第14讲函数的应用与反函数（3大考点）（原卷版）

第14讲函数的应用与反函数（3大考点）考点考点考向一．函数的零点与方程根的关系【函数的零点与方程根的关系】函数的零点表示的是函数与x轴的交点，方程的根表示的是方程的解，他们的含义是不一样的．但是，他们的解法其实质是一样的．【解法】求方程的根就是解方程，把所有的解求出来，一般要求的是二次函数或者方程组，这里不多讲了．我们重点来探讨一下函数零点的求法（配方法）．例题：求函数f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零点．解：∵f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70＝（x﹣5）•（x+7）•（x+2）•（x+1）∴函数f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零点是：5、﹣7、﹣2、﹣1．通过这个题，我们发现求函数的零点常用的方法就是配方法，把他配成若干个一次函数的乘积或者是二次函数的乘积，最后把它转化为求基本函数的零点或者说求基本函数等于0时的解即可．【考查趋势】考的比较少，了解相关的概念和基本的求法即可．二．二分法的定义与应用【二分法的定义】二分法即一分为二的方法．设函数f（x）在[a，b]上连续，且满足f（a）•f（b）＜0，我们假设f（a）＜0，f（b）＞0，那么当x1＝时，若f（x1）＝0，这说x1为零点；若不为0，假设大于0，那么继续在[x1，b]区间取中点验证它的函数值为0，一直重复下去，直到找到满足要求的点为止．这就是二分法的基本概念．【二分法的应用】我们以具体的例子来说说二分法应用的一个基本条件：例题：下列函数图象均与x轴有交点，其中能用二分法求函数零点的是解：能用二分法求函数零点的函数，在零点的左右两侧的函数值符号相反，有图象可得，只有③能满足此条件，故答案为③．在这个例题当中，所要求的能力其实就是对概念的理解，这也是二分法它惯用的考查形式，通过这个例题，希望同学们能清楚二分法的概念和常考题型．【二分法求方程的近似解】二分法在高中主要属于了解性的内容，拿二分法求近似解思路也比较固定，这里我们主要以例题来做讲解．例：用二分法求方程在[1，2]上的近似解，取中点c＝1.5，则下一个有根区间是[1.5，2]．解：令函数f（x）＝lnx﹣，由于f（1.5）＝ln（1.5）﹣＝（ln1.52﹣2）＜（lne2﹣2）＝0，即f（1.5）＜0，而f（2）＝ln2﹣＝ln2﹣ln＝ln＝ln＞ln1＝0，即f（2）＞0，故函数f（x）在[1.52]上存在零点，故方程在[1.5，2]上有根，故答案为[1.5，2]．通过这个例题，我们可以发现二分法的步奏，第一先确定f（a）•f（b）＜0的a，b点；第二，寻找区间（a，b）的中点，并判断它的函数值是否为0；第三，若不为0，转第一步．三．反函数【知识点归纳】【定义】一般地，设函数y＝f（x）（x∈A）的值域是C，根据这个函数中x，y的关系，用y把x表示出，得到x＝g（y）．若对于y在中的任何一个值，通过x＝g（y），x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x＝g（y）就表示y是自变量，x是因变量是y的函数，这样的函数y＝g（x）（y∈C）叫做函数y＝f（x）（x∈A）的反函数，记作y＝f（﹣1）（x）反函数y＝f（﹣1）（x）的定义域、值域分别是函数y＝f（x）的值域、定义域．【性质】反函数其实就是y＝f（x）中，x和y互换了角色（1）函数f（x）与他的反函数f﹣1（x）图象关于直线y＝x对称；函数及其反函数的图形关于直线y＝x对称（2）函数存在反函数的重要条件是，函数的定义域与值域是一一映射；（3）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致；（4）大部分偶函数不存在反函数（当函数y＝f（x），定义域是{0}且f（x）＝C（其中C是常数），则函数f（x）是偶函数且有反函数，其反函数的定义域是{C}，值域为{0}）．