2025年九年级中考数学复习-全等三角形模型之旋转模型

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页2025年九年级中考数学复习-全等三角形模型之旋转模型1．如图，在边长为6的等边中，点为边上任意一点，连接将线段绕点逆时针旋转，点的对应点是点，连接、．（1）如图1，求证：；（2）如图2，在旋转过程中，取、的中点、，连接和，当时，试猜想与的大小关系，写出你猜想的关系式，并证明；（3）如图2，在整个旋转过程中，的长度是否发生变化，若不变化，直接写出的值，若变化，请直接写出的取值范围．2．如图，△ABC为等边三角形，点D为线段BC上一点，将线段AD以点A为旋转中心顺时针旋转60°得到线段AE，连接BE，点D关于直线BE的对称点为F，BE与DF交于点G，连接DE，EF．（1）求证：∠BDF＝30°（2）若∠EFD＝45°，AC＝+1，求BD的长；（3）如图2，在（2）条件下，以点D为顶点作等腰直角△DMN，其中DN＝MN＝，连接FM，点O为FM的中点，当△DMN绕点D旋转时，求证：EO的最大值等于BC．3．在△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，直线MN经过点A，且CD⊥MN于D，BE⊥MN于E．(1)当直线MN绕点A旋转到图1的位置时，度；(2)求证：DE=CD+BE；(3)当直线MN绕点A旋转到图2的位置时，试问DE、CD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．4．探究题：

(1)特殊情景：如图（1），在四边形中，，以点为顶点作一个角，角的两边分别交，于点，，且，连接，若，探究：线段，，之间的数量关系为：______．（提示：延长到，使，连接）(2)类比猜想：类比特殊情景，在上述（1）条件下，把“”改成一股情况“，”如图（2），小明猜想：线段，，之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请证明结论．(3)解决问题：如图（3），在中，，，点，均在边上，且，若，计算的长度．5．已知与中，，，，连接与相交于点，与相交点．(1)猜想：如图1所示，当时，则______；(2)探究：如图2所示，当时，请求出的度数；(3)拓展延伸：如图3所示，当，，，请求出的长度．6．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点D为AB边上一动点，连接CD，并将CD绕点C逆时针旋转90°得到CE，连接BE、DE，点F为DE中点，连接BF．（1）求证：△ACD△BCE；（2）如图2所示，在点D的运动过程中，当时（n＞1），分别延长AC、BF相交于G：①当时，求CG与AB的数量关系；②当＝n时（n＞1），＝．（3）当点D运动时，在线段CD上存在一点M，使得AM+BM+CM的值最小，若CM＝2，则BE＝．7．阅读下列材料：数学课上老师出示了这样一个问题：如图，等腰的直角顶点在正方形的边上，斜边交于点，连接，求证：．某学习小组的同学经过思考，交流了自己的想法：利用现在所学的旋转知识，可将旋转到，然后通过证明全等三角形来完成证明．（1）（问题解决）请你根据他们的想法写出证明过程；（2）（学以致用）如图，若等腰的直角顶点在正方形的边的延长线上，斜边的延长线交的延长线于点，连接，猜想线段，，满足怎样的数量关系？并证明你的结论；（3）（思维拓展）等腰直角中，，为内部一点，若，则的最小值______．8．如图1，在中，，，点D，E分别在边AB，AC上，，连接BE、P、Q、M分别为DE，BC，BE的中点．(1)观察猜想：图1中，线段PM与QM的数量关系是______，位置关系是______；(2)若把图1中的绕点A顺时针旋转到图2的位置，连接PQ，BD，CE，判断的形状，并说明理由；(3)已知，，将绕点A旋转一周的过程中，请直接写出面积的最大值．9．问题情境：如图1所示，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，DEBC，在图1中将ADE绕A点顺时针旋转一定角度，得到图2，然后将BD、CE分别延长至M、N，使DM=BD，EN=CE，得到图3，请解答下列问题：(1)猜想证明：若AB=AC，请探究下列数量关系：①在图2中，BD与CE的数量关系是_________．②在图3中，猜想∠MAN与∠BAC的数量关系，并证明你的猜想；(2)拓展应用：其他条件不变，若AB=AC，按上述操作方法，得到图4，请你继续探究：∠MAN与∠BAC的数量关系？AM与AN的数量关系？直接写出你的猜想．10．在正方形中，点是边上的中点，连接，．

