第05讲线线线面面面垂直的判定与性质（核心考点讲与练）-2023学年高二数学考试满分全（沪教版2020必修三）（原卷版）

第05讲线线、线面、面面垂直的判定与性质（核心考点讲与练）考点考点考向1.直线与平面垂直(1)直线与平面垂直的定义如果一条直线和一个平面相交于点O，并且和这个平面内过交点(O)的任何直线都垂直，就说这条直线和这个平面互相垂直.(2)直线与平面垂直的判定定理及其推论文字语言图形语言符号语言判定定理如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊂α,b⊂α,a∩b＝O,l⊥a,l⊥b))⇒l⊥α推论1如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥b,a⊥α))⇒b⊥α推论2如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))⇒a∥b2.平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的定义如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得两条交线互相垂直，就称这两个平面互相垂直.(2)平面与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊥α,l⊂β))⇒α⊥β性质定理如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,l⊂β,α∩β＝a,l⊥a))⇒l⊥α方法技巧方法技巧1.证明直线和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；③面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；④面面垂直的性质．2.利用判定定理证明平面与平面垂直的一般方法先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的垂线存在，则可通过线面垂直来证明面面垂直；若这样的垂线不存在，则需通过作辅助线来证明3.证明面面垂直常用的方法：（1）面面垂直的定义；（2）面面垂直的判定定理.在证明面面垂直时，一般假设面面垂直成立，然后利用面面垂直转化为线面垂直，即为所证的线面垂直，组织论据证明即可能力拓展能力拓展题型一：线面垂直的判定一、填空题1．（2021·上海浦东新·高二期中）直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面上的___________直线都垂直，那么此直线与该平面垂直.2．（2021·上海·高二专题练习）若，分别为四棱柱的棱，的中点，则加上条件________，就可得结论：平面.（写出你认为正确的一个条件）二、解答题3．（2021·上海市甘泉外国语中学高二期中）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1.(1)求证：平面C1BD；(2)求证：⊥平面A1DC.4．（2021·上海市七宝中学高二期中）如图，在三棱锥中，为的中点，，，，，，.(1)证明：平面；(2)求三棱锥的体积.5．（2021·上海·高二专题练习）如图，在棱长为的正方体中，，，分别是棱、和所在直线上的动点：（1）求的取值范围：（2）若为面内的一点，且，，求的余弦值：（3）若、分别是所在正方形棱的中点，试问在棱上能否找到一点，使平面?若能，试确定点的位置，若不能，请说明理由.题型二：线面垂直证明线线平行3．（2018·上海市宝山中学高二期中）表示直线，表示平面，下列命题正确的是A．若，，则 B．若⊥，⊥，则⊥C．若⊥，⊥，则 D．若⊥，⊥，则二、填空题4．（2021·上海·华师大二附中高二开学考试）如图，在正方体中，分别为，和的中点，则下列关系：①；②平面；③；④平面，正确的编号为___________________.题型三：线面垂直证明线线垂直一、单选题1．（2022·上海·复旦附中高二期中）如图所示，一个灯笼由一根提竿PQ和一个圆柱组成，提竿平行于圆柱的底面，在圆柱上下底面圆周上分别有两点A、B，AB与圆柱的底面不垂直，则在圆柱绕着其旋转轴旋转一周的过程中，直线PQ与直线AB垂直的次数为（

）A．2 B．4 C．6 D．82．（2021·上海市嘉定区安亭高级中学高二阶段练习）已知点P是△ABC所在平面外一点，且P到△ABC三个顶点的距离相等，则P点在平面ABC上的射影是△ABC的（

）A．重心 B．垂心 C．内心 D．外心三、解答题5．（2021·上海市市西中学高二期中）如图，已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB＝∠C1CD＝∠BCD＝60°(1)证明：C1C⊥BD；(2)当的值为多少时，能使A1C⊥平面C1BD?请给出证明．题型四：面面垂直的判定一、单选题1．（2021·上海·复旦附中高二期中）在三棱锥中，若，，那么必有（

）A．平面平面 B．平面平面C．平面平面 D．平面平面二、填空题2．（2021·上海·华师大二附中高二阶段练习）如图所示，四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱，，则它的5个面中，互相垂直的面有__________对.3．（2021·上海市七宝中学高二阶段练习）已知是边长为的正方形，点在平面外，侧棱，，则该几何体的5个面中，互相垂直的面有______对三、解答题4．（2022·上海市杨浦高级中学高二期末）如图，三棱锥中，两两垂直，，且分别为线段的中点.(1)若点是线段的中点，求证：直线平面；(2)求证：平面平面.5．（2021·上海·复旦附中高二期中）如图，已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，面．(1)求证：面面；(2)求四棱锥的侧面积．题型五：面面垂直证线面垂直一、单选题1．（2021·上海市南洋模范中学高二期中）已知点是正四棱锥V-ABCD的侧棱VA上异于点的一动点，则点在面VBC上的射影落在（

）A．△VBC的外部 B．△C．△VBC2．（2021·上海市延安中学高二期中）如图所示，在斜三棱柱中，，且，过作平面，垂足为，则点在（

）A．直线上 B．直线上 C．直线上 D．内部3．（2021·上海市复兴高级中学高二期中）已知，是两个不同的平面，直线，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件二、填空题4．（2021·上海市松江二中高二期中）如图，在棱长均为的正四面体中，为中点，为中点，是上的动点，是平面上的动点，则的最小值是______.三、解答题5．（2021·上海·曹杨二中高二阶段练习）如图，在三棱锥中，平面平面，.(1)求的长；(2)求点到平面的距离.题型六：空间垂直的转化一、单选题1．（2021·上海市奉贤区奉城高级中学高二期中）已知、为异面直线，平面，平面．平面与外的直线满足，，则（

