第三讲-绝对值及其应用

第三讲绝对值及其应用001课堂目标知识1.掌握绝对值的含义；2.掌握正数、负数、0的绝对值的算法.方法1.灵活应用绝对值比较大小；2.灵活掌握绝对值在解题中的应用；2.掌握非负数的应用.002知识梳理1.一般地，数轴上表示数a的点与的距离叫做数a的绝对值，记作.【答案】原点；2.正数的绝对值是，负数的绝对值是，0的绝对值是.即当a＞0时，；当a＜0时，；当a=0时，.【答案】它本身；它的相反数；0【注意】：绝对值等于它本身的数是__________.所以若，那么a就是非负数；若，那么a就是非正数.【答案】正数和0003例题精析绝对值的定义绝对值的定义题型一例1例1①互为相反数的两个数绝对值相等；②绝对值等于本身的数只有正数；③不相等的两个数绝对值不相等；④绝对值相等的两数一定相等；⑤只有负数的绝对值是它的相反数；⑥任何一个有理数的绝对值都不是负数．

其中正确的有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C【分析】根据绝对值的性质进行判断即可．【解答】解：①互为相反数的两个数的绝对值相等，故①正确；

②绝对值等于它本身的数是非负数，故②错误；

③不相等的两个数绝对值可能相等，如2与2，故③错误；

④绝对值相等的两个数相等或互为相反数，故④错误；

⑤负数和0的绝对值是它的相反数，故⑤错误；

⑥任何一个有理数的绝对值都不是负数，故⑥正确；

综上所述，①⑥正确，正确的个数为2，

故选：C．例2下列说法中正确的是例2A．若|a|=|b|，则a=bB．若|a|=|b|，则a，b互为相反数 C．a的绝对值一定是负数D．若一个数小于它的绝对值，则这个数一定是负数【答案】D变式1在数轴上，下面说法中不正确的是（变式1A．两个有理数，绝对值小的离原点近B．大数对应的数在右边 C．两个负数，较大的数对应的点离原点近D．两个有理数，大数离原点近【答案】D变式2下列说法中，正确的有变式2①负数没有绝对值；②绝对值最小的有理数是0；③任何数的绝对值都是非负数；④互为相反数的两个数的绝对值相等.A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C【分析】根据绝对值的意义对各选项进行判断．【解答】解：负数的绝对值等于它的相反数，所以（1）错误；绝对值最小的有理数是0，所以（2）正确；任何数的绝对值都是非负数，所以（3）正确；互为相反数的两个数的绝对值相等，所以（4）正确．

故选：C．绝对值的计算绝对值的计算题型二例1计算：______；______；______；______；______.例1【答案】3.7；0；3.3；0.75；0.75变式1写出下列各数的绝对值：6，3.5，0，，，4，1.2，π.变式1【答案】6；3.5；0；；；1.2；π例2若|x|=5，|y|=2且x＜0，y＞0，则x+y=例2A．7 B．7 C．3 D．3 【答案】D【分析】由绝对值的定义，得x=±5，y=±2，再根据x＜0，y＞0，确定x、y的具体对应值，最后代入计算x+y的值．【解答】解：∵|x|=5，|y|=2，

∴x=±5，y=±2，

∵x＜0，y＞0，

∴x=5，y=2，

∴x+y=3．

故选：D．例3如果|a|=4，|b|=2，且|a+b|=a+b，则ab的值是例3【答案】见试题解答内容【分析】首先根据绝对值的意义求得a，b的值，再由|a+b|=a+b确定出a与b的对应值有两种可能性，然后分别代入ab，根据有理数的减法法则计算即可．【解答】解：∵|a|=4，|b|=2，

∴a=±4，b=±2，

∵|a+b|=a+b，

∴a+b＞0，

∴a、b同正即a=4，b=2，或a=4，b=2．

当a=4，b=2时，ab=42=2；

当a=4，b=2时，ab=4（2）=4+2=6．

故ab的值为：2或6．变式2若，，则_________.变式2【答案】4或2或4或2【解答】解：∵|x|=3，|y|=1，

∴x=±3，y=±1，

∴x+y=4或2或4或2，

故x+y的值为：4或2或4或2．变式3若，是5的相反数，则_________.变式3【答案】1或9变式4若m满足，则m的取值是_________.变式4【答案】1或5例4如果，则a一定是（）例4A．非正数 B．负数 C．非负数 D．正数 【答案】A【分析】直接利用绝对值的性质分别分析得出答案．【解答】解：∵|3a|=3a，