(1)如图1，过点作交的延长线于点，连接，求的面积；(2)如图2，点是延长线上的一点，连接，过点作，，连接．点是的中点，分别连接，，求证：；(3)如图3，点是直线上的一动点，连接，过点作，，连接．点是的中点，连接，．当的值最小时，直接写出的面积．11．如图1，在正方形中，点为边上一点，过点作且，连接，，，点，分别为，的中点，连接．

(1)证明：；(2)将图1中的绕正方形的顶点顺时针旋转．（1）中的结论是否成立？若成立，请结合图2写出证明过程；若不成立，请说明理由；12．【问题初探】和是两个都含有角的大小不同的直角三角板

（1）当两个三角板如图（1）所示的位置摆放时，D、B，C在同一直线上，连接，请证明：【类比探究】（2）当三角板保持不动时，将三角板绕点B顺时针旋转到如图（2）所示的位置，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由．【拓展延伸】如图（3），在四边形中，，连接，，，A到直线的距离为7，请求出的面积．13．（1）发现：如图1，和均为等边三角形，连结，且点A、D、E在同一直线上，连结，发现．请证明．（2）拓展：如图2，和均为等腰直角三角形，，，，且点A、D、E在同一直线上，若，，求的长度．（3）应用：如图3，P为等边三角形内一点，且，，，，，求的长．14．在锐角△ABC中，AB＝AC，D是线段BC上的一点，连接AD，将AD绕着点A顺时针旋转至AE，使得∠EAD＝2∠BAC，连接DE交AB于点F．（1）如图1，若∠BAC＝60°，∠DAC＝15°，BD＝4，求AB的长；（2）如图2，点G是线段AC的一点，连接DG，FG，若DA平分∠EDG，求证：FE＝DG+FG；（3）在（1）的条件下，将△BFD绕D点顺时针旋转∠α（0°＜α＜180°）得△B'F'D，直线B'F'交AB于点M，交AC于点N．在旋转过程中，是否存在△AMN为直角三角形？若存在，请直接写出AM的长度；若不存在，请说明理由．15．【尝试探究】如图1，已知在正方形中（四边相等，四个内角均为90°），点、分别在边、上运动，当时，探究、和的数量关系，并加以说明；【模型建立】如图2，若将直角三角形沿斜边翻折得到，且，点、分别在边、上运动，且，试猜想（2）中的结论还成立吗？请加以说明；【拓展应用】如图3，已知是边长为8的等边三角形（三边相等，三个内角均为60°），，，，以为顶点作一个60°角，使其角的两边分别交边、于点、，连接，直接写出的周长．

答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《2025年九年级中考数学复习-全等三角形模型之旋转模型》参考答案1．（1）见解析；（2）FG=FC，证明见解析；（3）变化，．【分析】（1）根据SAS证△ABE≌△ACD，即可得证CD=BE，又AB=BC，即可得证结论；（2）取AD的中点H，连接HF，HG，BF，根据三角形的中位线定理得HG=AC，FH=ED，根据SAS证△BEF≌△GHF，得出FB=FG，又FB=FC，故FG=FC；（3）先判断当E点与B点重合时FG有最大值，当E点与C点重合时FG有最小值求出FG的取值范围即可．【详解】解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=60°，AB=AC=BC，由旋转可知，AE=AD，∠EAD=60°，∴∠BAC=∠EAD，∴∠BAE+∠EAC=∠EAC+∠CAD，∴∠BAE=∠CAD，在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴BE=CD，∴BC=BE+EC=CD+EC，∴AB=EC+CD；（2）FG=FC，理由：取AD的中点H，连接HF，HG，BF，∵等边三角形ABC，AE⊥BC，点E是BC的中点，∴∠CAE=∠BAC=30°，∠FEB=90°，FB=FC，∵∠EAD=60°，AD=AE，∴∠CAD=30°，△ADE是等边三角形，∴DE=AE，∠ADE=60°，∵点H是AD的中点，点F是AE的中点，点G是CD的中点，

