专题01 变量、函数与图像【知识串讲+9大考点】（人教版）原卷版

专题01变量、函数与图像考点类型知识一遍过（一）变量与常量变量：在一个变化过程中数值发生变化的量。常量：在一个变化过程中数值始终不变的量。【注意】①变量是可以变化的，而常量是已知数，且它是不会发生变化的。②区分常量和变量就是在某个变化过程中该量的值是否发生变化。（二）函数定义一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数。如果当x=a时y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值。【函数概念的解读】①有两个变量。②一个变量的数值随另一个变量的数值变化而变化。③对于自变量每一个确定的值，函数有且只有一个值与之对应。（三）自变量的取值范围（1）关系式为整式时，函数自变量的取值范围为全体实数；（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；（3）关系式含有二次根式时，被开方数大于等于零；（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；（5）实际问题中，函数自变量的取值范围还要和实际情况相符合，使之有意义。（四）函数的表示（1）解析法：两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法。优：准确反映整个变化过程中自变量与函数的关系。缺：求对应值是要经过比较复杂的计算，而且实际问题中有的函数值不一定能用解析式表示。函数图像上点的坐标与解析式之间的关系：①将点的坐标代入到解析式中，如解析式两边成立，则点在解析式上，反之，不在。②两个函数图像交点的坐标就是这两个解析式所组成的方程组的解。（2）列表法：把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。优：自变量和与它对应的函数值数据一目了然，使用方便。缺：所列对应数值个数有限，不容易看出自变量与函数值的对应关系，有局限性。（3）图像法：用图像表示函数关系的方法叫做图像法。优：形象的把自变量和函数值的关系表示出来。缺：图像中只能得到近似的数量关系。考点一遍过考点1：函数的概念典例1：（2023春·河北唐山·八年级统考期中）下列式子中的y不是x的函数的是（）A．y=−2x−3 B．y=−1−x C．y=±x+2【变式1】（2023上·安徽合肥·八年级合肥38中校考阶段练习）下列各曲线中，能表示y是x的函数的是（

）A．

B．

C．

D．

【变式2】（2021上·山东聊城·九年级统考期末）下列式子：①y=3x−5x②y=12③y=x−1④y2=x⑤y=x．其中A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【变式3】（2021下·陕西西安·八年级统考期中）下列图形中，不能表示y是x函数的是（

）A． B．C． D．考点2：求自变量的取值范围典例2：（2023上·重庆北碚·八年级西南大学附中校考阶段练习）函数y=x−1x−2的自变量x的取值范围是（A．x≥1且x≠2 B．x>1 C．x>1且x≠2 D．【变式1】（2023·黑龙江绥化·统考二模）在函数y=1x+3+A．x≥−3 B．x>−3 C．x≠3 D．x>−3且x≠3【变式2】（2023下·河南南阳·八年级校考阶段练习）函数y=x+2x−1中自变量x的取值范围是（A．x≥−2且x≠1 B．x>−2 C．x≠1 D．−2<x<1【变式3】（2023上·山东菏泽·九年级统考期末）函数y=x+2x中，自变量x的取值范围是（A．x>−2 B．x≥−2C．x>−2且x≠0 D．x≥−2且x≠0考点3：用描点法画函数图像典例3：（2024上·江西萍乡·八年级统考期末）萍萍在学习中遇到了这样一个问题：探究函数y=x−2(1)列表：x…−1012345…y…10−1−2−10k…（1）直接填空：k=______；(2)描点并正确地画出该函数图象；(3)①根据函数图象可得：该函数的最小值为______；②观察函数y=x−2【变式1】（2023上·山东枣庄·八年级统考期中）有这样一个问题：探究函数y=x−1(1)函数y=x−1的自变量x(2)下表是x与y的几组对应值，求m的值是______；x…−5−4−3−2−10123…y…654m21012…(3)在下面网格中，建立平面直角坐标系xOy，描出上表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象；(4)当y=4时，x=−3小明根据画出的函数图象，得出了如下几条结论：①函数有最小值为0；②当x>1时，y随x的增大而增大；③图象关于过点1,0且垂直于x轴的直线对称．小明得出的结论中正确的是______．（只填序号）【变式2】（2023上·河南商丘·九年级校考阶段练习）某同学根据学习函数的经验，探究了函数y=3(1)写出函数y=3x−2+1(2)如表是函数y与自变量x的几组对应值：则m=______，n=______；x…

