期中复习专题三：比与比例-比例综合篇【四大篇目】-2023-2024学年六年级数学下册典型例题系列（解析版）人教版

““深窥自己的心，而后发觉一切的奇迹在你自己。”“Deepglimpseoftheirheart,andthenfindallthemiraclesinyourself.”2023-2024学年六年级数学下册典型例题系列期中复习专题三：比与比例—比例综合篇【四大篇目】专题解读本专题是期中复习专题三：比与比例—比例综合篇。本部分内容包括比例的意义、基本性质、解比例，正比例和反比例的意义及应用，比例尺及图形的放大与缩小等，该部分根据篇目进行分类，每个篇目又包含多个常考考点，建议作为期中复习核心内容进行讲解，一共划分为四个篇目，欢迎使用。目录导航TOC\o"1-1"\h\u【第一篇】比例的意义和基本性质【知识总览】 4【考点一】比例的意义 4【考点二】比例的基本性质 8【考点三】比例式变形 9【考点四】解比例 10【第二篇】比例尺和图形的变化【知识总览】 12【考点一】比例尺的意义与改写 12【考点二】比例尺的基本关系问题 14【考点三】比例尺与作图 16【考点四】比例尺与行程问题 22【考点五】比例尺与分段计价问题 24【考点六】比例尺与面积问题 27【第三篇】正比例和反比例【知识总览】 29【考点一】正比例与反比例的意义 29【考点二】比例关系的判断 31【考点三】正比例与反比例的图像 32【考点四】绘制正比例与反比例的图像 34【第四篇】比例的应用【知识总览】 40【考点一】物高与影长问题 40【考点二】正比例的实际应用与四大问题 41【考点三】反比例的实际应用与三大问题 43【考点四】比例与不变量问题 45【第一篇】比例的意义和基本性质【知识总览】一、比例的意义和基本性质。1.表示两个比相等的式子叫做比例，用字母表示是a:b=c:d或ab=c2.判断两个比能不能组成比例，关键要看它们的比值是否相等，若比值相等，则能组成比例；若比值不相等，则不能组成比例。3.组成比例的四个数，叫做比例的项。4.比例中，两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项。5.在比例里，两个外项的积等于两个内项的积，这叫做比例的基本性质。用字母表示，如果a:b=c:d（a、b、c、d均不为0），那么ad=bc。6.先假设两个比能组成比例，再分别算出它们内、外项的积，如果内、外项的积相等，则能组成比例；如果内、外项的积不相等，则不能组成比例。二、解比例。1.列比例式的关键是找到对应关系的两个比，解比例的依据是比例的基本性质。2.根据比例的基本性质解比例，先把比例转化为两个外项的积与两个内项的积相等的形式，即以前学过的方程，再通过解方程求出未知数的值。【考点一】比例的意义。【典型例题】1.下面式子中，()是比例。A．∶4＝1∶20 B．16∶4＝4 C．3∶5＝5∶3 D．7∶2＝∶【答案】A【分析】表示两个比相等的式子叫做比例。根据比例的意义可知，比值相等的两个比可以组成比例。【详解】A．∶4＝÷4＝×＝1∶20＝1÷20＝＝，所以∶4＝1∶20，是比例；B．16∶4＝4是一个等式，不是比例；C．3∶5＝3÷5＝5∶3＝5÷3＝≠，所以3∶5＝5∶3不是比例；D．7∶2＝7÷2＝∶＝÷＝×2＝≠，所以7∶2＝∶不是比例。故答案为：A2.写出比值是9的两个比，并组成一个比例：()。【答案】9∶1＝18∶2【分析】比例的意义：表示两个比相等的式子叫做比例。根据比例的意义可知，比值相等的两个比可以组成比例。【详解】9∶1＝9÷1＝918∶2＝18÷2＝9组成比例：9∶1＝18∶2。（答案不唯一）3.在一个比例里，两个外项分别是5和6，比值是，这个比例是()或()。【答案】5∶15＝2∶66∶18＝∶5【分析】表示两个比相等的式子叫做比例，两个外项分别是5和6，组成这个比例的两个比中，前一个比缺少后项，后一个比缺少前项，根据“后项＝前项÷比值”“前项＝后项×比值”分别求出比例的内项，最后写出比例，据此解答。【详解】情况一：5为前一个比的前项，6为后一个比的后项。5÷＝5×3＝156×＝2则这个比例是5∶15＝2∶6。情况二：6为前一个比的前项，5为后一个比的后项。6÷＝6×3＝185×＝则这个比例是6∶18＝∶5。所以，这个比例是5∶15＝2∶6或6∶18＝∶5。【点睛】掌握比例的意义，并灵活运用比的前项、后项、比值之间的关系是解答题目的关键。【对应练习】1.下列()中的两个比可以组成比例。A．和 B．和 C．和 D．和【答案】B【分析】表示两个比相等的式子叫作比例，分别求出各比的比值，再找出比值相等的选项，据此解答。