高中数学：定比点差法的应用

高中数学：定比点差法的应用

定比点差法原理

定比分点：若石7-M而.则称点“为.43的入定比分点，若45.必）.86，4）则”」上上a

1+/1+X

若AM=xJSllZv=ANB.则称M.V调和分割4A根据定义，那么A.B也调和分割,MN.

定理:在椭圆或双曲线中，设43为桶圆或双曲线上的两点。若存在E。两点，满足.4产APB,AQ=AQB,

一定有三R-

ao

万，丽则"上公"上空

证明：若阳.»).B(x,,y),

21+x1+A

4Al①

后加则。：（爷打铃

有①一@得:

三誓出②

（X[+疝0）（』一/■”）+加一生»

।=1-万即

b'

1X[+*]-后11必+如2Ji-办hXpX。Vpy_,

f•——r2---:~:~±声士下~p-1

1+A1-x

定比点差的原理谜整解开，就是两个互相调和的定比分点坐标满足有心曲线（椭圆和双曲线有对称中心,

故称为有心曲线）的特征方程：空±上孕=1

"2b-

适用范围分析

第一求弦长被坐标轴分界的两段的比值范围，这个最好情

【例"知椭吟+».过定点心）的长线与椭圆―3E.合），求普螂期皿

刀

解：设/日.％15（毛,豆）,AP=APB则=5：一尸:但里31巫=(O.3>

PB1+41+4

4+左=1

94

.x,+AX=0+Av,=3(l+2)Kp

2笈+於=矛

94

©•屋)得：工^I'二’+,1»-2X.1«2)=1—元即l'i———(1—A)

.♦.必=；(1+4)+；(1-4)=5+钎©[-2,2]PA

?5

PB

注意：根据两个调和定比分点的联立，将坐标求出与比值的关系式。两个分点式子齐上场才能解决问题,

这是定比点差法的核心。

2,2

【例2】己知椭网。:三+工亍=1（。>6>0）的上卜.两个焦点分别为B、B，过点B与y轴垂直的直线交椭

a2b2

圆。于MN两点，△小的面枳为石，椭圆。的离心率为日

（I）求椭圆C的标准方程；

（2）己知。为坐标原点，直线£:y=Ax+m与/轴交「点尸，与椭圆。交「48两个不同的点，若存在

实数2，使得豆+乂3=43，求加的取值范围.

解：(I)x2+--=1.(n)当〃7=0时，A=—1,显然成立；当〃700时,

4

....I.A.

OA+AOB=4OPOP=-OA+-OB,・・・4P,3三点共线,「・4=3；

44

4尸=3尸8.设4（不，必），8（々，%），

、片1

x：+—=1①

.{X.+3,X,y3y4

p1+2.,工必+3y2=4m

14-31+3

9x；+=9②

4

(乂+3%)(”-3%)=

①一②得：(％+3.x,)(.^-3X)+即

24

.8

乂-3.乃=一一

m

242

如图，由于3更加靠近椭圆边界，故取其作为参照点，.-.y=—H1+——€(—2,2)DI4—E(—3,3)解

233ni

得〃7E（—2,—DU（L2）综上，7〃的取值范围为（一2,-DU（L2）U{0}.

第二求证定比分店和调和分点的坐标乘积满足椭圆和双曲线的特征方程，这个在2008年安徽高考题出

现了，并且这些年在不断重复。也是定比点差法的本质探究。

22

【例3】（2008安徽）设椭圆C:1"+==1,过点河（VL1）,左焦点为石（-、5,0）.

a2b1

（1）求椭圆。的方程.

（2）'与过点尸（4,1）的仃“线/9椭网C相交「48.在:线段上取点0满足网网=园•网.证明：点0

在某定直线匕

X2V2

解：（1）—+^-=1.

42

再+疝2i再一疝2-

⑵£=

AQ故令NP=ZP3AQ=-A.QB.故，1+41一4

PBQBH+生2一

.1+2-1—2=为

端-1

22

xy42

由于45在椭圆一十二一=1上,故4

42

42

^得.(再一疝2既+生)।伍-仪Vi+"2)_]即板+包=i即2x+”2=0

4(1-2X1+A)2(l-ZXl+2)42"

第三坐标轴为角平分线的题型，如2018年高考全国一卷

ADDF）

三角形的内角平分线定理：在△48C中，若3是4的平分线，则有丝="

ACDC

证明;作。EJ.4B交48于E,Z>F_L/C交4C于产，设3c边上的高为九

易处DE=DF,2=AB.DE=X=处=吗

SACDACDFDChACDC

22

定理：已知43交椭圆三+二=1（。>6>0）长轴（短轴）于点尸，氏,是椭

ab-

圆上关于长轴（短轴）对称的两点,直线W交长轴（短轴）『0，则

或

b2

2

【例4】（2018•全国卷I）设椭圆C:二+/=1的右焦点为尸，过F的《线/

2,

与C交A,B两点，点M的坐标为（2.0）.

