2025年中考数学三轮冲刺专题：反比例函数k值问题提升练习

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页2025年中考数学三轮冲刺专题：反比例函数k值问题提升练习1．如图，在平面直角坐标系中，轴于点，反比例函数的图象经过点．(1)求的值；(2)延长OA到点，使得，过点作轴于点，交反比例函数的图象于点，连接OE，求的面积．2．矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，反比例函数的图象与边交于点D，与边交于点F，与交于点E，．根据以下条件，分别求常数k的值：(1)若点A的坐标为；(2)若四边形的面积为5．3．如图，已知，是双曲线在第一象限内的分支上的两点，连接、．（1）试说明；（2）过作轴于，当时，求的面积．4．已知反比例函数的图象过点A（3，2）．（1）试求该反比例函数的表达式；（2）M（m，n）是反比例函数图象上的一动点，其中0＜m＜3，过点M作直线MB∥x轴，交y轴于点B；过点A作直线AC∥y轴，交x轴于点C，交直线MB于点D．当四边形OADM的面积为6时，请判断线段BM与DM的大小关系，并说明理由．5．如图1，点A是x轴上的一个动点，过点A作x轴的垂线PA交双曲线于点P，连接OP.（1）当点A在x轴上的正方向上运动时，的面积是否发生变化？若不变，请求出的面积；若变化，请说明理由.（2）如图2，在x轴上点A的右侧有一点D，过点D作x轴的垂线DB交双曲线于点B，连接BO交AP于点C，设的面积为，梯形BCAD的面积为，则与的大小关系是________（选填“＞”“＝”或“＜”）（3）如图3，PO的延长线与双曲线的另一个交点是F，作FH垂直于x轴，垂足为H，连接AF，PH，试说明四边形APHF的面积为常数.6．如图，正比例函数与反比例函数的图像交于A，B两点，过点A作AC⊥x轴，垂足为C，△ACO的面积为4．（1）求反比例函数的表达式；（2）点B的坐标为；（3）当时，直接写出x的取值范围．7．如图，的直角边OB在x轴的正半轴上，反比例函数的图象经过斜边OA的中点D,与直角边AB相交于点C.①若点，求点C的坐标：②若，求k的值.8．如图，反比例函数（k＞0）与长方形OABC在第一象限相交于D，E两点，OA=2，OC=4，连结OD、OE、DE．记△OAD、△OCE的面积分别为、．当=2时，求k的值及点D、E的坐标，试判断△ODE的形状．9．如图，已知反比例函数（k≠0）的图像与一次函数y=-x+b的图像在第一象限交于A、B两点，BC⊥x轴于点C，若△OBC的面积为2，且A点的纵坐标为4，B点的纵坐标为1．（1）求反比例函数、一次函数的表达式及直线AB与x轴交点E的坐标；（2）已知点D（t，0）（t＞0），过点D作垂直于x轴的直线，在第一象限内与一次函数y=-x+b的图像相交于点P，与反比函数上的图像相交于点Q，若点P位于点Q的上方，请结合函数图像直接写出此时t的取值范围．10．如图，点在双曲线上．

（1）求双曲线的解析式；（2）若矩形的顶点在双曲线上，顶点分别在轴，轴的正半轴上，且，求点的坐标．11．如图，点A、B分别在x轴和y轴的正半轴上，以线段AB为边在第一象限作等边△ABC，，且CA∥y轴．（1）若点C在反比例函数的图象上，求该反比例函数的解析式；（2）在（1）中的反比例函数图象上是否存在点N，使四边形ABCN是菱形，若存在请求出点N坐标，若不存在，请说明理由．（3）点P在第一象限的反比例函数图象上，当四边形OAPB的面积最小时，求出P点坐标．

12．如图，反比例函数的图像经过点，点，连接，，若．

（1）求反比例函数的解析式；（2）过点作轴，交反比例函数的图像于点，连接，与交于点，求的面积．13．如图，已知为反比例函数的图像上一点，过点作轴，垂足为．若的面积为2，求的值．14．如图，一次函数y＝x+1的图象与反比例函数的图象交于点A（1，n）．（1）求反比例函数的表达式；（2）点P（m，0）在x轴上一点，点M是反比例函数图象上任意一点，过点M作MN⊥y轴，求出△MNP的面积；（3）在（2）的条件下，当点P从左往右运动时，判断△MNP的面积如何变化？并说明理由．

