专题862线面垂直的判定与性质线面角

【专题8.6.18.6.2空间直线与平面的垂直】总览总览题型梳理题型题型分类知识讲解与常考题型【题型1：异面直线的夹角问题】知识讲解知识讲解【考向1：求异面直线的夹角】例题精选例题精选【例题1】（2025高一·全国·专题练习）在四面体中，已知，分别是，的中点，若，，，则与所成角的度数为（

）A． B． C． D．【例题2】（2025·辽宁辽阳·一模）如图，三棱柱的所有棱长都为，且，、、分别为、、的中点，则异面直线和所成角的余弦值为（

）

A． B． C． D．相似练习相似练习【相似题1】（2425高三下·陕西咸阳·阶段练习）在正四棱柱中，，点分别是的中点，则直线与所成夹角的余弦值为（

）A． B． C． D．【相似题2】（2026高三·全国·专题练习）如图，和是异面直线，，分别为线段上的点，且，则与所成角的大小为．【相似题3】（2425高三上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在直三棱柱中，，，D，E，F分别是棱，BC，的中点，则异面直线AD与EF所成角的余弦值为．【考向2：已知异面直线的夹角求其他量】例题精选例题精选【例题1】（2425高一下·全国·课后作业）已知在正四棱台中，．若异面直线与所成角的余弦值为，则正四棱台的体积为．【例题2】（2026高三·全国·专题练习）在长方体中，，异面直线与所成角的余弦值为，则的值为．相似练习相似练习【相似题1】（2425高二上·上海·阶段练习）如图，在空间四面体中，若棱与成60°角，且，则连接、、、四条棱的中点E、F、G、H所得的四边形的面积等于.

【相似题2】（2024高三·全国·专题练习）在四面体中，E、F分别是的中点.若所成的角为，且，求的长.【相似题3】（2425高一下·全国·课堂例题）如图，已知分别是三棱锥的棱的中点，与所成的角为60°，且，求EG的长．

【题型2：线面垂直定理的理解】知识讲解知识讲解1.线面垂直的定义 若一条直线与一个平面内的任意一条直线都垂直，就称直线与平面垂直，记作。其中直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面，直线与平面的交点叫做垂足。 该定义强调“任意一条直线”，意味着无论在平面内如何选取直线，都与直线垂直，这是线面垂直最本质的特征，也是判断线面垂直的理论基础，但在实际证明中，直接用定义判定不太方便，因为很难穷举平面内所有直线。2.线面垂直的判定定理 定理内容：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直。 理解要点： 必须是平面内的两条相交直线，仅有一条直线垂直，或两条平行直线垂直，都不能得出线面垂直的结论。例如在长方形桌面$ABCD$中，，但$AD$与桌面所在平面不垂直；若，直线且，也不能直接得出垂直于桌面所在平面。 该定理将“线面垂直”的问题转化为“线线垂直”的问题，是证明线面垂直的重要方法。比如在正方体中，证明平面$ABCD$，可通过证明且，，从而得出结论。3.线面垂直的性质 性质一：如果一条直线垂直于一个平面，那么该直线垂直于平面内的任意一条直线。即若，，则。这是线面垂直定义的逆用，也是证明线线垂直的重要依据，将线面垂直关系转化为线线垂直关系。 性质二：垂直于同一个平面的两条直线平行。若，，则。此性质揭示了“线面垂直”与“线线平行”之间的联系，常用于证明空间中两条直线平行。例如在建筑工程中，两根垂直于地面的立柱是相互平行的。 性质三：如果一条直线垂直于一个平面，那么经过这条直线的所有平面都垂直于这个平面。即若，，则。这体现了线面垂直与面面垂直之间的转化关系。例题精选例题精选【例题1】（2425高一下·天津·期中）已知m，n表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是（

）A．若，，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，则【例题2】（2425高一下·河南·期中）若m，n为空间中两条直线，，为平面，则下列说法正确的是（

）A．若，，则B．若，，则C．，，，则D．若m，n是异面直线，则m，n在内的射影为两条相交直线相似练习相似练习【相似题1】（2025·福建厦门·一模）已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，，则下列说法正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【相似题2】多选题（2024·江苏宿迁·模拟预测）设直线m与平面相交但不垂直，则下列命题为真命题的有（