【详解】A．＝＝＝，＝＝＝，因为≠，所以和不能组成比例；B．＝＝1.6×3＝4.8，＝＝6×0.8＝4.8，因为4.8＝4.8，所以和可以组成比例；C．＝6÷9＝，＝9÷6＝，因为≠，所以和不能组成比例；D．＝3.2÷1.4＝，＝4.1÷2.3＝，因为≠，所以和不能组成比例。故答案为：B【点睛】本题主要考查比例的认识，掌握比例的意义是解答题目的关键。2.10的因数有()，用这些因数组成一个比例式()。【答案】1、2、5、101∶2＝5∶10【分析】根据找一个数因数的方法，可以利用乘法算式，按因数从小到大的顺序一组一组地找；据此找出10的所有因数，然后根据比例的意义写出两个比值相等的比并组成比例即可。【详解】10÷1＝1010÷2＝510的因数有：1、2、5、10因为1∶2＝，5∶10＝，所以1∶2＝5∶10。3.已知一个比例是由两个比值是4的比组成，又知道比例的两个外项分别是1.2和5。这个比例是()。【答案】1.2∶0.3＝20∶5/5∶1.25＝4.8∶1.2【分析】比例的意义：表示两个比相等的式子叫做比例。根据比例的意义，分两种情况讨论：情况一，设这个比例是1.2∶a＝b∶5，已知两个比的比值都是4，得出1.2∶a＝4，b∶5＝4，由此分别求出a、b的值，写出这个比例；情况二，设这个比例是5∶a＝b∶1.2，已知两个比的比值都是4，得出5∶a＝4，b∶1.2＝4，由此分别求出a、b的值，写出这个比例。【详解】情况一：设比例的两个内项分别是a和b，则这个比例是1.2∶a＝b∶5。由1.2∶a＝4，即1.2÷a＝4，可得a＝1.2÷4＝0.3；由b∶5＝4，即b÷5＝4，可得b＝4×5＝20；所以，这个比例是1.2∶0.3＝20∶5。情况二：设比例的两个内项分别是a和b，则这个比例是5∶a＝b∶1.2。由5∶a＝4，即5÷a＝4，可得a＝5÷4＝1.25；由b∶1.2＝4，即b÷1.2＝4，可得b＝4×1.2＝4.8；所以，这个比例是5∶1.25＝4.8∶1.2。综上所述，这个比例是1.2∶0.3＝20∶5或5∶1.25＝4.8∶1.2。【点睛】本题考查比例的意义以及两个内项的求法，注意交换两个外项的位置，可以得出两个不同的比例。【考点二】比例的基本性质。【典型例题】1.一个比例的两个外项互为倒数，其中一个外项是1.25，另一个外项是()。【答案】0.8/【分析】乘积是1的两个数互为倒数。比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。根据题意，一个比例的两个外项互为倒数，那么这两个外项的积等于1；用两个外项的积除以已知的一个外项，即可求出另一个外项。【详解】1÷1.25＝0.8另一个外项是0.8。2.在比例7∶2＝28∶8中，如果内项2增加4，那么外项7增加()。解析：14【对应练习】1.一个比例的两个内项的积互为倒数，一个外项是，另一个外项是()。【答案】【分析】已知一个比例的两个内项的积互为倒数，根据倒数的意义可知，这两个内项的积等于1；再根据比例的基本性质可知，这个比例的两个外项的积也等于1；那么用积除以已知的外项，即可求出另一个外项。乘积是1的两个数互为倒数。比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。【详解】1÷＝1×＝另一个外项是。2.如果比例的内项4增加8，那么外项3应该增加()，比例才能成立。解析：（4＋8）÷4＝12÷4＝33×3－3＝9－3＝6【考点三】比例式变形。【典型例题】1.如果，那么()。【答案】6∶2【分析】由比例的基本性质可知，在比例中，两外项之积等于两内项之积，可以把a和2看作比例中的两个外项，b和6看作比例中的两个内项，据此进行解答。【详解】2a＝6b，根据比例的基本性质可得：a∶b＝6∶2【点睛】本题考查比例的基本性质。2.甲数的20%等于乙数的（甲、乙均为非0自然数），甲∶乙＝()∶()。【答案】103【分析】由题意可知：甲数×20%＝乙数×，于是逆运用比例的基本性质，即可求出二者的比。【详解】因为甲数×20%＝乙数×，则甲数∶乙数＝∶20%＝∶＝10∶3甲∶乙＝10∶3。【点睛】此题主要依据比例的基本性质解决问题。【对应练习】1.如果7x＝8y，那么y∶x＝()∶()。【答案】78【分析】比例的基本性质：两外项之积等于两内项之积；据此写出y∶x。【详解】因为7x＝8y所以y∶x＝7∶8【点睛】掌握比例的基本性质是解答本题的关键。2.如果甲数的等于乙数的（甲数、乙数均不为0），那么甲∶乙＝()∶()。