奇函数不一定存在反函数，被与y轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有反函数．若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数．（5）一切隐函数具有反函数；（6）一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性；（7）严格增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数【反函数存在定理】；（8）反函数是相互的且具有唯一性；（9）定义域、值域相反对应法则互逆（三反）；（10）原函数一旦确定，反函数即确定（三定）（在有反函数的情况下，即满足（2））．考点精讲考点精讲一．函数的零点与方程根的关系（共17小题）1．（2022秋•闵行区校级期中）定义域为R的函数f（x）的图象关于直线x＝1对称，当x∈[0，1]时，f（x）＝x，且对任意x∈R恒有f（x+2）＝﹣f（x），，则方程g（x）﹣g（﹣x）＝0实数根的个数为（）A．2024 B．2025 C．2026 D．20272．（2022秋•徐汇区校级期中）设a，b，c均为正数，若一元二次方程ax2+bx+c＝0有实根，则（）A． B． C． D．3．（2022秋•黄浦区校级期中）已知函数f（x）＝|x2+3x|，x∈R．若方程f（x）﹣a|x﹣1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为（）A．（0，1）B．（9，+∞） C．（0，1）∪（9，+∞） D．（1，9）4．（2022秋•虹口区校级月考）记关于x的三个方程分别为：①x2+a1x+1＝0；②x2+a2x+2＝0；③x2+a3x+4＝0，其中a1，a2，a3是正实数，且满足a22＝a1a3．则下列选项中，能推出方程③无实根的是（）A．方程①有实根，且②有实根 B．方程①有实根，且②无实根 C．方程①无实根，且②有实根 D．方程①无实根，且②无实根5．（2022•徐汇区校级开学）已知1和3是关于x的方程ax2+bx+c＝﹣2x的两个根，且关于x的方程ax2+bx+c+6a＝0有两个相等的实数根，则实数a的值是（）A．1或 B．﹣1或 C．﹣1或 D．1或6．（2022秋•静安区校级期中）已知函数，则函数y＝f[f（x）]的所有零点之和为．7．（2022秋•普陀区校级期中）设方程2x2﹣5x+1＝0的两根为x1、x2，则＝．8．（2022秋•浦东新区校级期中）当m≠1时，关于x的方程mx+1＝x+2的解集为．9．（2022秋•长宁区校级月考）若a，b，c∈R，关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根分别为x1，x2，则方程可写成a（x﹣x1）（x﹣x2）＝0，即ax2﹣a（x1+x2）x+ax1x1＝0，容易发现根与系数的关系：x1+x2＝﹣，x1x2＝；若a，b，c，d∈R，设关于x的一元三次方程ax3+bx2+cx+d＝0（a≠0）的三个非零实数根分别为x1，x2，x3，则x12+x22+x32＝．10．（2022秋•浦东新区校级月考）若x1+x2＝3，x12+x22＝5，则以x1、x2为根的一元二次方程可以是．11．（2022秋•青浦区校级月考）已知方程a（3x+2）+b（2x﹣3）＝8x+3有无穷多个解，则a：b＝．12．（2022秋•宝山区校级月考）若关于x的一元二次方程mx2﹣3x+2＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是．13．（2022秋•闵行区校级月考）（1）若关于x的方程x2+tx+＝0（t≠0且t≠1）有实根，求实数t的取值范围．（2）若存在实数t（t≠0且t≠1），使得r是（1）中方程的实根，求r的取值范围．（3）设f（x）＝x2+ax+b（a，b∈R），考虑a，b，使得命题“存在x∈R，f（f（f（x）））＝x且f（x）≠x”为真命题．对于所有这样的a，b与相应的x，求（|x﹣f（x）|+|f（x）﹣f（f（x））|+|f（f（x））﹣f（f（f（x）））|）的最小值．14．