15．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，过点作轴的垂线，垂足为，面积为1．（1）求反比例函数的解析式．（2）求出、两点坐标，并直接写出不等式的解集．（3）在轴上找一点，并求出取最大值时点的坐标．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《2025年中考数学三轮冲刺专题：反比例函数k值问题提升练习》参考答案1．(1)(2)【分析】本题考查反比例函数与几何的综合应用，解直角三角形，正确的求出函数解析式，掌握值的几何意义，是解题的关键：（1）解直角三角形，求出的长，进而求出点坐标，待定系数法求出值即可；（2）根据中点坐标公式，求出点坐标，进而求出，值的几何意义，得到，分割法求出的面积即可．【详解】（1）解：∵轴于点，∴，∴，∴；（2）∵延长OA到点，使得，∴为的中点，∵，∴，∵，交反比例函数的图象于点，∴，，∴，∴的面积．2．(1)(2)【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质、相似三角形的判定与性质、求反比例函数的解析式，矩形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．（1）过点E作，则，则，由相似三角形的性质求出点E的坐标为，再利用待定系数法求解即可；（2）设点A的坐标为，由（1）可得点E的坐标为，求出，且点D的坐标为，点F的坐标为，结合计算即可得解．【详解】（1）解：过点E作，则，∴，∴，∵点A的坐标为，∴，∴，，即点E的坐标为，∵点E在反比例函数的图象上，∴，即有．（2）解：设点A的坐标为，由（1）可得点E的坐标为，于是，即，且点D的坐标为，点F的坐标为，因此，，依题意，，解得：．3．（1）（2）2【分析】(1)根据点的坐标表示出，,且,再根据三角形的三边关系和垂线段最短可得AD<OA<AD+OD,进而得到;(2)根据反比例函数的系数k的意义可得△BOC1的面积为,即可得到答案.【详解】（1）过点作轴于，则，，因为点在双曲线上，故，又在中，，所以；（2）的面积为；．【点睛】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特点,以及反比例函数k的几何意义,关键是掌握反比例函数图象上的点必能满足解析式.4．（1）；（2）MB=MD．【分析】(1)将A(3，2)分别代入y=，y=ax中，得a、k的值，进而可得正比例函数和反比例函数的表达式；(2)有S△OMB=S△OAC=×=3，可得矩形OBDC的面积为12；即OC×OB=12；进而可得m、n的值，故可得BM与DM的大小；比较可得其大小关系.【详解】（1）将A（3，2）代入中，得2，∴k=6，∴反比例函数的表达式为．（2）BM=DM，理由：∵S△OMB=S△OAC=×=3，∴S矩形OBDC=S四边形OADM+S△OMB+S△OAC=3+3+6=12，即OC·OB=12，∵OC=3，∴OB=4，即n=4，∴，∴MB=，MD=，∴MB=MD．【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数和正比例函数解析式，反比例函数比例系数的几何意义，矩形的性质等知识.熟练掌握待定系数法是解（1）的关键，掌握反比例函数系数的几何意义是解（2）的关键.5．（1）的面积不变，；（2）>；（3）见解析.【分析】（1）由于点A是x正半轴上的动点，点P始终在双曲线上，根据反比例函数中比例系数k的几何意义，可以得出的面积是否发生变化；（2）利用（1）中的结论，求出和的面积，由是公共部分即可得出与的大小关系；（3）由双曲线的对称性可知，四边形APHF是平行四边形，的面积为常数，可得四边形APFH的面积也是常数．【详解】（1）的面积不变．根据反比例函数中比例系数k的几何意义，得：.（2）由（1）知∴，所以.（3）由已知条件可知四边形APHF是平行四边形，则AH，PF互相平分并交于点O，由（1）知，所以.【点睛】与反比例函数的图象有关的图形面积问题主要是矩形和三角形的面积问题，以及由矩形和三角形所形成的图形的面积问题，面积的计算方法主要有直接计算、间接计算和变换计算三种，本题主要采用间接计算.