∴HG∥AC，HG=AC，FH∥ED，FH=ED，∴∠DHG=∠DAC=30°，∠AHF=∠ADE=60°，FH=EF，GH=BE，∴∠FHG=∠BEF=90°，在△BEF和△GHF中，，∴△BEF≌△GHF（SAS），∴FB=FG，∵AE⊥BC，点E是BC的中点，∴FB=FC，

∴FG=FC；（3）FG长度发生变化，3≤FG≤3，理由：当点E与点B重合时，则点G与点C重合，此时FG最长，如下图，∵△ABC是等边三角形，点F是AE的中点，∴AF=AB=×6=3，∴，当点E与点C重合时，此时FG最短，如下图，∵点F是AE的中点，点G是CD的中点，∴FG=AD=AC=×6=3，∴．【点睛】本题主要考查图形的旋转变换，涉及全等三角形的判定和性质，三角形的中位线，等边三角形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质及等边三角形的性质是解题的关键．2．（1）见解析；（2）2；（3）见解析【分析】（1）由△ABC是等边三角形，可得∠ABC=60°，由D、F关于直线BE对称，得到BF=BD，则∠BFD=∠BDF，由三角形外角的性质得到∠BFD+∠BDF=∠ABD，则∠BDF=∠BFD=30°；（2）设，由D、F关于直线BE对称，得到∠BGD=∠BGF=90°，EF=ED，EG=DG，由含30度角的直角三角形的性质和勾股定理得，，证明△EAB≌△DAC得到，再由，得到，由此求解即可；（3）连接OG，先求出，证明OG是三角形DMF的中位线，得到，再根据两点之间线段最短可知，则OE的最大值等于BC．【详解】解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=60°，∵D、F关于直线BE对称，∴BF=BD，∴∠BFD=∠BDF，∵∠BFD+∠BDF=∠ABD，∴∠BDF=∠BFD=30°；（2）设，∵D、F关于直线BE对称，∴∠BGD=∠BGF=90°，EF=ED，∴∠EDG=EFG=45°，∴EG=DG，∵∠BDG=30°，∴，∴，由旋转的性质可得AE=AD，∠EAD=∠BAC=60°，∴∠EAB+∠BAD=∠CAD+∠BAD，即∠EAB=∠DAC，又∵AB=AC，∴△EAB≌△DAC（SAS），∴，∵，∴，∴，∴；（3）如图所示，连接OG，∵在等腰直角三角形DMN中，，∴，∵D、F关于直线BE对称，∴G为DF的中点，又∵O为FM的中点，∴OG是三角形DMF的中位线，∴，由（2）可得，根据两点之间线段最短可知，∴OE的最大值等于BC．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，轴对称的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形性质，三角形中位线定理，两点之间线段最短等等，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称的性质和等边三角形的性质．3．(1)90°(2)见解析(3)CD=BE+DE，证明见解析【分析】（1）由∠BAC=90°可直接得到90°；（2）由CD⊥MN，BE⊥MN，得∠ADC=∠BEA=∠BAC=90°，根据等角的余角相等得到∠DCA=∠EAB，根据AAS可证△DCA≌△EAB，所以AD=CE，DC=BE，即可得到DE=EA+AD=DC+BE．（3）同（2）易证△DCA≌△EAB，得到AD=CE，DC=BE，由图可知AE=AD+DE，所以CD=BE+DE．【详解】（1）∵∠BAC=90°∴∠EAB+∠DAC=180°-∠BAC=180°-90°=90°故答案为：90°．（2）证明：∵CD⊥MN于D，BE⊥MN于E∴∠ADC=∠BEA=∠BAC=90°