（2022秋•浦东新区校级月考）若b1•b2＝2（c1+c2），求证：方程x2+b1x+c1＝0和方程x2+b2x+c2＝0至少有一个方程有实数根．15．（2022秋•青浦区校级月考）若s1s2＝2（t1+t2），s1，s2，t1，t2∈R，试证明：关于x的方程x2+s1x+t1＝0与x2+s2x+t2＝0中至少有一个方程有实根．16．（2022•徐汇区校级开学）解下列方程（组）：（1）；（2）＝1．17．（2022秋•闵行区校级期中）已知x1、x2是一元二次方程4kx2﹣4kx+k+1＝0的两个实数根．（1）若x1、x2均为正根，求实数k的取值范围；（2）求使+﹣2的值为整数的k的整数值；（3）是否存在实数k，使得（2x1﹣x2）（x1﹣2x2）＝﹣成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．二．二分法的定义与应用（共3小题）18．（2020秋•松江区期末）用“二分法”求函数f（x）＝2x3﹣3x2﹣18x+28在区间（1，2）内的零点时，取（1，2）的中点x1＝1.5，则f（x）的下一个有零点的区间是．19．（2020秋•虹口区期末）用“二分法”求方程x3+x﹣4＝0在区间（1，2）内的实根，首先取区间中点x＝1.5进行判断，那么下一个取的点是x＝．20．（2021•宝山区校级模拟）用二分法研究方程x3+3x﹣1＝0的近似解x＝x0，借助计算器经过若干次运算得如表：运算次数1…456…解的范围（0，0.5）…（0.3125，0.375）（0.3125，0.34375）（0.3125，0.328125）…若精确到0.1，至少运算n次，则n+x0的值为．三．反函数（共6小题）21．（2021秋•浦东新区校级期末）函数y＝x2﹣2x，x∈[﹣2，1]的反函数为．22．（2021秋•浦东新区校级期末）已知y＝f（x）＝log5（2x+1），则y＝f﹣1（x）＝．23．（2021秋•长宁区期末）函数的反函数为．24．（2021秋•宝山区校级期末）设函数，那么f﹣1（10）＝．25．（2021秋•浦东新区校级期末）设a∈R，f（x）是定义在R上的奇函数，且．（1）试求f（x）的反函数f﹣1（x）的解析式及f﹣1（x）的定义域；（2）设，若时，f﹣1（x）≤g（x）恒成立，求实数k的取值范围．26．（2021秋•普陀区校级期末）已知函数y＝f（x）是函数的反函数．（1）求函数y＝f（x）的表达式，写出定义域D；（2）判断函数y＝f（x）的单调性，并加以证明．巩固巩固提升一、单选题1．（2021·上海市西南位育中学高一期中）设a为非零实数，则关于函数，的以下性质中，错误的是（

）A．函数f（x）一定是个偶函数B．函数f（x）一定没有最大值C．区间一定是f（x）的严格单调递增区间D．函数f（x）不可能有三个零点2．（2021·上海·曹杨二中高一阶段练习）已知函数的定义域为，值域为，下列关于函数的说法：①、当时，；②、将的图像补上点，得到的图像必定是一条连续的曲线；③、是上的单调函数；④、的图像与坐标轴只有一个交点．其中正确命题的个数为（

）A． B． C． D．3．（2022·上海市建平中学高一期中）设实数，且，．函数，若的图象与轴没有交点，则（

）．A．或 B．或C．或 D．或4．（2022·上海·高一专题练习）函数的反函数为，则的根有（）个A． B． C． D．5．（2022·上海长宁·高一期末）下列命题中：①当时，函数的图象是一条直线；②函数和为同一函数；③若函数是奇函数，则；④函数在区间上的图象是一段连续曲线，如果，则函数在上没有零点.真命题的个数为（

）A．0个 B．2个 C．3个 D．4个6．（2022·上海·曹杨二中高一期中）设，集合.若为单元素集，则（