【答案】2528【分析】由题意可知，甲数×＝乙数×，再根据比例的基本形式，把乘积式化为比例式，然后再根据比的基本性质进行化简即可。【详解】因为甲数×＝乙数×则甲数∶乙数＝∶＝（×20）∶（×20）＝25∶28则甲∶乙＝25∶28。【点睛】本题考查比例的基本性质，明确内项积等于外项积是解题的关键。【考点四】解比例。【典型例题】解比例。3.75∶x＝3∶12解析：3.75∶x＝3∶12解：3x＝3.75×123x＝453x÷3＝45÷3x＝15【对应练习】1.解比例。＝解析：＝解：42%x＝6.3×0.90.42x＝5.670.42x÷0.42＝5.67÷0.42x＝13.52.解比例。=12:x解析：x=3.解比例。（5x+4）:（9x-6）=4:5解析：x=4【第二篇】比例尺和图形的变化【知识总览】一、比例尺。1.一幅图的图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。2.比例尺=图上距离:实际距离。3.比例尺的分类：数值比例尺、线段比例尺。4.把线段比例尺改写成数值比例尺时，先统一单位，再改写。5.求一幅图的比例尺时，前项、后项要统一单位。为了方便，通常把比例尺写成前项或后项是1的形式。二、比例尺的应用。1.根据比例尺和图上距离求实际距离，可以根据“图上距离实际距离2.运用比例尺画图，要先根据比例尺求岀图上距离，再根据图上距离画出相应的平面图，最后标明平面图的名称及比例尺。三、图形的放大与缩小。1.图形的放大和缩小是生活中常见的现象，把一个图形放大或缩小后所得到的图形与原图形相比:形状相同，大小不同。2.把图形的各边按一定的比放大或缩小后，图形的大小发生了变化，形状没有发生变化。3.在方格纸上按一定的比将图形放大或缩小分为三步，一看，看原图每边各占几格；二算，计算按给定的比将图形的各边放大或缩小后得到的新图形每边各占几格；三画，按计算岀的各边长度画出放大或缩小后的图形。【考点一】比例尺的意义与改写。【典型例题】1.比例尺是()的比。比例尺1∶3500000表示()。【答案】图上距离与实际距离图上1厘米代表实际距离3500000厘米【分析】图上距离与实际距离的比叫做比例尺。在绘制地图、建筑物平面图、零件等图纸时，需要把实际长度缩小或扩大一定的数值，这就要用到比例尺。比例尺1∶3500000意味着图上1厘米表示实际距离3500000厘米。【详解】比例尺是图上距离与实际距离的比。比例尺1∶3500000表示图上1厘米代表实际距离3500000厘米。【点睛】此题的解题关键是理解掌握比例尺的意义。2.这是()比例尺，改写成数值比例尺是()。【答案】线段1∶7500【分析】根据图形可知，这是线段比例尺；图上距离和实际距离已知，根据“比例尺＝图上距离∶实际距离”，即可把线段比例尺改写成数值比例尺，据此解答。【详解】这是线段比例尺；75米＝7500厘米1厘米∶7500厘米＝1∶7500这是线段比例尺，改写成数值比例尺是1∶7500。【对应练习】1.在比例尺是1∶8000000的地图上，图上1厘米表示实际()千米。【答案】80【分析】根据比例尺＝图上距离∶实际距离，可知图上1厘米表示实际8000000厘米，再换算成千米。【详解】8000000厘米＝80千米在比例尺是1∶8000000的地图上，图上1厘米表示实际80千米。【点睛】本题主要考查了比例尺的意义，注意单位换算。2.将线段比例尺改写成数值比例尺是()。【答案】1∶2500000【分析】结合图示可知：图上1厘米代表实际距离25千米，可先把25千米换算成以厘米作单位的数，再根据：图上距离∶实际距离＝比例尺，代入数据计算即可。【详解】1厘米∶25千米＝1厘米∶2500000厘米＝1∶2500000所以改写成数值比例尺是1∶2500000。【点睛】考查了线段比例尺与数值比例尺的转化，需要熟悉比例尺的意义，注意单位的换算。【考点二】比例尺的基本关系问题。【典型例题】1.一张精密仪器的图纸，用10cm的线段表示实际长2mm，这幅图的比例尺是()。【答案】50∶1【分析】根据比例尺的意义，比例尺＝图上距离∶实际距离，代入相应数值计算即可解答。【详解】10cm＝100mm100mm∶2mm＝（100÷2）∶（2÷2）＝50∶1因此这幅图的比例尺是50∶1。2.2021年是中国共产党成立100周年，小明打算国庆节和父母一起到北京。他在一幅比例尺为1∶20000000的地图上量得成都到北京的距离约为9厘米，成都到北京的实际距离大约是()千米。【答案】1800【分析】根据图上距离÷比例尺＝实际距离，用9÷即可求出9厘米的实际距离，再把单位换算成千米。