∵

∠DAC+∠DCA=90°且∠DAC+∠EAB=90°∴∠DCA=∠EAB

∵在△DCA和△EAB中∴△DCA≌△EAB(AAS)∴AD=BE且EA=DC由图可知：DE=EA+AD=DC+BE．（3）∵CD⊥MN于D，BE⊥MN于E∴∠ADC=∠BEA=∠BAC=90°

∵∠DAC+∠DCA=90°且∠DAC+∠EAB=90°∴∠DCA=∠EAB

∵在△DCA和△EAB中∴△DCA≌△EAB(AAS)∴AD=BE且AE=CD由图可知：AE=AD+DE∴CD=BE+DE．【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线段所夹的角等于旋转角，也考查了三角形全等的判定与性质．4．(1)(2)成立，理由见解析(3)【分析】（1）如图，将绕点顺时针旋转，得到，根据旋转的性质可得，可证，，由此即可求解；（2）设，则，如图，将绕点顺时针旋转得到，根据旋转的性质可得，可证，，由此即可求解；（3）如图，将绕点逆时针旋转，得到，连接，可证，可得，在中，，可求出的长，由此可表示出的长，再根据线段的关系表示出，在中根据勾股定理即可求解．【详解】（1）解：结论：，理由如下：如图，将绕点顺时针旋转，得到，

