广东省佛山市南海区2024-2025学年中考数学四模试卷含解析

广东省佛山市南海区2024-2025学年中考数学四模试卷含解析一、选择题1.已知二次函数y=ax^2+bx+c（a≠0）的图象开口向上，对称轴为x=-1，且经过点（0，2）。则下列选项中，正确的是：A.a>0，b<0，c=2B.a>0，b>0，c=2C.a<0，b<0，c=2D.a<0，b>0，c=22.在直角坐标系中，点A（-3，4），点B（3，0），点C（0，-3）构成一个三角形，则该三角形的面积是：A.36B.18C.9D.123.已知正数a，b，c满足a+b+c=6，则a^2+b^2+c^2的最小值是：A.18B.21C.24D.274.在平面直角坐标系中，抛物线y=ax^2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（2，-3），且与x轴交于点A（1，0）和点B（4，0），则下列方程中正确的是：A.y=ax^2+bx-3B.y=ax^2+bx+3C.y=ax^2-bx-3D.y=ax^2-bx+35.在△ABC中，∠A=90°，∠B=30°，AB=6，则BC的长度是：A.2√3B.4√3C.3√3D.2二、填空题6.若二次方程2x^2-3x+1=0的两根为x1，x2，则x1+x2的值是______。7.已知等差数列{an}的前三项分别为3，5，7，则该数列的公差是______。8.在△ABC中，∠A=45°，∠B=45°，∠C=90°，若AB=AC=1，则BC的长度是______。9.在平面直角坐标系中，点A（1，2），点B（-3，1），则线段AB的中点坐标是______。10.已知函数f(x)=x^2-4x+4，则f(2)的值是______。三、解答题11.（1）若二次函数y=ax^2+bx+c（a≠0）的图象开口向上，对称轴为x=-1，且经过点（0，2），求该函数的解析式。（2）已知正数a，b，c满足a+b+c=6，求a^2+b^2+c^2的最小值，并给出求解过程。12.（1）已知等差数列{an}的前三项分别为3，5，7，求该数列的通项公式。（2）在等差数列{bn}中，b1=2，b3=10，求该数列的公差。13.（1）在△ABC中，∠A=45°，∠B=45°，∠C=90°，若AB=AC=1，求BC的长度。（2）在平面直角坐标系中，点A（1，2），点B（-3，1），求线段AB的长度。14.（1）已知函数f(x)=x^2-4x+4，求f(x)的图像与x轴的交点坐标。（2）已知函数g(x)=ax^2+bx+c（a≠0），且g(1)=3，g(2)=7，求该函数的解析式。四、应用题要求：运用所学知识解决实际问题。15.某商品原价为x元，打八折后的价格是y元。已知打八折后的价格比原价低40元，求该商品的原价和打折后的价格。16.小明骑自行车从家到学校需要30分钟，若以每小时10公里的速度行驶，小明需要多少时间才能到达学校？17.某班级有男生m人，女生n人，男生和女生的比例是3:2，求该班级的总人数。五、解答题要求：运用所学知识解答问题。18.（1）已知正数a，b，c满足a+b+c=9，求a^3+b^3+c^3的最小值，并给出求解过程。（2）在等差数列{an}中，a1=3，公差d=2，求前10项的和S10。19.（1）在△ABC中，∠A=60°，∠B=45°，AB=5，求AC的长度。（2）已知点A（-1，2），点B（3，-1），求线段AB的中点坐标。20.（1）已知函数f(x)=x^2-4x+4，求f(x)在区间[1，3]上的最大值和最小值。（2）已知函数g(x)=ax^2+bx+c（a≠0），且g(-1)=2，g(1)=5，求该函数的解析式。六、综合题要求：综合运用所学知识解决综合问题。21.（1）某商店销售一批商品，前三天共销售了200件，第四天销售了150件，第五天销售了120件。求这五天平均每天销售商品的数量。（2）已知等差数列{an}的前三项分别为3，5，7，求该数列的前n项和Sn，其中n为任意正整数。22.（1）在平面直角坐标系中，抛物线y=ax^2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（2，-3），且与x轴交于点A（1，0）和点B（4，0），求该函数的解析式。（2）已知函数f(x)=x^2-4x+4，求f(x)的图像与直线y=2的交点坐标。23.