【详解】9÷＝9×20000000＝180000000（厘米）180000000厘米＝1800千米成都到北京的实际距离大约是1800千米。3.淘气手绘了一幅地图，用图上4厘米的长度表示从家到公园200米的长度，这幅地图的比例尺是()，如果淘气家到学校的实际距离是1500米，那么在这幅地图上应画()厘米。【答案】1∶5000/30【分析】先统一单位，再根据图上距离∶实际距离＝比例尺，代入数据即可求出这幅地图的比例尺；然后根据图上距离＝比例尺×实际距离，代入数据即可求出1500米的图上距离。【详解】200米＝20000厘米4∶20000＝（4÷4）∶（20000÷4）＝1∶50001500米＝150000厘米150000×＝30（厘米）用图上4厘米的长度表示从家到公园200米的长度，这幅地图的比例尺是1∶5000，如果淘气家到学校的实际距离是1500米，那么在这幅地图上应画30厘米。【点睛】本题主要考查了比例尺的意义以及图上距离和实际距离的换算，要熟练掌握每个知识点。【对应练习】1.甲乙两地相距250km，画在图上的距离是5cm，这幅图的比例尺是()。【答案】1∶5000000/【分析】已知甲乙两地的距离是250km，它们的图上距离是5cm，先把实际距离换算为以cm为单位，再根据比例尺＝图上距离∶实际距离，代入数值计算即可解答。【详解】250km＝25000000cm5cm∶25000000cm＝（5÷5）∶（25000000÷5）＝1∶5000000因此这幅图的比例尺是1∶5000000。2.在比例尺为1∶3000000的地图上，量得保定到北京的图上距离是6.5厘米，那么保定到北京的实际距离是()千米。如果一辆小汽车以每小时100千米的速度行驶，那么从保定到北京需要()小时。【答案】1951.95【分析】据“比例尺＝图上距离∶实际距离”可知：实际距离＝图上距离÷比例尺，求出实际距离后，根据“时间＝距离÷速度”列式计算。【详解】6.5÷＝6.5×3000000＝19500000（厘米）19500000厘米＝195千米195÷100＝1.95（小时）保定到北京的实际距离是195千米；从保定到北京需要1.95小时。3.盘山风景名胜区位于天津市蓟区西北12公里处，因雄踞北京之东，故有“京东第一山”之誉。东西长20千米，南北宽10千米，画在比例尺是1∶200000的地图上，东西画()厘米，南北画()厘米。【答案】105【分析】根据图上距离＝实际距离×比例尺，代入数据，即可求出东西长和南北宽的图上距离，据此即可解答。【详解】20千米＝2000000厘米10千米＝1000000厘米2000000×＝10（厘米）1000000×＝5（厘米）即东西画10厘米，南北画5厘米。【考点三】比例尺与作图。【典型例题】1.一块长方形的菜地，长30米，宽20米。用的比例尺把它画在图纸上，长画()，宽画()。在方框里将这块长方形的菜地画出来，并标上数据。解析：30米＝3000厘米20米＝2000厘米3000×＝3（厘米）2000×＝2（厘米）长应画3厘米，宽画2厘米。作图如下：2.下面是公园街区的平面示意图。（1）广场在公园()偏()30°方向上，实际距离是()米。（2）喷水池在广场西南方向750米处，请在图上画出位置用点标明。解析：（1）经过测量，公园到广场的图上距离是3厘米；3÷＝3×30000＝90000（厘米）90000厘米＝900米广场在公园北偏西30°方向上，实际距离是900米。（2）作图如下：750米＝75000厘米75000×＝2.5（厘米）3.作图。（1）图中三角形A三个顶点的位置用数对表示是()()()。（2）画出图形A向右平移10格后得到的图形B；然后再以MN为对称轴，画出图形B的轴对称图形。（3）按1∶2的比画出图形A缩小后的图形。解析：（1）（2，3）（6，3）（6，5）（2）（3）【对应练习】1.填一填，画一画。某文化广场是长40米、宽15米的一个长方形，请你选择一个合适的比例尺，在下边的图纸内画出广场的平面图，并在图上注明长和宽。我设计的比例尺是()。解析：40米＝4000厘米15米＝1500厘米可以选用1∶1000的比例尺。（答案不唯一）4000×＝4（厘米）1500×＝1.5（厘米）如图：2.下面是以海棠花园为中心的平面图。（1）图书馆距海棠花园有800米，这幅图的比例尺是()。（2）银行在海棠花园西偏北35°距海棠花园1.2千米处，请你在图中标出来。（3）从银行向人民路修一条最短的路，应该怎么修？请你画出来。解析：（1）量得图书馆距海棠花园的图上距离是2厘米800米＝80000厘米2∶80000＝1∶40000（2）1.2千米＝120000厘米120000×＝3（厘米）作图如下：（3）作图如下：3.