四边形中，，，，∴，，，即点，，共线，由旋转可得，，，，，，，，，又，．故答案为：．（2）解：成立，理由如下：设，则，如图，将绕点顺时针旋转得到，

，，，，，，点，，在同一直线上，，，，，，又，，且，．（3）解：如图，将绕点逆时针旋转，得到，连接，

，，，，，，，，，，在中，，，，，，即，，，，，即，解得，．【点睛】本题主要考查图形变换，三角形全等的判定和性质，勾股定理的综合运用，掌握以上知识的灵活运用，利用旋转构成全等三角形的方法是解题的关键．5．(1)(2)(3)【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定；（1）先证明得到，再在和中利用三角形内角和得到，根据，得到；（2）先证明得到，再在和中利用三角形内角和得到，根据，得到；（3）由（1）得，，则，再由，可得，得到，，推出，最后根据代入求值即可．【详解】（1）解：，，，在和中，，，．在和中，，，，∵，∴，故答案为：．（2）解：在和中．在和中，．（3）解：由（1）得，，，∵，，，，，，，，．，，．6．（1）见详解；（2）①，②；（3）3+【分析】（1）利用SAS可直接证明；（2）①先证明∠DBE=90°，过点G作GH⊥AB，可得tan∠FDB=tan∠FBD，，此时，H、D重合，设AD=3x，BD=2x，则AB=5x，AC=BC=5x÷=，进而即可得到答案；②设AD=nx，BD=x，则AB=(n+1)x，AC=BC=(n+1)x÷=，类似①的方法即可求解；（3）把绕点A顺时针旋转60°，得到，可得AM+BM+CM=HG+MG+CM，当点C、M、G、H四点共线时，AM+BM+CM的值最小，此时CH垂直平分AB，即CD垂直平分AB，进而即可求解．【详解】（1）证明：∵把CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，∴CD=CE，∠DCE=∠DCB+∠ECB=90°．又∵∠ACB=90°=∠ACD+∠DCB，∴∠ACD=∠ECB，在△ACD和△BCE中，∴△ACD≌△BCE（SAS）；（2）①∵∠ACB＝90°，CA＝CB，∴∠A=∠CBA=45°，∵△ACD≌△BCE，∴∠A=∠CBE=45°，∴∠DBE=90°，∵=，过点G作GH⊥AB，∵点F为DE中点，∴DF=FB=，∴∠FDB=∠FBD，∴tan∠FDB=tan∠FBD，∴，∵∠A=45°，∴是等腰直角三角形，∴GH=AH，∴，此时，H、D重合，∴设AD=3x，BD=2x，则AB=5x，AC=BC=5x÷=，∴GH=AH=3x，AG=3x∴CG=3x-=，∴②当＝n时（n＞1），设AD=nx，BD=x，则AB=(n+1)x，AC=BC=(n+1)x÷=，同理：GH=AH=nx，AG=nx∴CG=nx-=，∴=，故答案是：；（3）如图，把绕点A顺时针旋转60°，得到，∴AM=AG，BM=HG，∠MAG=60°，∴是等边三角形，∴MA=MG，∴AM+BM+CM=HG+MG+CM，当点C、M、G、H四点共线时，AM+BM+CM的值最小，连接BH，∵把绕点A顺时针旋转60°，得到，∴AM=AG，AB=AH，∠MAG=60°，∴是等边三角形，是等边三角形，∴∠AMG=∠AGM=60°，AH=BH，∵AC=BC，∴CH垂直平分AB，即CD垂直平分AB，∴∠MAD=30°，设AD=a，则MD=，∵CM=2，AD=CD，∴+2=a，解得：a=3+，∴BE=AD=3+．故答案是：3+．【点睛】本题主要考查解直角三角形，旋转变换的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，画出图形，添加合适的辅助线是解题的关键．7．（1）证明见解析；（2），理由见解析；（3）【分析】（1）由旋转的性质可得，，，，由“”可证，可得，可得结论；（2）由旋转的性质可得，，，由“”可证，可得，可得结论；（3）由旋转的性质可得，，，，可证是等边三角形，可得，当点，点，点，点四点共线时，有最小值为的长，即可求解．【详解】（1）证明：如图，将绕点顺时针旋转到，，，，，，点，点，点三点共线，，，，，，又，，，，；（2），理由如下：如图，将绕点顺时针旋转到，，，，，，，，，又，，，，，；（3）如图，将绕点顺时针旋转，得到，连接，，过点作，交的延长线于，，，，，是等边三角形，，，∴当点，点，点，点四点共线时，有最小值为的长，，，，，，的最小值为．故答案为：．【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定及性质，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．8．(1)相等，垂直(2)是等腰直角三角形，说理过程详见解答(3)【分析】（1），；，，进一步得出结果；（2）延长交于交于，证明，从而得出，，进而得出，结合，，，，进一步得出结论；（3）是等腰直角三角形，当最大时，的面积最大，确定当、、共线时，最大，进一步求得结果．【详解】（1）解：，，，即：，点是的中点，点是的中点，，，，同理可得：，，，，，，故答案为：相等，垂直；（2）是等腰直角三角形．理由如下：如图1所示：延长交于交于，，，即：，在和中，，，，，，，，，是的中位线，，，，同理可得：，，，，同理（1）可得：，是等腰直角三角形；（3）如图2所示：由（2）知：是等腰直角三角形，且直角边，当最大时，的面积最大，，当、、共线时，最大，，．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理等知识，解决问题的关键是熟练掌握“手拉手”模型．9．(1)①BD=CE；②∠MAN=∠BAC，见解析(2)∠MAN=∠BAC，AM=AN【分析】（1）①根据题意和旋转的性质可知△AEC≌△ADB，所以BD=CE；②根据题意可知∠CAE=BAD，AB=AC，AD=AE，所以得到△BAD≌△CAE，在△ABM和△ACN中，DM=BD，EN=CE，可证△ABM≌△ACN，所以AM=AN，即∠MAN=∠BAC．（2）直接类比（1）中结果可知AM=AN，∠MAN=∠BAC．【详解】（1）①∵DE∥BC∴△BAC∽△DAE∵AB=AC，∴AD=AE∵由旋转可得：∠BAC=∠DAE，∴∠CAE=∠BAD∴△BAD≌△CAE∴BD=CE，②∠MAN=∠BAC理由：如图1，∵DE∥BC∴△BAC∽△DAE∵AB=AC，∴AD=AE∵由旋转可得：∠BAC=∠DAE，∴∠CAE=∠BAD∴△BAD≌△CAE∴BD=CE，∠ACE=∠ABD∵DM=BD，EN=CE∴BM=CN△ABM≌△ACN∴∠BAM=∠CAN∴∠BAM-∠CAM=∠CAN-∠CAM即∠MAN=∠BAC；（2）结论：∠MAN=∠BAC，AM=AN∵△ABC∽△ADE，∴∴∵∠CAE=∠DAE+∠CAD，∠BAD=∠BAC+∠CAD，∴∠CAE=∠BAD，∴△ADB∽△AEC，∴∵DM=BD，EN=CE∵∠ADM=∠ABD+∠BAD，∠AEN=∠ACE+∠CAE，∴∠ADM=∠AEN，∴△ADM∽△AEN，∴AM：AN=AD：AE=，∴∠DAM=∠EAN，∴∠NAE+∠MAE=∠NAE+∠MAE，∴∠MAN=∠DAE，∵∠DAE=∠BAC，∴∠MAN=∠BAC．AM=k•AN，∠MAN=∠BAC．【点睛】本题考查了旋转的性质，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，掌握旋转的性质是解题的关键．10．(1)(2)证明见解析(3)【分析】（1）利用证明得，从而求出，由此即可求出的面积．（2）过点作交于点，连接，利用一线三直角模型可得（），从而可得：，再证明可得为等腰直角三角形，，进而得出结论；（3）由已知可得：是等腰直角三角形，进而可得，，即当E点在AM上时，最小，再由三角形全都转换线段关系得到，由勾股定理求出即可解题．【详解】（1）解：∵；∴；∵四边形是正方形；∴，；∵点是的中点，；∴；∵；∴；∴；∴；∴；（2）证明：如解（2）图，过点作交于点，连接．

