福建省部分地市2024届高中毕业班4月诊断性质量检测数学试卷及参考答案

福建省部分地市2024届高中毕业班4月诊断性质量检测数学试卷及参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1.若函数$f(x)=\sinx$的图像上存在一点$P$，使得$\cosP=\frac{3}{5}$，则$\sinP$的值为：A.$\frac{4}{5}$B.$-\frac{4}{5}$C.$\frac{3}{5}$D.$-\frac{3}{5}$2.已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，且$S_3=12$，$S_6=36$，则$a_1$的值为：A.2B.3C.4D.53.若不等式$\frac{1}{x-2}+\frac{2}{x+1}<1$的解集为$(1,2)\cup(2,+\infty)$，则实数$x$的取值范围为：A.$(1,2)\cup(2,+\infty)$B.$(-\infty,1)\cup(2,+\infty)$C.$(-\infty,1)\cup(1,2)\cup(2,+\infty)$D.$(-\infty,1)\cup(1,2]\cup[2,+\infty)$4.若函数$f(x)=x^3-3x+2$在区间$[1,2]$上存在极值，则$f(1)$与$f(2)$的大小关系为：A.$f(1)>f(2)$B.$f(1)<f(2)$C.$f(1)=f(2)$D.无法确定5.在平面直角坐标系中，若点$A(1,2)$关于直线$x+y=0$的对称点为$B$，则点$B$的坐标为：A.$(2,-1)$B.$(-2,1)$C.$(-1,2)$D.$(1,-2)$6.已知数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，且$S_n=\frac{3^n-1}{2}$，则$a_1$的值为：A.1B.2C.3D.47.若函数$f(x)=\log_2(x+1)-\log_2(x-1)$的定义域为$[1,+\infty)$，则实数$x$的取值范围为：A.$[1,+\infty)$B.$[1,2)\cup(2,+\infty)$C.$(1,2)\cup(2,+\infty)$D.$(1,2)\cup[2,+\infty)$8.若函数$f(x)=\sqrt{x^2-4}$在区间$[-2,2]$上的最大值为2，则$f(x)$在区间$[-2,2]$上的最小值为：A.-2B.0C.2D.49.在平面直角坐标系中，若点$P(1,1)$在直线$x+y=2$上，则点$P$到直线$x+y=0$的距离为：A.$\sqrt{2}$B.$2\sqrt{2}$C.$\sqrt{5}$D.$2\sqrt{5}$10.若函数$f(x)=\frac{x^2+1}{x-1}$在区间$(-\infty,1)\cup(1,+\infty)$上单调递增，则实数$x$的取值范围为：A.$(-\infty,1)\cup(1,+\infty)$B.$(-\infty,1)\cup(1,2)\cup(2,+\infty)$C.$(-\infty,1)\cup(1,2)\cup(2,+\infty)$D.$(-\infty,1)\cup[1,2)\cup(2,+\infty)$二、填空题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）11.已知函数$f(x)=\sinx$，若$\sin\alpha=\frac{1}{2}$，则$\cos\alpha$的值为__________。12.若等差数列$\{a_n\}$的公差为$d$，且$a_1=3$，$a_4=9$，则$d$的值为__________。13.已知不等式$\frac{1}{x-1}-\frac{2}{x+1}>0$的解集为__________。14.若函数$f(x)=\sqrt{x^2-2x+1}$在区间$[1,2]$上的最小值为0，则$f(x)$在区间$[1,2]$上的最大值为__________。15.在平面直角坐标系中，若点$A(2,3)$关于直线$y=x$的对称点为$B$，则点$B$的坐标为__________。16.若数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，且$S_n=3^n-1$，则$a_1$的值为__________。17.若函数$f(x)=\log_2(x+1)$的定义域为$[1,+\infty)$，则实数$x$的取值范围为__________。18.若函数$f(x)=\sqrt{x^2-4}$在区间$[-2,2]$上的最大值为2，则$f(x)$在区间$[-2,2]$上的最小值为__________。19.在平面直角坐标系中，若点$P(1,1)$在直线$x+y=2$上，则点$P$到直线$x+y=0$的距离为__________。20.若函数$f(x)=\frac{x^2+1}{x-1}$在区间$(-\infty,1)\cup(1,+\infty)$上单调递增，则实数$x$的取值范围为__________。三、解答题（本大题共2小题，共40分）21.（本题满分20分）已知函数$f(x)=\sinx-\cosx$，求函数$f(x)$的单调递增区间。22.（本题满分20分）已知数列$\{a_n\}$是等比数列，且$a_1=2$，$a_4=16$，求该数列的通项公式。四、解答题（本大题共2小题，每小题20分，共40分）23.（本题满分20分）已知函数$f(x)=x^3-6x^2+9x$，求函数$f(x)$的极值点及对应的极值。24.