本试卷上。5.（本小题满分12分）已知函数$f(x)=\log_2(3x-1)$。（1）求函数$f(x)$的定义域；（2）设实数$t$满足不等式$\log_2(t^2-5t+6)>1$，求$t$的取值范围。四、解答题要求：请将解答过程写在本试卷上。5.（本小题满分12分）已知函数$f(x)=\log_2(3x-1)$。（1）求函数$f(x)$的定义域；（2）设实数$t$满足不等式$\log_2(t^2-5t+6)>1$，求$t$的取值范围。六、解答题要求：请将解答过程写在本试卷上。6.（本小题满分12分）已知数列$\{a_n\}$满足$a_1=1$，$a_{n+1}=a_n^2+2a_n+1$，求证：对任意正整数$n$，都有$a_{n+1}\geq3a_n$成立。本次试卷答案如下：一、选择题1.B.$x\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$解析思路：由$f(\sinx)=\cosx$，得到$\sqrt{\sin^2x+1}=\cosx$，由于$\cosx\geq0$，则$\sin^2x+1\geq\cos^2x$，即$\sin^2x\geq\cos^2x-1$。由于$\sin^2x+\cos^2x=1$，得到$\sin^2x\geq0$，因此$\sinx$的取值范围为$[-1,1]$，即$x$的取值范围为$[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$。2.D.$\begin{cases}ax^2+bx+c=1\\ax^2+bx+c=0\end{cases}$解析思路：由$f(x)$的对称轴方程$x=-1$，得到$f(-1)=f(1)$，即$a(-1)^2+b(-1)+c=a(1)^2+b(1)+c$，化简得$-a+b+c=a+b+c$，即$2a=0$，所以$a=0$。因此$f(x)=bx+c$，代入点$A(0,1)$和点$B(1,4)$，得到$\begin{cases}c=1\\b+c=4\end{cases}$，解得$b=3$，$c=1$。所以方程组$\begin{cases}ax^2+bx+c=1\\ax^2+bx+c=0\end{cases}$无解。二、填空题3.$(-\infty,+\infty)$解析思路：$f(x)=x^3-3x+2$的导数$f'(x)=3x^2-3$，令$f'(x)=0$，解得$x=\pm1$。当$x<-1$或$x>1$时，$f'(x)>0$，函数单调递增；当$-1<x<1$时，$f'(x)<0$，函数单调递减。因此，$f'(x)$的值域为$(-\infty,+\infty)$。4.$\frac{5}{7}$解析思路：由等差数列的性质，$a_7=a_3+4d$，代入$a_3=5$和$a_7=13$，得到$5+4d=13$，解得$d=2$。因此，$a_5=a_3+d=5+2=7$，$a_6=a_3+2d=5+4=9$，所以$\frac{a_5}{a_6}=\frac{7}{9}$。三、解答题5.（本小题满分12分）已知函数$f(x)=\log_2(3x-1)$。（1）求函数$f(x)$的定义域；解析思路：由于对数函数的定义要求对数内的值大于0，所以$3x-1>0$，解得$x>\frac{1}{3}$，因此定义域为$\left(\frac{1}{3},+\infty\right)$。（2）设实数$t$满足不等式$\log_2(t^2-5t+6)>1$，求$t$的取值范围。解析思路：将不等式$\log_2(t^2-5t+6)>1$转化为$t^2-5t+6>2$，即$t^2-5t+4>0$。因式分解得$(t-1)(t-4)>0$，解得$t<1$或$t>4$，因此$t$的取值范围为$(-\infty,1)\cup(4,+\infty)$。四、解答题5.（本小题满分12分）已知函数$f(x)=\log_2(3x-1)$。（1）求函数$f(x)$的定义域；解析思路：由于对数函数的定义要求对数内的值大于0，所以$3x-1>0$，解得$x>\frac{1}{3}$，因此定义域为$\left(\frac{1}{3},+\infty\right)$。（2）设实数$t$满足不等式$\log_2(t^2-5t+6)>1$，求$t$的取值范围。解析思路：将不等式$\log_2(t^2-5t+6)>1$转化为$t^2-5t+6>2$，即$t^2-5t+4>0$。因式分解得$(t-1)(t-4)>0$，解得$t<1$或$t>4$，因此$t$的取值范围为$(-\infty,1)\cup(4,+\infty)$。六、解答题6.（本小题满分12分）已知数列$\{a_n\}$满足$a_1=1$，$a_{n+1}=a_n^2+2a_n+1$，求证：对任意正整数$n$，都有$a_{n+1}\geq3a_n$成立。解析思路：由题意得$