解题的关键是理解与运用反比例函数的比例系数k的几何意义．在解与面积有关的几何图形时，要特别注意点的坐标与线段长度之间的转化关系及符号问题.6．解：；（2）B（-2，-4）；（3）-2<x<0或x>2.【分析】（1）根据反比例函数图象的性质，反比例函数上任意一点向x轴（或y轴）作垂线，这一点、所交点与原点之间所围成的直角三角形的面积等于，图象经过一、三象限k>0；（2）联立正比例函数与反比例函数，解出的x，y分别为交点的横、纵坐标，这里需注意解得的解集有两个，说明交点有两个，需要考虑点所在位于哪一个象限；（3）观察图像可以解决问题，谁的图像在上面，谁对应的函数值大，这里需过两个交点作x轴垂线，两条垂线与y轴将图象分成四部分，分别讨论.【详解】解：（1）∵△ACO的面积为4，C⊥x轴∴,即,∵点A是函数的点∴，∵反比例函数的图像在第一、三象限，∴k>0∴k=8,反比例函数表达式为；（2）联立，可解得或，∵B点在第三象限，∴点B坐标为（-2，-4）.（3）根据（2）易得A点坐标为（2,4），所以当-2<x<0或x>2时，【点睛】（1）考查反比例函数图象的性质问题，图中△ACO的面积正好是，图象在第一、三象限，所以k>0；（2）考查函数交点问题，两个函数的交点的横、纵坐标分别是联立它们，所形成的方程组的解集对应的x、y值；（3）可借助图象比较两个函数的大小，这里一定要注意分不同区间去考虑.7．①（4，）；②k=12【分析】①根据点D是OA的中点即可求出D点坐标，再将D的坐标代入解析式求出解析式，从而得到C的坐标；②连接OC,设A(a,b),先用代数式表示出三角形OAB,OBC,OCD的面积，再根据条件列出方程求k的值即可．【详解】解：①∵D是OA的中点，点A的坐标为（4，6），∴D（，），即（2，3）∴k=2×3=6∴解析式为∵A的坐标为（4，6），AB⊥x轴∴把x=4代入得y=∴C的坐标为（4，）②连接OC,设A(a,b),则D(,)可得k=，ab=4k∴解析式为∴B(a,0),C(a,)∴∴解得：k=12【点睛】本题考查了一次函数的性质，要正确理解参数k的几何意义，能用代数式表达三角形OCD的面积是解题的关键．8．k=2，D（1，2），E（4，），△ODE是直角三角形【分析】利用反比例函数k的几何意义，可求得k的值；然后可求得D、E的坐标，最后利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状.【详解】解：由反比例函数的性质得：S1=S2=，则S1＋S2=k，则k=2.∵S1=AO·AD=1，∴AD=1，即D（1，2）；∵S2=OC·EC=1，∴EC=，即E（4，）.△ODE是直角三角形．理由如下：∵OD2=AO2＋AD2=5，EO2=CO2＋CE2=16，DE2=DB2＋BE2=11，∴OD2＋DE2=OE2，∴∠ODE=90°，△ODE是直角三角形．【点睛】本题考查反比例函数k的几何意义和勾股定理的逆定理，解题关键是利用三角形的面积得出k的值．9．（1），，．（2）【分析】（1）利用三角形面积公式计算，从而得到，再把点坐标代入中求出得到反比例函数解析式为；接着把点坐标代入中求出得到直线的解析式，然后利用直线解析式确定点坐标；（2）先确定，然后写出在第一象限内，一次函数图象在反比例函数图象上方所对应的自变量的范围即可．【详解】解：（1）的面积为2，点的纵坐标为1．，解得，，把代入得，反比例函数解析式为；把代入得，解得，直线的解析式为；当时，，解2得，；（2）当时，，解得，，当点位于点的上方，此时的取值范围为．【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式和反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握函数图象和函数的性质是解题的关键．10．（1）；（2）【分析】（1）将点P的坐标代入双曲线解析式中解答即可；（2）过点D作DE⊥OA于点E，过点C作CF⊥OB于点F，易证得△CFB∽△BOA，得到C（b，a+b），解得a的值，即可求出点C的坐标．【详解】解：（1）∵点在双曲线上，∴k==4；（2）过点作轴于点，过点作轴于点，如图，