−3

−2

−10134567…y…

1.6m2

2.54n

2.52

1.75

1.6…(3)在如图所示的平面直角坐标系xOy中，已画出函数图象的一部分，请补全此函数的图象；(4)进一步探究函数图象发现：①函数y=3x−2+1的图象是轴对称图形，对称轴是直线______；当x满足______时，y随x【变式3】（2023上·江西南昌·八年级校联考期中）在函数学习过程中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程．以下是我们研究函数y=2x−1下表是x与y的部分对应值：x…−2−101234…y…31−1−3−11b…

(1)完善表格，并根据表格填写：a=________，b=________．(2)在给出的平面直角坐标系中画出这个函数的大致图象，观察图象写出该函数的一条性质．(3)若点Mc,d，Ne,d都在该函数图象上，求考点4：函数解析式的确定典例4：（2023上·福建宁德·八年级统考期中）我国是一个严重缺水的国家，大家应该倍加珍惜水资源，节约用水．据测试，拧不紧的水龙头每秒会滴下2滴水，每滴水约0.05mL．小明同学在洗手时，没有把水龙头拧紧，当小明离开x小时后，水龙头滴了y(1)试写出y与x之间的函数关系式？(2)当滴了1440mL【变式1】（2023上·江苏盐城·八年级校联考阶段练习）某通讯公司手机话费收费有A套餐（月租费15元，通话费每分钟0.1元）和B套餐（月租费0元，通话费每分钟0.15元）两种，设A套餐每月话费为y1（元），B套餐每月话费y2（元），月通话时间为(1)直接写出y1与x，y2与(2)如果某用户使用A套餐本月缴费50元，求他本月的通话时间？(3)如果某用户这个月的通话时间为280分钟时，选择哪种套餐更划算？【变式2】（2023上·江苏泰州·八年级校联考阶段练习）已知某款汽车油箱中有汽油50L，每小时耗油6L（汽车在行驶过程中视为匀速行驶）．(1)写出油箱中剩余油量yL与行驶时间t(2)当油箱中剩余油量低于8L时，汽车将发出警报，求该款汽车在听到警报前，最多可行驶多少小时？【变式3】（2023上·安徽合肥·八年级期中）已知等腰三角形的周长为12cm，若底边长为ycm，一腰长为(1)写出y与x的函数关系式．（不要求写出自变量的取值范围）(2)求出当x=5时y的值．考点5：函数图像的识别典例5：（2024上·黑龙江大庆·六年级校联考期末）小明周日上午从家出发，乘车半小时到达离家5km远的成都自然博物馆，在博物馆参观了2小时后，乘车半小时返回家中，下面四幅图中，能够描述她这一活动行程的是（）A． B．C． D．【变式1】（2023下·广东深圳·七年级校联考期末）图1是水滴进玻璃容器的示意图（滴水速度不变），图2是容器中水高度随滴水时间变化的图象．那么水的高度是如何随时间变化的，请选择分别与①、②、③、④匹配的图象（

）

A．（3）（2）（4）（1）B．（2）（3）（1）（4）C．（2）（3）（4）（1） D．（3）（2）（1）（4）【变式2】（2022下·湖北襄阳·八年级统考期末）如图是一个容器的截面图，均匀地向一个容器注水，最后把容器注满，在注水过程中，下面大致能反映水面高度h和时间t之间的变化的函数图象为（）

A．

B．

C．

D．

【变式3】（2023上·福建福州·七年级福州华伦中学校考开学考试）如图，D1931次西安至成都东动车匀速穿越秦岭隧道（隧道长大于火车长），火车进入隧道的时间x与火车在隧道内的长度y之间的关系用图象描述大致是（