∴3a≥0，

∴a≤0，

即a一定是非正数．

故选：A．变式5若|a|=a，则a的值不可以是变式5A．2 B．5 C．0 D．0.5 【答案】A【分析】根据绝对值的性质进行判断．【解答】解：因为|a|≥0，

所以|a|的值是非负数．

|a|=a，a是非负数，所以a是负数或零．

故选：A．比较大小比较大小题型三例1在有理数，1，0，2中，最小的数是（）例1A．0 B． C．1 D．2 【答案】C例2下列比较有理数的大小，正确的是例2A． B． C． D． 【答案】C变式1下列各数中，比2021小的是变式1A．2022 B．2021 C．0 D．0.1 【答案】A例3已知a＞0，b＜0，且|a|＜|b|，则下列关系正确的是例3A．b<﹣a<a<﹣b B．﹣a<b<a<﹣b C．﹣a<b<﹣b<a D．b<a<﹣b<﹣a 【方法总结】【方法总结】比较大小我们可以使用代值的方法.【答案】A【分析】根据：a＞0，b＜0，|a|＜|b|，可得：a＜0，b＞0，a＜b，据此判断出a、a、b、b的大小关系即可．【解答】解：∵a＞0，b＜0，|a|＜|b|，

∴a＜0，b＞0，a＜b，

∴b＜a＜a＜b．

故选：A．变式2有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，把a、b、a、b、0按照从小到大的顺序排列，正确的是变式2A．a<a<0<b<b B．a<a<0<b<b C．b<a<0<a<b D．a<0<a<b<b 【答案】C【分析】根据正数大于负数和0，0大于负数，两个负数，绝对值大的反而小，即可解答．【解答】解：根据数轴可得：a＜0＜b，|a|＜|b|，

则b＜a＜0＜a＜b．

故选：C．变式3若0＜m＜1，m、m2、1m变式3A． B． C． D． 【答案】B绝对值的化简绝对值的化简题型四例1已知1≤x≤2，则化简代数式3|x2||x+1|的结果是例1A．4x+5 B．4x+5 C．4x5 D．4x5 【方法总结】【方法总结】绝对值的化简主要是看绝对值内的正负性，若为正则直接去绝对值，若为负则加上负号.【答案】A【分析】由于1≤x≤2，根据不等式性质可得：x2≤0，x+1≥0，再依据绝对值性质化简即可．【解答】解：∵1≤x≤2，

∴x2≤0，x+1≥0，

∴3|x2||x+1|=3（2x）（x+1）=4x+5；

故选：A．变式1当1＜x＜5时，化简|x1|+|x6|=变式1【答案】5．【分析】先运用不等式性质得出：x1＞0，x6＜0，再运用绝对值性质化简即可．【解答】解：∵1＜x＜5，

∴x1＞0，x6＜0，

∴|x1|+|x6|=x1（x6）=5；

故答案为：5．例2如图，化简代数式|ba||a1|+|b+2|的结果是例2【方法总结】在数轴上，左右【方法总结】在数轴上，左右<0，右左>0.【分析】根据有理数a、b在数轴上的位置，可以得出ba，a1、b+2的符号，进而化简即可．【解答】解：由有理数a、b、c在数轴上的位置，可得，1＜b＜0，1＜a＜2，

所以有ba＜0，a1＞0，b+2＞0，

因此|ba||a1|+|b+2|=ab（a1）+（b+2）=aba+1+b+2=3，

故答案为：3．例3有理数a，b，c例3化简：|a+b||b1||ac||1c|=_______.【答案】见试题解答内容【分析】根据数轴上点的位置判断出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义化简，去括号合并即可得到结果．【解答】解：根据数轴上点的位置得：b＜a＜0＜c＜1，

∴a+b＜0，b1＜0，ac＜0，1c＞0，

则原式=ab+b1+ac1+c=2．变式2已知a、b、c的大致位置如图所示：化简|a+c||ab|结果是变式2【答案】c+b．【分析】先根据各点在数轴上的位置，确定它们所表示的数的和的大小关系，再根据有理数的加减法法则，判断a+c、ab的正负，利用绝对值的意义化去绝对值符号，加减得结论．【解答】解：由数轴知：b＜a＜0＜c，c＞|a|，

∴a+c＞0，ab＞0，

所以|a+c||ab|

=a+ca+b

=c+b，

故答案为：c+b．变式3数轴上，有理数a、b、a、c的位置如图，则化简|a+c|+|a+b|+|cb|的结果为（）变式3A． B． C． D． 【答案】C【分析】根据数轴上a、b、a、c的位置去掉绝对值符号，再合并同类项即可．【解答】解：由图可知a＜0＜b＜a＜c，

∴a+c＞0，a+b＜0，cb＞0，

∴|a+c|+|a+b|+|cb|=a+cab+cb=2c2b．

故选：C．变式4已知a、b、c的位置如图所示，化简|a+b||ca|+|b+2c|=变式4【答案】见试题解答内容【分析】由图可知：c＜a＜b，|a+b||ca|+|b+2c|=b+a（ac）（b+2c）=c．【解答】解：由图可知：c＜a＜b，

∴|a+b||ca|+|b+2c|=b+a（ac）（b+2c）=c，

故答案为c．绝对值的应用绝对值的应用题型五例1代数式|x+2|+|2|的最小值等于例1【答案】2．【分析】|x+2|≥0，|2|=2，即可得出结果．【解答】解：∵|x+2|≥0，|2|=2，