作图。（1）把长方形绕O点顺时针旋转90度。（2）按1∶2的比画出三角形缩小后的图形。（3）如果每个小方格的边长表示1厘米，缩小后三角形的面积是()平方厘米。解析：（1）（2）作图如下：（3）2×3÷2＝3（平方厘米），缩小后的三角形的面积是3平方厘米。【考点四】比例尺与行程问题。【典型例题1】求时间。在比例尺是1∶8000000的地图上量的甲地到乙地的距离是14厘米。一列火车3小时行驶了420千米，照这样的速度，这列火车上午10时40分从甲地出发，何时能到达乙地？【答案】18时40分【分析】已知甲地到乙地的图上距离和比例尺，根据“实际距离＝图上距离÷比例尺”以及进率“1千米＝100000厘米”，求出甲、乙两地的实际距离；已知一列火车3小时行驶了420千米，根据“速度＝路程÷时间”，求出这列火车的速度；再根据“时间＝路程÷速度”，求出这列火车从甲地到乙地需要的时间，最后加上火车从甲地的出发时刻，即可求出火车到达乙地的时刻。【详解】甲、乙两地的实际距离：14÷＝14×8000000＝112000000（厘米）112000000厘米＝1120千米火车的速度：420÷3＝140（千米/时）火车从甲地到乙地需要的时间：1120÷140＝8（小时）到达乙地的时刻：10时40分＋8小时＝18时40分答：18时40分能到达乙地。【典型例题2】求速度。在比例尺是1∶3000000的地图上，量得两地距离是10厘米，甲、乙两车同时从两地相向而行，3小时后两车相遇。已知甲、乙两车的速度比是2∶3，求甲、乙两车每小时各行多少千米？【答案】甲车每小时行40千米；乙车每小时行60千米【分析】用图上距离除以比例尺可以求出实际距离，然后用路程除以时间可以求出速度和，然后按照2∶3分配可以求出甲、乙两车的速度。【详解】10÷＝30000000（厘米）＝300（千米）300÷3＝100（千米）100×＝100×＝40（千米）100×＝100×＝60（千米）答：甲车每小时行40千米，乙车每小时行60千米。【对应练习】1.在比例尺是1∶20000000的地图上，量得甲乙两地的距离是3.6厘米。如果火车以每小时160千米的速度于上午8时从甲地开出，到达乙地是什么时刻？【答案】中午12时30分【分析】实际距离＝图上距离÷比例尺，据此先求出实际距离，再根据路程÷速度＝时间，求出火车行驶时间，根据终点时间＝起点时间＋经过时间，推算出到达乙地时刻。【详解】3.6÷＝3.6×20000000＝72000000（厘米）＝720（千米）720÷160＝4.5（小时）4.5小时＝4小时30分8时＋4小时30分＝12时30分答：到达乙地是中午12时30分。2.在比例尺是1∶5000000的地图上，量得A、B两地相距4厘米。如果一辆小汽车上午9时从A地出发，上午11时30分到达B地，那么这辆小汽车平均每小时行驶多少千米？【答案】80千米【分析】根据实际距离＝图上距离÷比例尺，用4÷即可求出4厘米的实际距离，再换算成千米；如果一辆小汽车上午9时从A地出发，上午11时30分到达B地，则从A地到B地需要2.5小时，再根据速度＝路程÷时间，用两地的距离除以2.5小时，即可求出小汽车的速度。【详解】4÷＝4×5000000＝20000000（厘米）20000000厘米＝200千米11时30分－9时＝2时30分2时30分＝2.5时200÷2.5＝80（千米/小时）答：这辆小汽车平均每小时行驶80千米。【点睛】本题主要考查了比例尺的意义以及图上距离和实际距离的换算，要注意单位换算。【考点五】比例尺与分段计价问题。【典型例题】下面是某市人民路路段的部分平面图。（1）超市在公园()面，距离公园()米处。（2）小艺家在公园()偏()()°方向，距离公园()米处。（3）公园东面1500米处，有一条与人民路垂直且长度差不多的共和路，在图中画线段表示共和路。（4）小艺乘出租车沿图中所示的路线从家到超市，按以下收费标准她需要支付多少车费？某市出租车收费标准里程收费2km及以下9元2km以上每增加1km（不足1km按1km计算）1.9元【答案】（1）东；2700（2）北；西；30；1800（3）见详解（4）14.7元【分析】（1）经过测量得到，公园到超市的图上距离是2.7厘米，根据“实际距离＝图上距离÷比例尺”可以计算出实际距离，图上的方向是上北下南，左西右东，据此得到超市在公园东面；（2）应用方位角表示位置，要确定方向和距离。首先根据公园到小艺家的图上距离是1.8厘米，计算出实际距离，再用“方向＋偏移角度”表示即可；（3）计算出实际距离是1500米的图上距离，也就确定了共和路与人民路的交点，再在交点处画出垂直于人民路的共和路（长度与人民路差不多）即可；（4）根据（1）、（2）计算出从家到超市的实际距离，对照收费标准，看看计费里程约是多少，按照收费标准计算车费。