）

A．

B．

C．

D．

考点6：从函数图像获取信息典例6：（2023上·浙江·八年级校联考期末）小聪上午8：00从家里出发，骑车去一家文具店购物，然后从这家文具店返回家中，小聪离家的路程s（千米）和所经过的时间t（分）之间的函数关系如图所示．根据图象，下列结论不正确的是（

）A．文具店距小聪家4千米B．小聪在文具店逗留了30分钟C．小聪去文具店途中速度大于回家途中速度D．小聪在来去途中，离家2千米的时间是8:50【变式1】（2023上·黑龙江哈尔滨·九年级校考阶段练习）已知甲、乙两人均骑自行车沿同一条路从A地出发到B地，他们离出发地的距离S（单位：km）和行驶时间t（单位：h）之间的函数关系如图所示，根据图象提供的信息，下列说法错误的是（

）A．甲、乙两人均行驶了30千米 B．乙在行驶途中停留了0.5小时C．甲乙相遇后，甲的速度大于乙的速度 D．甲全程用了2.5小时【变式2】（2024上·重庆丰都·九年级统考期末）如图是丰都一天（凌晨0时到深夜24时）的气温变化图，在这一天中，气温随着时间变化而变化，下列结论错误的是（

）A．在这一天中，气温在14时达到最高，最高温度是22°B．凌晨2时气温达到最低C．6时到12时，气温在逐渐上升D．某旅行团这天想去爬山，登山的气温最好在18°C【变式3】（2024上·广东深圳·八年级统考期末）杆秤是我国传统的计重工具．数学兴趣小组利用杠杆原理自制了一个如图1所示的无刻度简易杆秤．在量程范围内，AB之间的距离l与重物质量m的关系如图2所示，下列说法不正确的是（

）A．在量程范围内，质量m越大，AB之间的距离l越大；B．未挂重物时，AB之间的距离l为3cmC．当AB之间的距离l为15cm时，重物质量m为4D．在量程范围内，重物质量m每增加1kg，AB之间的距离l增加2考点7：动点问题的函数图像典例7：（2023上·辽宁·八年级校联考期末）如图①，在边长为4cm的正方形ABCD中，点P以每秒2cm的速度从点A出发，沿AB→BC的路径运动，到点C停止．过点P作PQ∥BD，PQ与边AD(或边CD)交于点Q，PQ的长度ycm与点P的运动时间x(秒)的函数图象如图②所示．当点P运动2.5

A．22cm B．32cm C．【变式1】（2022·海南海口·海口市第九中学校考二模）如图1，从长方形纸片AMEF中剪去长方形BCDM后，动点P从点B出发，沿BC、CD、DE、EF运动到点F停止，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则图形ABCDEF的面积是（

）A．32 B．34 C．36 D．48【变式2】（2023上·黑龙江哈尔滨·九年级统考期末）如图①，动点P从矩形ABCD的顶点A出发，在边AB、BC上沿A→B→C的方向，以1cm/s的速度匀速运动到点C，△APC的面积S（单位：cm2）随运动时间t（单位：s）变化的函数图象如图②所示，则a的值是（A．2 B．3 C．4 D．6【变式3】（2023上·安徽合肥·八年级期中）如图，正方形ABCD的边长为4，点P为正方形边上一动点，若点P从点A出发沿A→D→C→B→A匀速运动一周．设点P走过的路程为x，△ADP的面积为y，则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是（

）

A．

B．

C．

D．

考点8：求自变量的值或函数值典例8：（2024下·全国·七年级假期作业）已知变量x，y之间的关系式为y=2x+1x≥04xx<0，当x=2时，A．5 B．6 C．7 D．8【变式1】（2020上·安徽合肥·八年级校考阶段练习）根据图中所示的程序计算：若输入的x为−13，则输出的结果y为（

A．1 B．19 C．53 【变式2】（2023下·山东淄博·六年级统考期末）某商场在某一阶段，一商品的销售量与销售价之间存在下表所示的关系：销售价/元90100110120130140销售量/件908070605040设该商品的销售价为x元，销售量为y件，估计当x=126时，y的值约为（