（1）某工厂生产一批产品，每天生产的产品数量是前一天的2倍。已知前5天共生产了320件产品，求该工厂生产这批产品需要的天数。（2）已知函数g(x)=ax^2+bx+c（a≠0），且g(0)=1，g(2)=5，求该函数的解析式。本次试卷答案如下：一、选择题1.B.a>0，b>0，c=2解析：因为二次函数的图象开口向上，所以a>0。对称轴为x=-1，所以b=-2a。又因为图象经过点（0，2），所以c=2。所以答案是B。2.A.36解析：三角形ABC的面积可以用海伦公式计算，也可以直接用底乘以高除以2。因为∠A=90°，所以BC是直角边，AC是另一条直角边，所以面积是(1/2)*AC*BC=(1/2)*1*3=1.5，所以面积是36。3.C.24解析：由柯西不等式(a^2+b^2+c^2)(1^2+1^2+1^2)≥(a+b+c)^2，得到a^2+b^2+c^2≥(a+b+c)^2/3。因为a+b+c=6，所以a^2+b^2+c^2≥24。4.A.y=ax^2+bx-3解析：因为顶点坐标是（2，-3），所以对称轴是x=2，即b=-2a。又因为抛物线与x轴交于点A（1，0）和点B（4，0），所以1和4是方程ax^2+bx-3=0的根，根据韦达定理，1+4=-b/a，1*4=-3/a，解得a=1，b=-2，所以答案是A。5.B.4√3解析：因为∠A=90°，∠B=30°，所以∠C=60°。在直角三角形中，对边长度是斜边长度的一半乘以根号3，所以BC=AB/2*√3=6/2*√3=3√3，答案是4√3。二、填空题6.3/2解析：根据韦达定理，x1+x2=-b/a，对于方程2x^2-3x+1=0，a=2，b=-3，所以x1+x2=-(-3)/2=3/2。7.2解析：等差数列的公差是相邻两项的差，所以公差d=5-3=2。8.√2解析：在等腰直角三角形中，两条直角边相等，所以BC=AC=1。9.(-1,1.5)解析：线段AB的中点坐标是两个端点坐标的平均值，所以中点坐标是((-3+1)/2,(1+2)/2)=(-1,1.5)。10.0解析：将x=2代入函数f(x)=x^2-4x+4，得到f(2)=2^2-4*2+4=0。三、解答题11.（1）y=(x+1)^2-3解析：因为对称轴是x=-1，所以顶点坐标是(-1,-3)。所以函数的解析式是y=(x+1)^2-3。12.（2）a^2+b^2+c^2的最小值是36解析：因为a+b+c=6，所以(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc。根据柯西不等式，a^2+b^2+c^2≥(a+b+c)^2/3，所以a^2+b^2+c^2≥36。13.（1）等差数列的通项公式是an=a1+(n-1)d，所以an=3+(n-1)*2=2n+1。14.（2）公差d=(b3-b1)/(3-1)=8/2=4。15.（1）AB=AC=1，所以BC=√(AB^2+AC^2)=√(1^2+1^2)=√2。16.（2）线段AB的长度是√((-3-1)^2+(1-2)^2)=√(16+1)=√17。17.（1）f(x)的图像与x轴的交点坐标是x^2-4x+4=0的解，即(x-2)^2=0，所以交点坐标是(2,0)。18.（2）g(x)的解析式是g(x)=ax^2+bx+c，根据条件g(1)=3，g(2)=7，得到a+b+c=3，4a+2b+c=7，解得a=1，b=2，c=0，所以g(x)=x^2+2x。四、应用题15.商品的原价是100元，打折后的价格是80元。解析：设商品原价为x元，则打折后的价格是0.8x元，根据题意0.8x=x-40，解得x=100。16.小明需要15分钟才能到达学校。解析：以每小时10公里的速度行驶，30分钟就是0.5小时，所以行驶的距离是10*0.5=5公里，小明需要行驶5公里到达学校。17.班级总人数是5m。解析：男生和女生的比例是3:2，所以男生人数是3m，女生人数是2m，总人数是3m+2m=5m。五、解答题18.（1）a^3+b^3+c^3的最小值是216解析：因为a+b+c=9，所以(a+b+c)^3=a^3+b^3+c^3+3(a+b)(b+c)(c+a)。根据柯西不等式，a^3+b^3+c^3≥(a+b+c)^3/3，所以a^3+b^3+c^3≥216。19.（2）前10项的和S10=110解析：等差数列的前n项和公式是Sn=n/2*(a1+an)，所以S10=10/2*(3