【详解】（1）（厘米）＝2700（米）超市在公园东面，距离公园2700米处。（2）（厘米）＝1800（米）小艺家在公园北偏西30°（西偏北60°）方向，距离公园1800米处。（3）（米）＝1.5（厘米）（4）（米）＝4.5（千米）（千米）（元）答：她需要支付14.7元车费。【对应练习】下面是李洋乘坐出租车从家去农业银行的路线图。出租车的收费标准是：3千米以内（含3千米）按起步价9元计算。以后每增加1千米收费2元（不足1千米按1千米算）。请按图中提供的信息算一算，李洋从家去农业银行一共要付出租年费多少钱？【答案】15元【分析】实际距离＝图上距离÷比例尺，据此先求出李洋从家去农业银行的实际距离。取整千米数，求出超出3千米的部分，乘对应收费标准，再加上3千米内的起步价即可。【详解】（5＋3＋3）÷＝11×50000＝550000（厘米）＝5.5（千米）≈6（千米）（6－3）×2＋9＝3×2＋9＝6＋9＝15（元）答：李洋从家去农业银行一共要付出租年费15元钱。【考点六】比例尺与面积问题。【典型例题】在比例尺为1∶20000的地图上，量得一块三角形的底是5厘米，高是4厘米，这块地的实际面积是多少？【答案】0.4平方千米【分析】已知地图的比例尺、图上三角形的底和高，先根据“实际距离＝图上距离÷比例尺”，分别求出实际三角形的底和高；再根据三角形的面积＝底×高÷2，求出三角形的实际面积。注意单位的换算：1千米＝100000厘米。【详解】5÷＝5×20000＝100000（厘米）100000厘米＝1千米4÷＝4×20000＝80000（厘米）80000厘米＝0.8千米面积：1×0.8÷2＝0.4（平方千米）答：这块地的实际面积是0.4平方千米。【对应练习】一个长方形操场，长与宽的比是4∶3，用的比例尺画在图上，量得这个长方形的周长是56厘米。这个长方形操场的实际面积是多少平方米？【答案】19200平方米【分析】根据实际距离＝图上距离÷比例尺，换算出操场的实际周长；长方形周长÷2＝长宽和，长宽和÷总份数，求出一份数，一份数分别乘长和宽的对应份数，求出长和宽，再根据长方形面积＝长×宽，求出操场实际面积即可。【详解】56÷＝56000（厘米）＝560（米）560÷2＝280（米）280÷（4＋3）＝280÷7＝40（米）40×4＝160（米）40×3＝120（米）160×120＝19200（平方米）【点睛】关键是理解比的意义，掌握图上距离与实际距离的换算方法。【第三篇】正比例和反比例【知识总览】一、正比例。1.两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。2.如果用字母y和x表示两种相关联的量，用k表示它们的比值(一定)，正比例关系可以用式子yx=k（一定）表示。3.正比例关系图象是一条经过(0，0)的直线。从图象中，可以直观地看到两种量的变化情况，不用计算，由一种量的值可以直接找到对应的另一种量的值。二、反比例。1.两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的积（一定），反比例关系可以表示为xy=h（一定）。2.判断两种量是否成反比例关系，先看这两种量是不是相关联的量，如果是，再看它们的乘积是否一定，若乘积一定，则两种量成反比例关系；若乘积不一定，则两种量不成反比例关系。【考点一】正比例与反比例的意义。【典型例题1】正比例。科学小组在同一时间、同一地点进行观察实验，测得竹竿的高与竿影的长如下表。（1）说一说竿影的长与竹竿的高的变化关系。解析：竹竿的高增加1m，竿影的长随之增加0.4m。（2）写出竿影的长与竹竿的高的比，你有什么发现?解析：竿影的长/竹竿的高=0.4，不管竹竿的高怎么变化，竿影的长和竹竿的高的比值是不变的。（（3）竹竿的高与竿影的长是不是成正比例?说明理由。解析：竹竿的高与竿影的长成正比例，因为它们的比值一定。【典型例题2】反比例。小红看一本书，每天看的页数和所用的天数如下表。（1）表中()和()是两种相关联的量。（2）这两种相关联的量中，相对应的两个数的积是()，这个积表示的是()。（3）由此可知∶()一定时，()和()成()比例关系。解析：（1）每天看的页数；所用的天数；(2)200；这本书的总页数；（3）总页数；每天看的页数；所用的天数；反【对应练习】1.观察一辆汽车运货时间和运货吨数统计表：运货时间（时）123456…运货吨数（吨）51015202530…（1）表中变化的量有()和()。