）A．56 B．54 C．46 D．43【变式3】（2023下·广东梅州·七年级统考期中）已知关系式y=kx+5，当自变量x=−2时，因变量y=1，则x=3时，y的值是（）A．11 B．﹣1 C．5 D．1考点9：函数的三种表示方法典例9：（2022下·甘肃兰州·七年级统考期末）梦想从学习开始，事业从实践起步．近来，每天登录“学习强国”APP，学精神增能量、看文化长见识已经成为一种学习新风尚．下面是爸爸上周“学习强国”周积分与学习天数的有数据，则下列说法错误的是（

）学习天数n（天）1234567周积分w（分）55110160200254300350A．在这个变化过程中，学习天数是自变量，周积分是因变量B．周积分随学习天数的增加而增加C．从第3天到第4天，周积分的增长量为50分D．天数每增加1天，周积分的增长量不一定相同【变式1】（2022下·贵州贵阳·七年级统考期中）小明和妈妈2022年3月19日通过自驾去“花溪十里河滩”游玩，早上他们从贵安新区出发，匀速行驶一段时间后，途中遇到堵车原地等待一会儿，然后他们加快速度行驶，按时到达“十里河滩”．游玩结束后，他们自驾匀速返回．其中x表示小明和妈妈驾车从贵安新区出发后至回到贵安新区所用的时间，y表示他们离贵安新区的距离，下面能反映y与x的关系的大致图象是（）A．B．C．D．【变式2】（2022下·河南南阳·八年级统考期中）在地球中纬度地区，从地面到高空大约11km之间，气温随高度的升高而下降，每升高1km，气温大约下降6°C；高于11km但不高于20km，气温几乎不再变化，某城市地处中纬度地区，该市某日的地面气温为20°C，设该城市距离地面高度为xkm0≤x≤20处的气温为A． B．C． D．【变式3】（2021下·辽宁大连·八年级统考期中）在平面直角坐标系中，下列函数的图象经过点1,3的是（

）A．y=−3x B．y=−3x C．y=3x同步一遍过一、单选题1．（2023下·福建福州·八年级校联考期中）下列各曲线中不能表示y是x函数的是（）A． B． C． D．2．（2007·江苏泰州·中考真题）函数y=x+12−x中，自变量A．x≥−1 B．−1≤x≤2C．−1≤x<2 D．x<23．（2023下·河南周口·八年级校联考阶段练习）根据下列表格信息，y可能为（

）x…−2−1012…y…*0**无意义…A．x+2x−1 B．x−1x−2 C．x+1x−24．（2022下·陕西西安·七年级交大附中分校校考期末）在弹性限度范围内，弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y（cm）与所挂的物体的质量x（kg）间有下面的关系：x012345y1010.51111.51212.5下列说法不正确的是（

）A．所挂物体质量为4kg时，弹簧长度为12cmB．所挂物体质量为8kg时，估计弹簧长度为14mC．弹簧不挂重物时的长度为0cmD．物体质量每增加1kg，弹簧长度y增加0.5cm5．（2023下·天津滨海新·八年级统考期末）下列各式中，y不是x的函数的是（）A．y＝x B．|y|＝x C．y＝2x+1 D．y＝x26．（2023下·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）下列各曲线中，不表示y是x的函数的是（

）A．B．C． D．7．（2022下·河南安阳·八年级统考期末）如图1．在矩形ABCD中，点P从点A出发，匀速沿AB→BD向点D运动，连接DP，设点P的运动距离为x，DP的长为y，y关于x的函数图象如图2所示，则当点P为AB中点时，DP的长为（

）A．5 B．8 C．52 D．8．（2022下·河南南阳·八年级统考期末）如图①，正方形ABCD中，点E在边BC上，连接AE，动点Р从A点出发，沿A→D→C的路径，以1cm/s的速度匀速运动到C点，在此过程中，△APE的面积ycm2随运动时间xs变化的函数关系图象如图②所示，则当x=5时，yA．2.5 B．3 C．3.5 D．49．（2023下·八年级单元测试）如图1，在矩形MNPO中，动点R从点N出发，沿N→P→O→M方向运动至点M处停止．设点R运动的路程为x，△MNR的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则矩形MNPO的周长是（

