22用配方法求解简单的一元二次方程（教学设计）-北师大版数学九年级上册

2.2用配方法求解简单的一元二次方程（教学设计）20242025学年北师大版数学九年级上册【教学目标】1.知识与技能目标学生能够理解配方法的概念，掌握用配方法解简单一元二次方程的步骤，并能熟练运用配方法求解数字系数的一元二次方程。2.核心素养目标数学抽象：通过对一元二次方程配方过程的学习，抽象出配方法的本质，提高从具体问题中抽象出数学模型的能力。逻辑推理：在推导配方法的过程中，培养逻辑推理能力，能够有条理地思考和表达推理过程。数学运算：准确、熟练地运用配方法进行一元二次方程的求解，提高数学运算能力。直观想象：借助完全平方公式的几何意义，直观理解配方法的原理，发展直观想象能力。数学建模：将实际问题转化为一元二次方程模型，并用配方法求解，增强数学建模意识和能力。【教学重难点】1.教学重点理解配方法的概念和原理。掌握用配方法解一元二次方程的步骤，并能正确运用配方法解简单的一元二次方程。2.教学难点理解配方法的本质，尤其是配方的关键步骤——在方程两边加上一次项系数一半的平方。灵活运用配方法解决各种类型的一元二次方程，以及将配方法应用于实际问题的求解。【教学准备】1.投影仪和电脑，用于展示一元二次方程的求解过程、完全平方公式的几何图形等，增强学生的直观感受。2.制作相关的教学课件，包含例题、练习题、动画演示等内容。3.准备课堂练习纸，方便学生进行课堂练习。【教学过程】一、导入新课（5分钟）1.创设情境老师展示一个实际问题：某学校要修建一个面积为150平方米的长方形花坛，已知花坛的长比宽多5米，求这个花坛的长和宽分别是多少？引导学生设未知数，设花坛的宽为x米，则长为(x+5)米，根据长方形面积公式可列出方程x(x+5)=150，展开得到x²+5x150=0。2.提出问题提问：我们已经学过一元二次方程的概念，那么如何求解这个方程呢？之前学过的方法好像不太容易解决这个问题，今天我们就来学习一种新的方法——配方法。（学生开始思考，表现出对新方法的好奇和期待。）二、新课学习（20分钟）1.回顾旧知展示问题：你能解下列一元二次方程吗？(1)x²=4(2)(x+3)²=2让学生自主求解这两个方程。学生回答：(1)对于方程x²=4，根据平方根的定义，x=±2。(2)对于方程(x+3)²=2，x+3=±√2，所以x=3±√2。老师总结：像这种能直接开平方求解的方程，我们很容易得出答案。但很多一元二次方程不能直接开平方，那怎么办呢？2.探究配方法的原理展示方程x²+6x+4=0引导学生思考：能不能将方程转化为我们熟悉的可以直接开平方的形式呢？老师提示：我们知道完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²，对于方程x²+6x+4=0中的x²+6x，我们可以尝试将其凑成完全平方的形式。提问：x²+6x加上一个什么数可以变成完全平方式呢？学生思考并回答：因为6x=2×x×3，所以加上3²=9可以变成完全平方式，即x²+6x+9=(x+3)²。老师讲解：我们在方程x²+6x+4=0两边同时加上9，得到x²+6x+9+4=9，即(x+3)²+4=9，进一步变形为(x+3)²=5。这样就将原方程转化为了可以直接开平方的形式，然后求解：x+3=±√5，所以x=3±√5。3.总结配方法的步骤老师引导学生回顾刚才的求解过程，总结用配方法解一元二次方程的步骤：移项：把常数项移到等号右边，如方程x²+6x+4=0移项后得到x²+6x=4。配方：在等号两边加上一次项系数一半的平方，对于x²+6x，一次项系数是6，一半是3，平方是9，所以在方程两边加上9，得到x²+6x+9=4+9。变形：将左边写成完全平方式，右边合并同类项，即(x+3)²=5。开方：根据平方根的定义，对完全平方式开平方，得到x+3=±√5。求解：解一元一次方程，得到x=3±√5。4.例题讲解展示例题：用配方法解方程x²4x1=0老师示范解题过程：移项：x²4x=1配方：在方程两边加上一次项系数一半的平方，一次项系数是4，一半是2，平方是4，所以x²4x+4=1+4，即(x2)²=5。开方：x2=±√5求解：x=2±√5老师强调：在配方过程中，一定要注意加上一次项系数一半的平方，并且在方程两边都要加上。三、随堂练习（10分钟）1.基础练习用配方法解方程：(1)x²+8x9=0(2)x²6x+4=0学生独立完成，老师巡视指导，及时纠正学生出现的问题。学生完成后，抽取部分学生的答案进行展示和讲解。答案：(1)移项得x²+8x=9，配方得x²+8x+16=9+16，即(x+4)²=25，开方得x+4=±5，解得x=1或x=9。(2)移项得x²6x=4，配方得x²6x+9=4+9，即(x3)²=5，开方得x3=±√5，解得x=3±√5。2.提高练习已知方程x²+mx+n=0可以通过配方法变形为(x3)²=5，求m和n的值。先让学生思考，然后小组讨论，最后请小组代表发言。老师讲解：将(x3)²=5展开得到x²6x+9=5，即x²6x+4=0，所以m=6，n=4。四、课堂小结（3分钟）1.老师引导学生回顾本节课的主要内容：配方法的概念和原理。用配方法解一元二次方程的步骤。2.强调重点和难点：重点是掌握配方法的步骤并能熟练运用。难点是理解配方的关键——加上一次项系数一半的平方。3.让学生谈谈自己在本节课中的收获和疑惑。五、布置作业（2分钟）1.书面作业用配方法解方程：3x²6x1=02x²+5x3=0已知关于x的方程x²+px+q=0通过配方法变形为(x+1)²=3，求p和q的值。2.拓展作业思考如何用配方法解决更复杂的一元二次方程，如二次项系数不为1且含有分数系数的方程。【板书设计】2.2用配方法求解简单的一元二次方程1.配方法的概念将一元二次方程通过配方转化为可以直接开平方的形式来求解的方法。2.配方法的步骤移项：常数项移到等号右边配方：等号两边加上一