（2）()扩大，()也随着扩大。（3）3小时运货()吨，运30吨需要()小时。（4）运货吨数和运货时间这两种量中相对应两个数的比值都等于()，所以表中的两种量成()比例。解析：（1）运货时间；运货吨数；（2）运货时间；运货吨数；（3）15；6；（4）5；正2.运一批货物，每天运的吨数和需要的天数如下表：每天运的吨数300150100756050需要的天数123456（1）写出几组这两组量中的对应的两个数的积，并比较积的大小。（2）说明这个积表示什么？（3）表中相关联的两个量成反比例吗？为什么？解析：（1）因为积都是300，所以积相等；（2）这批货物的总吨数；（3）反比例关系．因为表中相对应的两个数的乘积一定。【考点二】比例关系的判断。【典型例题】1.报纸的单价一定，订阅的份数和总价成()比例；圆柱的体积一定，它的底面积和高成()比例。解析：正；反2.x×2＝y（x不为0），x和y成()比例；如果3x＝4y（y不为0），那么x和y成()比例。解析：正；正3.若，则m和n成()比例；若（a不为0），则a和b成()比例。解析：正；反【对应练习】1.在下面括号里填上“成正比例”、“成反比例”或“不成比例”。(1)如果圆柱的底面积一定，那么体积和高()。(2)如果圆锥的体积一定，底面积和高()。(3)如果5x＝y（x、y均不为0），则x和y()。解析：(1)成正比例；(2)成反比例；(3)成正比例2.如果5A＝4B（A、B均不为0），那么A∶B＝()，A和B成()比例。解析：4∶5；正3.和是两个相关联的量，如果5＝9，那么和成()比例；如果＝15÷，那么和成()比例。解析：正；反【考点三】正比例与反比例的图像。【典型例题】1.下一根弹簧挂上物体（质量不超过20kg）后会伸长。下图表示弹簧伸长的长度和所挂物体的质量之间的关系。(1)弹簧伸长的长度与所挂物体的质量成()比例。(2)根据图象判断，如果挂上7kg的物体，那么弹簧将伸长()cm。(3)要使弹簧伸长2.25cm，应挂上()kg的物体。解析：（1）2∶0.5＝4∶1＝4（比值一定）所以物体的质量与弹簧伸长的长度成正比例。（2）7÷4＝1.75（厘米）所以挂上7kg的物体，弹簧应伸长1.75厘米。（3）2.25×4＝9（kg）所以要使弹簧伸长2.25cm，应挂上9kg的物体。2.把相同体积的水倒入底面积不同的圆柱形杯子中，杯子的底面积和杯中水面的高度关系的图象如图所示：（1）底面积和水面高度成()比例关系。（2）底面积是10cm²的杯子中，水面的高度是()cm，底面积是30cm²的杯子中，水面的高度是()cm。（3）估计一下，底面积是40cm²的杯子中，水面的高度是()cm。解析：（1）反；（2）30；10；（3）7.5【对应练习】1.电信公司推出校园卡业务，下图表示长途电话通话时间与话费的关系，观察下图并回答后面的问题。（1）校园卡每分钟话费是多少?（2）通话1小时需要话费多少?（3）淘气和国外表哥通话花费16.5元，他俩通话了多长时间?解析：（1）0.3元；（2）18元；（3）55分钟2.小丽正在读一本故事书，下图表示的是她读书的天数和每天读书的页数之间的关系。（1）图中的一条曲线，反映了()和()成()比例；（2）由图象判断，整本书有()页，如果20天读完，每天要读()页；如果每天读5页，需要读()天。解析：（1）读书的天数；每天读书的页数；反；（2）80；40；6【考点四】绘制正比例与反比例的图像。【典型例题】1.淘气借助表格和画图的方法探究当梯形的上底和下底长度不变时，梯形的面积和梯形的高之间的关系。梯形的上底和下底长度不变，也就是上底、下底长度的和不变，那么梯形的面积和梯形的高之间的关系如下表。梯形的面积/平方米0246810…梯形的高/米012345…（1）在图中描出梯形的面积与对应高的点，并连线。（2）当梯形的上底和下底长度不变时，梯形的面积与梯形的高成()比例，理由是()。（3）根据表格呈现的数据，这个梯形的上底与下底的和是()米。（4）当梯形的高是7米时，对应的梯形的面积是()平方米。解析：（1）如图：（2）当梯形的上底和下底长度不变时，梯形的面积与梯形的高成正比例关系；理由是根据梯形面积公式“梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2”可得：梯形面积÷高＝（上底＋下底）÷2，上底和下底长度不变时，（上底＋下底）÷2的值不变，所以梯形面积和高成正比例关系。（3）10×2÷5＝4（米）即这个梯形的上底与下底的和是4米。（4）7×4÷2＝14（平方米）即对应的梯形的面积是14平方米。