∴|x+2|+|2|的最小值2．

故答案为：2．例2若a为有理数，则|a3|+|a+4|的最小值是_______，|a+2||a1|的最大值是_______例2【方法总结】【方法总结】1.|xa|+|xb|有最小值，可以看做是数轴上的点到a、b的距离之和，那么当介于a、b之间时，就有最小值|a|+|b|.2.|xa||xb|有最大值，可以看做是数轴上的点到a、b的距离之差，那么当位于a、b之外时，就有最大值|ab|.【答案】7；3变式1|x6|+|x1|的最小值是变式1【答案】5变式2求|x2|+|x7|的最小值是_______；|x2||x7|的最大值是变式2【答案】5；5变式3求|x1|+|x+4|的最小值是变式3【答案】5例3若ab≠0，那么的取值不可能是（）例3A．2 B．0 C．1 D．2 【答案】C例4已知a，b，c为有理数且abc≠0，则_______.例4【答案】3或3或1或1变式4已知a，b为非零有理数，则的值为（）变式4A．±2 B．0 C．±2或0 D．2 【答案】C变式5已知，那么_______.变式5【答案】1或3绝对值非负性的应用绝对值非负性的应用题型六例5已知，则______，______.例5【方法总结】【方法总结】非负数+非负数=0，那么它们应该都等于0.【答案】1；2例6已知，则______，______.例6【答案】3；6例7已知与互为相反数，则______.例7【答案】4变式6已知，则______，______.变式6【答案】1；2变式7已知与互为相反数，则______.变式7【答案】8第三讲绝对值及其应用作业作业作业一绝对值的定义1.下列说法正确的是（）A．最小的正整数是1B．一个数的相反数一定比它本身小C．绝对值等于它本身的数一定是正数D．一个数的绝对值一定比0大【答案】A【分析】A：根据整数的特征，可得最小的正整数是1，据此判断即可．

B：负数的相反数比它本身大，0的相反数等于它本身，据此判断即可．

C：绝对值等于它本身的数是正数或0，据此判断即可．

D：一个非零数的绝对值比0大，0的绝对值等于0，据此判断即可．【解答】解：∵最小的正整数是1，

∴选项A正确；

∵负数的相反数一定比它本身大，0的相反数等于它本身，

∴选项B不正确；

∵绝对值等于它本身的数是正数或0，

∴选项C不正确；

∵一个非零数的绝对值比0大，0的绝对值等于0，

∴选项D不正确．

故选：A．2.下列说法不正确的是（）A．0既不是正数，也不是负数B．0的绝对值是0C．一个有理数不是整数就是分数D．1是绝对值最小的正数【答案】D【分析】根据有理数的分类，以及绝对值得性质：正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值是0，进行分析即可．【解答】解：A、0既不是正数，也不是负数，说法正确；

B、0的绝对值是0，说法正确；

C、一个有理数不是整数就是分数，说法正确；

D、没有绝对值最小的正数，原来的说法错误．

故选：D．3.一个负数在增大时，它的绝对值在______（填“增大”或“减小”）；一个正数在增大时，它的绝对值在______（填“增大”或“减小”）.【答案】增大；增大作业二作业二绝对值的计算1.的绝对值是（）A．B．C．D．【答案】B2.等于（）A．B．C．D．【答案】A3.的相反数等于（）A．B．C．D．【答案】B4.若|x|=1，|y|=5，且x>0，y<0，则x+y=_______.【答案】45.若|x|=1，|y|=5，则x+y=_______.【答案】±6或±46.若|x|=2，|y|=3，且xy>0，则x+y=_______.【答案】±57.如果，则x一定是（）A．非正数 B．负数 C．非负数 D．正数 【答案】A8.如果，则a+1一定是（）A．非正数 B．负数 C．非负数 D．正数 【答案】C作业三作业三比较大小1.下列四个数中，最小的数是（）A．B．C．D．【答案】A2.下列各数，依照从大到小顺序排列的是（）A．20，6，2.13B．13，2.6，20C．2.6，13，20D．20，13.6，2【答案】B3.如果a、b都是实数，且a＜b，那么下列结论中，正确的是（）A． B． C． D． 【答案】B4.如图，数a在原点的左边，则a、a、0的大小关系正确的是（）A．a＜0＜a B．a＜a＜0C．a＜0＜a D．a＜a＜0【答案】C【分析】根据图示，可得：a＜0，a＞0，据此判断出a、a、0的大小关系即可．【解答】解：根据图示，可得：a＜0，a＞0，

∴a＜0＜a．

故选：C．5.a，b在数轴上位置如图所示，则a，b，a，b的大小顺序是（）A．a＜b＜a＜b B．b＜a＜b＜a C．a＜b＜b＜a D．b＜a＜a＜b 【答案】D【分析】从数轴上a、b的位置得出b＜0＜a，|b|＞|a|，推出a＜0，a＞b，b＞0，b＞a，根据以上结论即可得出答案．【解答】解：从数轴上可以看出b＜0＜a，|b|＞|a|，

∴a＜0，a＞b，b＞0，b＞a，

即b＜a＜a＜b，

故选：D．作业四作业四绝对值的化简1.数a的位置如图，化简|a|+|a+4|=______.【答案】4．【