）A．平面内有无数条直线与直线m垂直 B．过直线m有无数个平面与垂直C．与直线m垂直的直线可能与平面平行 D．与直线m平行的平面可能与平面垂直【相似题3】【多选】（2425高二下·山东潍坊·开学考试）设、为两个平面，、为两条直线，且，则下述四个命题是真命题的是（

）A．若，则或 B．若，则或C．若且，则 D．若与，所成的角相等，则【题型3：线面垂直的判定】知识讲解知识讲解【考向1：线面垂直的证明】例题精选例题精选【例题1】（2025·上海青浦·模拟预测）如图，已知四棱锥的底面为菱形，.(1)求证：平面BDS；(2)若，求四棱锥的体积.【例题2】（2025高一·全国·专题练习）如图，已知矩形，过点作平面，再过点作交于点，过点作交于点．(1)求证：；(2)若平面交于点．求证：．相似练习相似练习【相似题1】（2324高一下·广东江门·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，且，点为线段的中点.

(1)求证：平面；(2)求证：平面；(3)求三棱锥的体积.【相似题2】（2425高二下·甘肃酒泉·阶段练习）如图，四棱锥的底面是矩形，底面，为的中点.(1)求异面直线与所成角的余弦值；(2)求证：平面.【相似题3】（2025高三·全国·专题练习）如图，平面，底面为矩形，于点．求证：平面；【考向2：由垂直确定点的位置】例题精选例题精选【例题1】（2223高一下·江苏镇江·阶段练习）如图，在三棱柱中，侧棱均与底面垂直，侧棱长为2，，，点是的中点，是侧面（含边界）上的动点.要使平面，则线段的长的最大值为（

）

A． B． C． D．【例题2】（2223高一下·安徽马鞍山·阶段练习）如图，直三棱柱，，分别是，的中点，(1)求证：平面；(2)若，，在棱上是否存在点，使平面.如果存在，求出点的位置，如果不存在，请说明理由.相似练习相似练习【相似题1】（2425高三上·山西大同·期末）如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，且分别为棱的中点，平面与平面交于直线.(1)求证：；(2)若与底面所成角为，当满足什么条件时，平面.【相似题2】（2223高二下·河北石家庄·阶段练习）如图，已知三棱柱的侧棱垂直于底面，，，点M，N分别为和的中点.

(1)若，求三棱柱的体积；(2)证明：平面；(3)请问当为何值时，平面，试证明你的结论.【相似题3】（2223高一下·山东青岛·期中）如图，在四棱锥中，面，，，，，为线段上的点．(1)证明：面；(2)若满足面，求的值．【题型4：线面垂直的性质】知识讲解知识讲解线面垂直的性质 性质一：如果一条直线垂直于一个平面，那么该直线垂直于平面内的任意一条直线。即若，，则。这是线面垂直定义的逆用，也是证明线线垂直的重要依据，将线面垂直关系转化为线线垂直关系。 性质二：垂直于同一个平面的两条直线平行。若，，则。此性质揭示了“线面垂直”与“线线平行”之间的联系，常用于证明空间中两条直线平行。例如在建筑工程中，两根垂直于地面的立柱是相互平行的。 性质三：如果一条直线垂直于一个平面，那么经过这条直线的所有平面都垂直于这个平面。即若，，则。这体现了线面垂直与面面垂直之间的转化关系例题精选例题精选【例题1】（2025高三·全国·专题练习）已知正方体的棱长为2．证明：．【例题2】（2425高二上·重庆长寿·期末）如图，在正四棱柱中，分别是的中点，且．