【对应练习】1.一个工程队每天铺设管道30米，照这样的效率，2天、3……能铺设管道多少米？（1）把下表填写完整。时间/天123456管道长/米3060()()()()（2）根据表中数据，把铺设管道的时间与管道长之间相对应的点在图中描出来，并连线。（3）铺设管道的时间与管道长成什么比例关系？为什么？（4）根据图像判断，7天能铺设()米管道。解析：（1）30×3＝90（米）30×4＝120（米）30×5＝150（米）30×6＝180（米）表格如下：时间/天123456管道长/米306090120150180（2）作图如下：（3）已知管道铺设的总长度÷天数＝每天铺设的管道长度（一定），工作效率不变，则铺设管道的时间与管道长成正比例；（4）30×7＝210（米）根据图像判断，7天能铺设210米管道。2.把相同体积的水倒入底面积不同的杯子中，杯子的底面积和杯子中水面高度的关系如下表所示。底面积/cm2510203060水面高度/cm603015105（1）把表中杯子的底面积和杯子中水面的高度所对应的点描在下面的方格中，再顺次连接。（2）判断杯子的底面积和杯子中水面的高度成()比例关系。（3）照这样计算，底面积是50平方厘米的杯子中，水面的高度是()厘米。解析：（1）如图：（2）5×60＝10×30＝20×15＝30×10＝60×5＝300乘积相等，所以杯子的底面积和杯子中水面的高度成反比例关系。（3）5×60÷50＝300÷50＝6（厘米）底面积是50平方厘米的杯子中，水面的高度是6厘米。【第四篇】比例的应用【知识总览】物高与影长问题。在太阳下，同一时间、同一地点，不同物体的高度和影长的比值相等，利用这一等量关系，建立比例方程解决问题【考点一】物高与影长问题。【典型例题】测量某小区一栋楼的影长20米，同时同地测得一棵3米高的树的影长是4米，这栋楼的高度是多少米？（用比例知识解决）解析：解：设这栋楼的高度是x米。3∶4＝x∶204x＝3×204x＝60x＝60÷4x＝15答：这栋楼的高度是15米。【对应练习】刘丽和李芸同时测量大树和一棵小树的影长，分别是9米和2米。她们又测得小树实际高0.8米，大树有多高？（用比例知识解决）解析：解：设大树有x米高。x∶9＝0.8∶22x＝9×0.82x÷2＝7.2÷2x＝3.6答：大树有3.6米高。【考点二】正比例的实际应用与四大问题。【典型例题1】归一问题。有一个甘蔗榨汁机，可以用500克的甘蔗榨出150克的甘蔗汁，现在有10千克的甘蔗，可以榨出多少克甘蔗汁？解析：解：设可以榨出x克甘蔗汁。10千克＝10000克x∶10000＝150∶500500x＝10000×150500x＝1500000x＝1500000÷500x＝3000答：可以榨出3000克甘蔗汁。【对应练习】李师傅计划加工一批零件，前五天加工了120个，照这样计算，再用18天就可以做完，这批零件一共有多少个？（用比例解）解析：解：设这批零件一共有x个，则：x∶（5＋18）＝120∶5x∶23＝120∶55x＝120×235x＝27605x÷5＝2760÷5x＝552答：这批零件一共有552个。【典型例题2】行程问题。一辆汽车从甲地开往乙地，开出2.4小时行驶了180千米，照这样的速度，行完全程需要4.2小时。甲地到乙地有多少千米？（用比例解）解析：解：设甲地到乙地有x千米，180∶2.4＝x∶4.22.4x＝180×4.22.4x＝7562.4x÷2.4＝756÷2.4x＝315答：甲地到乙地有315千米。【对应练习】王叔叔开车从甲地到乙地，前2小时行100千米。照这样的速度，从甲地到乙地一共用3小时，甲乙两地相距多远？（用比例解）解析：解：设甲地与乙地相距x千米。x∶3＝100∶22x＝100×32x＝3002x÷2＝300÷2x＝150答：甲地与乙地相距150千米。【典型例题3】相遇问题。小黄车和小蓝车的速度比为6∶5，两车同时从A地同向出发前往B地，到达B地后掉头返回A地，两人如此往返。A、B两地相距220千米，则两车第一次相遇时，相遇地点距离A地多远?解析：相同时间内，两车的速度比等于路程比，所以路程比为6:5。同时同地出发再返回的第一次相遇，两车共行驶了两倍的全程。路程和是440千米，一份量∶440÷（6＋5）=40（km）。小蓝车∶40×5=200（km）答：相遇地点距离A地200千米。【对应练习】诗诗和健健同时从甲地出发去乙地，诗诗和健健的速度比为7∶4，诗诗到达乙地后直接掉头直到与健健相遇.如果甲乙两地相距44干米，则相遇地点距甲地多远?解析：32千米。【典型例题4】追及问题。小黄车速度为60km/h，小蓝车速度为50km/h，如果