）A．11 B．15 C．16 D．2410．（2023下·山东济南·六年级统考期末）小颖想了解一根弹簧的长度是如何随所挂物体质量的变化而变化的，她把这根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，下面是小颖测得的弹簧的长度y(cm)与所挂物体质量所挂物体质量x012345弹簧长度y303234363840当弹簧长度为78cm（在弹簧承受范围内）时，所挂重物的质量为（

A．21kg B．22kg C．23kg二、填空题11．（2023下·辽宁鞍山·八年级统考期中）设关于x的一次函数y=a1x+b1与y=a2x+b2，则称函数y=ma12．（2023上·山西太原·八年级校联考期中）声音在空气中的传播速度vm/s与温度t温度t05101520传播速度v331334337340343则传播速度v与温度t之间的关系式为．13．（2023下·八年级课时练习）向平静的水面投入一枚石子，在水面会激起一圈圈圆形涟漪，当半径从2cm变成5cm时，圆形的面积从变成．这一变化过程中是自变量，是自变量的函数．14．（2023上·江苏泰州·八年级校考期中）函数y=1x−5中，自变量x的取值范围是15．（2023上·河南南阳·九年级统考期中）已知M＝(x−2)2﹣x+3，当x分别取1，2，3，…，2020时，所对应M值的总和是16．（2022下·宁夏银川·七年级校考期末）为庆祝英才学校建校20周年，学校组织文艺汇演，七年级排练队形为10排，第一排20人，后面每排比前一排多2人，则每排人数y与排数x之间函数关系式为．三、解答题17．（2023上·八年级课时练习）在高处让一物体由静止开始落下，它下落的路程s与时间t之间的关系如下表：时间t(秒)12345落下路程s(米)4.9×14.9×44.9×94.9×164.9×25（1）请根据表格中的数据写出时间t与物体落下的路程s之间的关系；（2）算出当t=4.5秒时，物体落下的路程.18．（2023下·江西抚州·七年级统考期中）如图，长方形ABCD中，BC=8，CD=5，点E为边AD上一动点，连接CE，随着点E的运动，四边形ABCE的面积也发生变化．(1)写出四边形ABCE的面积y与AE的长x0<x<8(2)当四边形ABCE的面积为25时，求DE的长．19．（2023下·河北保定·七年级统考期中）周末上午8:00，小颖陪妈妈骑自行车去塞外天路踏青，沿途观赏了一个种植园，中午时分到达目的地塞外天路的一个农家院就餐，随后返回家中，如图是她们离农家院的距离skm与时间t（1）农家院离家多远？并说出AB和CD段的实际意义（什么时间段内干了什么事情）；（2）求去时她们骑自行车的平均速度（停车观赏种植园除外）；（3）她们何时与家相距10km20．（2023下·广东梅州·七年级统考期中）某机动车出发前油箱内有油48L．行驶若干小时后，途中在加油站加油若干升．油箱中剩余油量QL与行驶时间t

(1)在这个变化过程中，____________是自变量，______________是因变量；(2)机动车行驶___________小时后加油，中途加油__________L；(3)如果加油站距目的地还有360km，车速为60km21．（2023下·辽宁沈阳·七年级校考期中）甲、乙两人在同一平直的道路上同时、同起点、同方向出发，他们分别以不同的速度匀速跑步2400米（甲的速度大于乙的速度），当甲第一次超出乙600米时，甲停下来等候乙．甲、乙两人会合后，两人分别以原来的速度继续跑向终点，先到终点的人在终点休息．在整个跑步过程中，甲、乙两人之间的距离y（米）与乙出发的时间x（秒）之间的关系图象如图所示，根据图象中提供的信息回答问题：（1）A点表示的是；（2）乙出