∵；∴∴；∵；∴；∴，；∵点是的中点，；∴，：∴；∴；∴，；∴；∴；∴；（3）解：∵，，∴是等腰直角三角形，，又∵点是的中点，∴，∴，∴当E点在上时，最小，如解（3）图，过点作交的延长线于点，同理（1）可得：；∴；，，∴，又∵∴，又∵，∴，∴，∴，在中，，，∴，解得：，∴【点睛】本题主要考查了正方形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，解题（3）的关键在于能够证明．11．(1)见解析(2)成立，理由解析【分析】（1）(1)如图1中，连接，延长交于点，证明，推出再证明，利用三角形中位线定理证明即可；（2）结论成立，如图2中，延长交的延长线于点，交于点，连接，延长到，使得，连接，，证明推出，，再证明，推出，可得结论．【详解】（1）证明：如图1中，连接，延长交于点．

，，，，在和中，，，，四边形是正方形，，，，，，，，，；（2）①解：成立．理由：如图2中，延长交的延长线于点，交于点，连接，延长到，使得，连接，．

，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．12．（1）见解析；（2），；（3）【分析】（1）由等腰直角三角形的性质判断出即可得出结论；（2）先证明得到，，再延长与交于点，证明即可得到；（3）过作交延长线于，可证得，可得，再由求出和的长即可．【详解】（1）∵和是两个都含有角的大小不同的直角三角板，

∴，，，∴，∴；（2），，理由如下：∵，∴，∵，，∴，∴，，延长与交于点，

∵，∴，∴，∴，∴，∴；（3）过作交延长线于，过作交于，

∵，∴，∴，∵∴，∴，∴，，∴，∵A到直线的距离为7，∴，∵，∴，∵，，∴，，∴．【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂直的判断方法，解本题的关键是判断出，是一道难度不大的中考常考题．13．（1）见解析；