（本题满分20分）在平面直角坐标系中，已知点$A(1,2)$和点$B(3,4)$，求直线$AB$的方程。五、解答题（本大题共2小题，每小题20分，共40分）25.（本题满分20分）已知数列$\{a_n\}$是等差数列，且$a_1=1$，$a_4=9$，求该数列的前10项和$S_{10}$。26.（本题满分20分）在平面直角坐标系中，已知直线$l$的方程为$y=2x+1$，点$P$的坐标为$(2,3)$，求点$P$关于直线$l$的对称点$P'$的坐标。六、解答题（本大题共2小题，每小题20分，共40分）27.（本题满分20分）已知函数$f(x)=\ln(x+1)-\ln(x-1)$，求函数$f(x)$的导数$f'(x)$。28.（本题满分20分）在平面直角坐标系中，已知圆的方程为$x^2+y^2=25$，求圆心到直线$2x+y-5=0$的距离。本次试卷答案如下：一、选择题1.A.$\frac{4}{5}$解析：因为$\sin^2P+\cos^2P=1$，所以$\sinP=\sqrt{1-\cos^2P}=\sqrt{1-\left(\frac{3}{5}\right)^2}=\frac{4}{5}$。2.B.3解析：由等差数列的性质，$S_6-S_3=3d$，所以$d=\frac{S_6-S_3}{3}=\frac{36-12}{3}=8$，又因为$S_3=3a_1+3d$，所以$a_1=\frac{S_3-3d}{3}=\frac{12-3\times8}{3}=3$。3.A.$(1,2)\cup(2,+\infty)$解析：将不等式通分得$\frac{x+2}{(x-2)(x+1)}<1$，化简得$\frac{3}{(x-2)(x+1)}<0$，所以$(x-2)(x+1)>0$，解得$x>2$或$x<-1$，故解集为$(1,2)\cup(2,+\infty)$。4.A.$f(1)>f(2)$解析：求导得$f'(x)=3x^2-6x+9$，令$f'(x)=0$得$x=1$或$x=2$，因为$f''(x)=6x-6$，所以$f''(1)=0$，$f''(2)=6>0$，故$x=1$是极大值点，$x=2$是极小值点，所以$f(1)>f(2)$。5.D.$(1,-2)$解析：点$A(1,2)$关于直线$x+y=0$的对称点$B$的横坐标为$-2$，纵坐标为$1$，因为直线$x+y=0$的斜率为$-1$，所以$B$的坐标为$(1,-2)$。6.B.2解析：$S_n-S_{n-1}=a_n$，所以$a_n=3^n-1-(3^{n-1}-1)=2\times3^{n-1}$，所以$a_1=2\times3^{1-1}=2$。7.B.$[1,2)\cup(2,+\infty)$解析：由对数函数的定义域可知$x+1>0$且$x-1>0$，所以$x>-1$且$x>1$，解得$x>1$，故定义域为$[1,2)\cup(2,+\infty)$。8.B.0解析：$f(x)$在区间$[-2,2]$上的最大值为2，所以$f(2)=2$，又因为$f(x)$是偶函数，所以$f(-2)=f(2)=2$，故最小值为0。9.C.$\sqrt{5}$解析：点$P(1,1)$到直线$x+y=2$的距离为$\frac{|1+1-2|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$。10.A.$(-\infty,1)\cup(1,+\infty)$解析：因为$f(x)$在区间$(-\infty,1)\cup(1,+\infty)$上单调递增，所以$f'(x)=\frac{2x^2-2}{(x-1)^2}>0$，化简得$x^2-1>0$，解得$x>1$或$x<-1$，故$x$的取值范围为$(-\infty,1)\cup(1,+\infty)$。二、填空题11.$\frac{4}{5}$12.213.$(-\infty,1)\cup(1,2)\cup(2,+\infty)$14.215.$(2,-1)$16.217.$[1,+\infty)$18.019.$\sqrt{2}$20.$(-\infty,1)\cup(1,+\infty)$三、解答题21.解析：求导得$f'(x)=2\cosx+2\sinx$，令$f'(x)=0$得$\tanx=-1$，所以$x=\frac{3\pi}{4}+k\pi$，$k$为整数，故单调递增区间为$[\frac{3\pi}{4}+2k\pi,\frac{7\pi}{4}+2k\pi]$。22.解析：由等比数列的性质，$a_4=a_1\cdotr^3$，所以$r^3=\frac{a_4}{a_1}=\frac{16}{2}=8$，解得$r=2$，故通项公式为$a_n=a_1\cdotr^{n-1}=2\cdot2^{n-1}=2^n$。四、解答题23.解析：求导得$f'(x)=3x^2-12x+9$，令$f'(x)=0$得$x=1$或$x=3$，故极值点为$x=1$和$x=3$，分别求出对应的极值$f(1)=2$和$f(3)=0$。24.解析：直线$AB$的斜率为$\frac{4-2}{3-1}=1$，故直线$AB$的方程为$y-2=1(x-1)$，化简得$y=x+1$。五、解答题25.解析：由等差数列的性质，$S_{10}=10a_1+\frac{10\times9}{2}d$，代入$a_1=1$和$d=8$得$S_{10}=10\times1+\frac{10\times9}{2}\times8=490$。26.解析：点$P$关于直线$l$的对称点$P'$的坐标为$(x',y')$，满足$\frac{x'+2}{2}=2\times2+1$和$\frac{y'+3}{2}=2\time