）A．实数既有最大值，也有最小值B．实数有最大值，无最小值C．实数无最大值，有最小值D．实数既无最大值，也无最小值7．（2022·上海市大同中学高一期中）已知函数，.若方程恰有4个互异的实数根，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．二、填空题8．（2022·上海市延安中学高一期中）设，关于的方程的解集为，若只有1个元素，则实数的取值范围是_________．9．（2022·上海·高一专题练习）若函数，则__________.10．（2022·上海中学高一期中）方程在上有实根，则实数k的取值范围是______.11．（2022·上海市文建中学高一期中）设，对任意实数x，记．若至少有3个零点，则实数的取值范围为______.三、解答题12．（2022·上海市松江二中高一期中）某公司生产的某批产品的销售量万件（生产量与销售量相等）与促销费用万元满足（其中，）.已知生产该批产品还需投入成本万元（不含促销费用），产品的销售价格定为元/件.(1)将该产品的利润万元表示为促销费用万元的函数；(2)设.当促销费用投入多少万元时，该公司的利润最大？13．（2022·上海交通大学附属中学嘉定分校高一期中）某公司经过测算，计划投资A、B两个项目．若投入A项目资金x（万元），则一年创造的利润为（万元）；若投入B项目资金x（万元），则一年创造的利润为（万元）．(1)当投入A、B两个项目的资金相同且B项目比A项目创造的利润高，求投入A项目的资金x（万元）的取值范围；(2)若该公司共有资金30万元，全部用于投资A、B两个项目，且要求投资B项目的资金不超过10万元，则该公司一年至少能创造多少利润？（结果精确到0.1万元）．14．（2021·上海·高一专题练习）如图，在直角坐标系的第一象限内，△OAB是边长为2的等边三角形，用直线l∶x=t（0<t<2）截这个三角形，记截得的靠近y轴的部分面积为S，试将S表示为t的函数.15．（2022·上海市延安中学高一期末）如图，在同一平面上，已知等腰直角三角形纸片的腰长为3，正方形纸片的边长为1，其中B､C､D三点在同一水平线上依次排列.把正方形纸片向左平移a个单位，.设两张纸片重叠部分的面积为S.(1)求关于a的函数解析式；(2)若，求a的值.16．（2022·上海闵行·高一期末）为了使读者有更好的阅读体验，某杂志采用如下排版方式：在矩形版面中设计两个相同的矩形栏目，每个栏目的面积为，在它们的上下各留有的空隙，左右各留有的空隙，中间留有的空隙，如图所示（图中单位：），设矩形栏目的左侧边长为，整个矩形版面的面积为(1)试把表示成的函数；(2)当为何值时，整个矩形版面的面积最小.（结果精确到）17．（2022·上海市建平中学高一期末）银行储蓄存款是一种风险较小的投资方式，将一定数额的本金存入银行，约定存期，到期后就可以得到相应的利息，从而获得收益，设存入银行的本金为P（元），存期为m（年），年化利率为r，则到期后的利息（元）．以下为上海某银行的存款利率：存期一年二年三年年化利率1.75%2.25%2.75%(1)洪老师将10万元在上海某银行一次性存满二年，求到期后的本息和（本金与利息的总和）；(2)杜老师准备将10万元在上海某银行存三年，有以下三种方案：方案①：一次性存满三年；方案②：先存二年，再存一年；方案③：先存一年，再续存一年，然后再续存一年；通过计算三种方案的本息和（精确到小数点后2位）判断哪一种方案更合算，并基于该实际结果给予杜老师一般性的银行储蓄存款的建议．18．（2022·上海市控江中学高一期中）学校计划将花坛改造为一个容积为8长方体无盖喷泉池，池底每1的造价为120元，池壁每1的造价为100元，(1)若池底周长为12，设矩形池底的一条边长为x，现要求池深不超过1，问池底的边长x应控制在什么范围内？(2)若深为0.5，问怎么设计喷泉池底能使总价最低，最低总价是多少？19．（2022·上海市行知中学高一期中）已知某市最低工资标准为每月2590元，为了解决该市房价过高的问题，政府计划对低收入的本市户籍居民购买第一套住房的，每月提供一定金额的贷款补贴：补贴规则：个人月收入不高于6000元的，对贷款进行补贴，补贴标准为：贷款月还款额月工资收入，贷款月还款额不得高于8000元，贷款月还款额高于8000元的，只对8000元部分进行补贴，高于8000元部分不予补贴(1)若某人工资为4000元，贷款月还款额为5000元，则他每月获得的贷款补贴是多少元？(2)对于月工资收入不高于6000元的贷款买房的居民中，若贷款月还款额均为5000元，且约定；实际月收入=月工资+月贷款补贴月还贷款，则贷款买房的居民中实际