∵四边形是矩形，∴，∴，∵，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，同理，设，∴，∴，则，∵点在双曲线上，∴，∵点在轴、轴正半轴上，∴，∴．【点睛】此题考查了待定系数法求函数的解析式、矩形的性质与判定、全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识．此题难度较大，综合性很强，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．11．（1）y＝；（2）存在，N（2，1）；（3）P（，）．【分析】（1）如图1中，作CD⊥y轴于D．首先证明四边形OACD是矩形，利用反比例函数k的几何意义解决问题即可．（2）如图2中，作BD⊥AC于D，交反比例函数图象于N，连接CN，AN．求出的坐标，证明四边形ABCN是菱形即可．（3）如图3中，连接PB，PA，OP．设P（a，）．可得S四边形OAPB＝S△POB+S△POA＝×1×a+××＝a+＝由此即可解决问题．【详解】解：（1）如图1中，作CD⊥y轴于D．

∵CA∥y轴，CD⊥y轴，∴CD∥OA，AC∥OD，∴四边形OACD是平行四边形，∵∠AOD＝90°，∴四边形OACD是矩形，∴k＝S矩形OACD＝2S△ABC＝，∴反比例函数的解析式为y＝．（2）如图2中，作BD⊥AC于D，交反比例函数图象于N，连接CN，AN．

∵△ABC是等边三角形，面积为，设CD＝AD＝m，则BD＝m，∴×2m×m＝，∴m＝1或﹣1（舍弃），∴B（0，1），C（，2），A（，0），∴N（2，1），∴BD＝DN，∵AC⊥BN，∴CB＝CN，AB＝AN，∵AB＝BC，∴AB＝BC＝CN＝AN，∴四边形ABCN是菱形，∴N（2，1）．（3）如图3中，连接PB，PA，OP．设P（a，）．

S四边形OAPB＝S△POB+S△POA＝×1×a+××＝a+＝∴当a＝时，四边形OAPB的面积最小，解得a＝或（舍弃），此时P（，）．【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，由的几何意义求的值，菱形的判定与性质，图形面积的计算以及最值的求法，掌握以上知识是解题的关键．12．（1）；（2）【分析】（1）过点作轴，垂足为，轴，垂足为，通过可知E为OA中点，可求OE，在Rt△BEO中利用勾股定理可求BE，即可得到B点坐标，将B点代入解析式即可求得反比例函数解析式；（2）过点作轴，垂足为，轴，垂足为，可得四边形为矩形，进而得到C点横坐标，根据C点在反比例函数图像上，可求C点坐标，结合点O（0，0）可求直线OC解析式；根据A、B两点坐标可求直线AB解析式，联立OC与AB两直线解析式即可求得点D坐标，再根据即可求得面积．【详解】解：（1）过点作轴，垂足为，轴，垂足为，

∴，∴四边形为矩形，∵，∴，∵，∴，在中，∴，∴，∴，∴反比例函数的解析式为；（2）过点作轴，垂足为，轴，垂足为，

同理，四边形为矩形，∵，轴，∴点横坐标为6，∴∴，，设解析式为，∴，∴，∴，设解析式为，∵，，∴，解得：，∴，∵点为，的交点，∴，解得：，∴，∴∴，∴∴．【点睛】此题考查了反比例函数在几何中的应用，主要考查知识点有待定系数法求反比例函数解析式，待定系数法求解一次函数解析式，一次函数图像交点，三角形面积公式等，熟练掌握函数图像的性质和三角形面积公式是解决此题的关键．13．-4【分析】利用反比例函数比例系数k的几何意义得到|k|=2，然后根据反比例函数的性质确定k的值．【详解】解：∵AB⊥y轴，∴S△OAB=|k|=2，而k＜0，∴k=-4．故答案为-4．【点睛】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数y=图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三