）A．，且B．且C．与相交，且交线垂直于D．与相交，且交线平行于二、填空题2．（2021·上海市七宝中学高二阶段练习）已知A，，，，为空间不共面的五个点，顺次用线段连接这五个点构成空间五边形，则在此五边形中互相垂直的边最多有多少______对巩固巩固提升一、单选题1．（2021·上海·复旦附中高二期中）设､为两条直线，､为两个平面，则下列命题中假命题是（

）A．若，，，则B．若，，，则C．若，，，则D．若，，，则2．（2021·上海市复兴高级中学高二期中）如图，点为正方形边上异于点的动点，将沿翻折，得到如图所示的四棱锥，且平面平面，点为线段上异于点的动点，则在四棱锥中，下列说法：①直线与直线必不在同一平面上；②存在点使得直线平面；③存在点使得直线与平面平行；④存在点使得直线与直线垂直.以上叙述正确的是（

）A．①② B．①③ C．①④ D．③④3．（2021·上海市金山中学高二期中）若a，b是异面直线，则下列命题中的假命题为（

）A．过直线a有且仅有一个平面与直线b平行B．可能存在平面与直线a，b都垂直C．唯一存在一个平面与直线a，b等距D．过直线a至多可以作一个平面与直线b垂直4．（2021·上海市宝山中学高二期中）已知直线和平面，且，那么（

）A． B．C． D．5．（2021·上海市甘泉外国语中学高二期中）在三棱锥P﹣ABC中，顶点P到AB、AC和BC的距离都相等，P在底面的投影为O且在△ABC内，则点O是△ABC的（

）A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心6．（2021·上海·高二专题练习）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB＝1，AD⊥AB，∠BCD＝45°，将△ABD沿对角线BD折起，设折起后点A的位置为A′，使二面角A′—BD—C为直二面角，给出下面四个命题：①A′D⊥BC；②三棱锥A′—BCD的体积为；③CD⊥平面A′BD；④平面A′BC⊥平面A′DC．其中正确命题的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．47．（2021·上海市宝山中学高二阶段练习）如图1，已知PABC是直角梯形，AB∥PC，AB⊥BC，D在线段PC上，AD⊥PC．将△PAD沿AD折起，使平面PAD⊥平面ABCD，连接PB，PC，设PB的中点为N，如图2．对于图2，下列选项错误的是（）A．平面PAB⊥平面PBC B．BC⊥平面PDCC．PD⊥AC D．PB＝2AN二、填空题8．（2021·上海市松江二中高二期中）“棱柱有相邻两个侧面是矩形”是“棱柱是直棱柱”的______________条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“不充分不必要”）9．（2021·上海交大附中闵行分校高二阶段练习）设均为直线，其中在平面内，“”是“且”的___________条件.10．（2021·上海交大附中闵行分校高二阶段练习）已知所在的平面，且，连接AE，AF，则图中直角三角形的个数是___________.11．（2021·上海·华东师大附属枫泾中学高二期中）如图，在长方体中，，则为___________.12．（2021·上海·高二专题练习）一条长为的线段夹在互相垂直的两个平面之间，它和这两个平面所成的角分别为和，由这条线段的两个端点向两个平面的交线引垂线，则垂足间的距离为________．13．（2021·上海外国语大学闵行外国语中学高二期中）《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”，四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”，如图在堑堵中，，且.有下列命题：①四棱锥为“阳马”；②四面体为“鳖臑”③四棱锥体积最大为；④过A点分别作于点E，于点F，则.则正确命题是___________.14．（2021·上海市洋泾中学高二期中）如图，已知四棱锥P－ABCD，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD．给出下列命题：①PB⊥AC；②平面PAB与平面PCD的交线与AB平行；③平面PBD⊥平面PAC；④△PCD为锐角三角形．其中正确命题的序号是________．15．（2021·上海市延安中学高二期中）如图，是一个正方体的平面展开图，在这个正方体中，①与是异面直线；②与平行；③与成60°角；④与垂直.请写出所有正确结论的序号____________.16．（2021·上海市松江二中高二期中）在正方体中，，点P在平面内，，则点P到距离的最大值为______________.17．（2021·上海市松江二中高二期中）如图，在三棱锥中，能证明的条件是_______．①，；②，；③平面平面，；④，.三、解答题18．（2021·上海·复旦附中高二期中）已知四棱柱中，，(1)判断与是否平行？说明理由．(2)若面面，面面，且面面，判断与面是否垂直？说明理由．19．（2021·上海市金山中学高二期末）圆锥的顶点为，底面圆心为，线段是圆的直径，点是圆上异于、的点，垂直于圆所在的平面，且，.(1)若为线段中点，求证：平面；(2)求圆锥的侧面积，并求三棱锥体积的最大值；(3)当三棱锥体积最大时，点沿圆锥表面运动到母线中点，求该点经过的路线的最小值.20．（2021·上海·华东师范大学第三附属中学高二阶段练习）如图1，矩形，，，点为的中点，将沿直线折起至平面平面（如图2），点在线段上，平面.（1）求证：；（2）求证：平面平面；（3）若在棱，分别取中点，，试判断点与平面的关系，并说明理由.21．（2021·上海奉贤区致远高级中学高二期中）如图，在四棱锥中，平面ABCD，底部ABCD为菱形，E为CD的中点.（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）若∠ABC=60°，求证：平面PAB⊥平面PAE；（Ⅲ）棱PB上是否存在点F，使得CF∥平面PAE？说明理由.22．（2022·上海·格致中学高二期末