(1)求的长；(2)求点到平面的距离；(3)求证：．相似练习相似练习【相似题1】（2425高一下·全国·课后作业）如图，在直三棱柱中，，D，E分别是棱BC，上的点（点不同于点），且平面，F为的中点．求证：直线平面．【相似题2】（2324高一下·江苏淮安·期中）已知三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，为的重心，(1)求证：；(2)已知平面，且平面．求证：．【相似题3】（2023高三·全国·专题练习）如图，已知正方体的棱长为2．，分别为与上的点，且，．求证：；【题型5：直线与平面的夹角】知识讲解知识讲解【考向1：直接法】例题精选例题精选【例题1】（2425高二上·上海长宁·期末）如图，底面是正方形的直棱柱中，，.(1)求直线与平面ABCD所成角的正切值；(2)求证：.【例题2】（2425高二上·广东·期末）如图，在五面体中，四边形是边长为的正方形，，，.(1)求证：;(2)求证：平面；(3)求直线与平面所成角的正切值.相似练习相似练习【相似题1】（2324高一下·上海嘉定·期末）如图，底面ABCD为菱形，点P是平面ABCD外一点，且平面ABCD，E、F分别是为PD，PC的中点．(1)求证：平面PAB；(2)若，，，求直线BE与平面ABCD所成角的大小．【相似题2】（2324高一下·吉林长春·期末）在四棱锥中，平面ABCD，，∥，，，E为PD中点．(1)求证：∥平面PAB；(2)求直线CE与平面PAD所成的角的正弦值．（要求用几何法解答）【相似题3】（2324高一下·浙江宁波·期末）如图，已知在正三棱柱中，为棱的中点，.(1)证明：面；(2)求直线与平面所成角的正弦值.【考向2：等体积法】例题精选例题精选【例题1】（2425高三上·浙江金华·期末）在斜三棱柱中，，，且.(1)证明：；(2)若，求直线与平面所成角的正弦值.【例题2】（2324高一下·安徽马鞍山·期末）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，底面，，分别为线段的中点.

(1)证明：；(2)证明：平面；(3)若，，记与平面所成角为，求的最大值.相似练习相似练习【相似题1】（2324高一下·广东广州·期末）如图，是半球O的直径，P是半球底面圆周上一点，Q是半球面上一点，且．(1)求证：；(2)若,求直线与平面所成角的正弦值．【相似题2】（2324高一下·贵州六盘水·期末）如图，直三棱柱中，分别是的中点，.(1)证明：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值.【相似题3】（2324高一下·山东日照·期末）如图，正方形边长为4，E为AB中点，F为边BC上的动点．将沿DE翻折到，沿EF翻折到．(1)求证：平面；(2)若F是边BC上的中点，求点S到平面的距离；(3)若，连接DF，设直线SE与平面所成角为，求的最大值．课后针对训练课后针对训练一、单选题1．（2324高二上·福建福州·期末）已知不重合的直线和平面，则下列判断正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则2．（2024·湖北荆州·三模）已知正四棱台上底面边长为，下底面边长为，体积为，则正四棱台的侧棱与底面所成角的正切值为（

）A． B． C． D．3．（2324高一下·福建福州·期末）在正三棱柱中，，，分别是中点，则异面直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．4．（2324高二上·福建泉州·期末）棱长为的正方体中，，分别为，的中点，点在正方体的表面上运动，若，则的最大值为（

）A．4 B．6 C． D．二、多选题5．（2324高一下·福建南平·期中）如图，PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，，点C是圆周上异于A，B的任意一点，D，E分别是PA、PC的中点，则下列结论中正确的是（

）A．B．平面DEBC．三棱锥外接球的表面积是D．若，则直线BD与平面PAC所成角的余弦值为6．（2425高二上·福建莆田·期末）已知正四面体的棱长为，、分别为棱、的中点，则下列结论正确的是(

)A． B．C． D．与所成角为三、填空题7．（2122高一下·福建福州·期末）如图，在三棱柱中，已知平面，当底面满足条件时，有.8．（2024高三·全国·专题练习）如图，在三棱锥中，，平面ABC，且，E为PB中点，于点F，写出图中一条一定与EF垂直的线段为.

四、解答题9．（2223高二下·福建泉州·期末）如图，在五面体中，平面，，，.

(1)若为线段的中点，证明平面(2)若，，，求平面与平面夹角的余弦值.10．（2024·上海松江·二模）如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面，为的中点.(1)设平面与直线相交于点，求证：；(2)若，，，求直线与平面所成角的大小.11．（2324高一下·浙江衢州·期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，底面，，是线段的中点.

(1)求证：平面；(2)求三棱锥的体积；(