（1）当I与x轴垂直时，求直线AM的方程:

（2）设。为坐标原点，证明：2OMA=NOMB.

解：（1）由已知得F（l,0）,/的方程为x=l.由已知可得

点4的坐标为（1,注）或（1,_

所以AM的方程为v=—走X+正或v=^x-VL

'22

（2）当/与工轴重合时，/。3=/。〃8=0。.当/与工轴垂直时，0M为

4s的垂直平分线，所以NOM4=NOMB.当/与无轴不重合也不垂直时，设

4（不，乂），8区，为），点、B关于x轴对称的点3'（工2,-^2）根据几何性质可

得：令ON为乙4NB的角平分线，与x轴交点为鸟，下面通过证明N

与朋■重合来证明NOM1=NOM3,根据角平分线定理有：坐二处=空,

1

F2BNBNB

令款=2而，则式广+生,o]则.丽=Tl@o工a=1,如图

\1+21-2

A"』①得：&+袄）（♦一"2）

+（乂+把）（乂一。）=1-犹

2

^L+A2y-=A2②

即1.玉+网.％一应।0JT%_]=X/N

=lnN（2.0）

21+%1—A,1-22

即N与Af重合，所以NOA4t4=NQWB.综上，Z.OMA=Z.OMB.

相交弦问题的定点定值，在2018年高考北京卷，特点是两弦的交点通常在坐标轴上，若43过定点（一般

在两调和分点的中点），则CD的斜率与AB比值为定值.

定比点差转换定理：

在椭圆或双曲线中，设为椭圆或双曲线上的两点。若存在尸，0两点，满足方=2丽，~AQ=-AQB,

x

~gzl

22（重点中的重点！！！）

若A(x1,%),5(勺.v2)一定有

xp4-x^Xp

X2=

222

XX

x,+AX2_P-Q.

XP+--------A

XPXQypyQl+AXj+AX2=xp(1+2)2

证明:+=1n<=><—y<

22X]-AX=XQ(1+2)

ab再-&2_2Xp-xQ

.1-A222~

【例5】（2018•北京文）已知椭网“：三+4=1（。＞6＞0）的离心率为逅，焦距为2亚.斜率为A■的百

a2b13

线/与椭网M有两个不同的交点4、B.

（1）求椭圆”的方程；

（2）若k=1,求|43|的最大值：

（3）设尸（-2,0）,直线E4与椭阅A/的另•个交点为C，直线尸8与椭圆”的另•个交点为D若C,D

和点。（-wq）共线,求上

解：(1)由题意得2c=2,所以c=J^,又6=£=，^,所以a=,所以/>'=a，—c-=1,

a3

X"2e

所以椭圆&f的标准方程为一+F=1.

3,

y=x+ni

（2）设直线AB的方程为,y=x+"/,由＜,消去y可得4x2+6nix+3nr-3=0,

+广=1

3

则4=36〃/一4x4(3〃/-3)=48-12/〃2>0,即"/<4,设4(玉,必)，5(x2,y2),则玉+々二一三

2

XjX,=°”[一^,8'||AB|=yjl+k1Xj-x2|=J+F•&1+.4)2_4中2=

易得当〃『=0时，|4B|3x=指，故|4B|的最大值为几.

⑴设/即必)，5(x2,.y2),C(x3,y3),D(x4,v4),

设人女尸:（曾,空利=卬）,六屈“：（安,记

=(-2-0)

&+y：=l①

冬）（再二川）+（乂+衩）（-也）=]

有(,?①~<D得：a+4—―=i.叩

等+万货=£②3(1一矛)1-A2

再一八二3{1,7值-//.43(17

一1——占=—11--

(_2)(再_*)]1-2-2nl44③，同理~44

3(1-4)Xj+AX_7三+小=27

32产x=-j--

iTrr-i4t44"

4/1+〃4

必="

同时,-4,由于CD过定点0，故

4V-当

--

一〃

11

必一了2L_1

——i=——in-A4-A4=>乂一三=一!伊_4)⑥结合⑤⑥可得”包=1，即左=1.

77114不一x?

芭4---XAd-------

3444424〃

x222

【例6】已知椭图+\=1(。>6>0)的离心率为上，半焦距为c(c>0),且o-c=l.经过椭圆的左

b23

焦点产,斜率为右(卷W0)的直线与椭圆交于4、8两点,O为坐标原点.

(1)求椭圆r的标准方程：

(2)当月=1时，求$-8的值;

(3)设&(1,0),延长4R,E及分别与椭圆交卜C、。两点，江线CD的斜率为用，求证：3■为定值.

—=—m=3x2v2

解：(1)由题意，得《43解得4・・・〃=〃2一。2=5故椭圆「的方程为一+2L=1.

1c=295

y=x+2

(2)由(I),知F(—2,0),.•.直线28的方程为y=x+2,由，/22

14x+36.x-9=0.ii