2024-2025学年度第二学期高一期中试卷 (解析版)

第12页，共13页2024-2025学年第二学期期中考试盐田高级中学高一数学试题卷考试时间：120分钟满分：150分一、单选题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确选项的序号填在括号内，每小题5分，共40分）1．在复平面内，对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【详解】因为，所以对应的点的位于在第四象限，故D正确.故选：D2．下列结论正确的是（

）A．两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线.B．两两相交的三条直线最多可以确定三个平面.C．如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合.D．若直线a不平行于平面α，且a⊄α，则α内的所有直线与a异面.【答案】B【详解】对选项A，由基本事实3，两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过A点的公共直线，而不是任意一条过点的直线都是两平面的交线，故A项错误；对于B，若两两相交的三条直线交于一点，则三条直线最多可以确定三个平面，故B正确；对选项C，若这三个公共点共线，两平面可能相交，不一定重合，故C项错误；对选项D，若直线不平行于平面，且，则直线与平面相交，设交点为，则平面内所有过点的直线都与相交于点，而不是异面，故D项错误.故选：B.3．如图，是水平放置的的直观图，则的面积为（

）A．6 B．9 C．12 D．15【答案】C【详解】由直观图可得如下平面图形，其中，，所以.故选：C4．已知与是两个不共线的向量，，若三点共线，则实数的值为（

）A． B． C．4 D．5【答案】B【详解】因为，所以，因为三点共线，必存在一个实数，使得，所以，而不共线，所以，解得：.故选：B.5．在中，下列命题不正确的是（

）A．若，则B．若，则一定为等腰三角形C．若，则为钝角三角形D．若，，，则有两解【答案】B【详解】对于：若，则，所以，所以，故正确；对于：，则或，即或，所以为等腰三角形或直角三角形，故错误；对于：，则，所以角为钝角，所以为钝角三角形，故正确；对于：，因为，，所以角可能是锐角，也可能是钝角，故有两解，故正确.故选：.6．如图，在海面上有两个观测点，，点在的正北方向，距离为，在某天10：00观察到某商船在处，此时测得，5分钟后该船行驶至处，此时测得，，，则该船行驶的距离（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】,，在中，，，则，又因为，所以km.在中，，，则.由正弦定理，得AB=km，在中，，由余弦定理得，即.故选：A.7．已知正三棱柱的所有棱长相等，且六个顶点都在球的球面上，记正三棱柱的体积为，球的体积为，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：设正三棱柱的所有棱长均为2，由正弦定理可知底面三角形外接圆半径为：，则正三棱柱的外接球的半径为，∴球的体积为，又正三棱柱的体积为，∴.故选：A.8．如图，已知正方形的边长为4，若动点P在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】取的中点，连接，则，，两式分别平方再相减得，设中点为，连接交圆弧于点，则当与重合时，最小，最小值为2，当当与或重合时，最大，最大值为，所以.故选：B二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的部分分，有选错的得0分）9．已知为虚数单位，则以下四个说法中正确的是（

）A．复数的虚部为B．C．复数与分别对应向量与，则向量对应的复数为D．若复数z满足条件，则复数z对应点的集合是以原点为圆心，分别以和为半径的两个圆所夹的圆环，且包括圆环的边界【答案】BCD【详解】对于A：对于复数的虚部为，故A错误；对于B：，故B正确；对于C：复数与分别表示向量与，因为，所以表示向量的复数为，故C正确;对于D：对于D，设复数，若复数满足条件，则有，故复数对应点的集合是以原点为圆心，分别以2和3为半径的两个圆所夹的圆环，且包括圆环的边界，故D正确.故选：BCD.10．是边长为3的等边三角形，，则下列说法正确的是（

）A． B．C． D．在上的投影向量是【答案】BCD【详解】如图：对于A，，故A错误；对于B，，所以，故B正确；对于C，，故C正确；对于D，在上的投影向量是，故D正确.故选：BCD.11．如图，正方体的棱长为2，，分别是，的中点，点是底面内一动点，则下列结论正确的为（

）A．存在点，使得平面B．过三点的平面截正方体所得截面图形是平行四边形C．三棱锥的体积为定值D．三棱锥的外接球表面积为【答案】ACD【详解】对于A：当为中点时，因为是的中点，所以，平面，平面，所以平面，故A正确；对于B：因为，分别是，的中点，所以，在正方体中，易证，所以，过三点的平面截正方体所得截面图形是梯形，故B错误；对于C：因为，所以三棱锥的体积为定值，故C正确；对于D：三棱锥的外接球可以补形为长方体（长为，宽为，高为）的外接球，所以外接球的半径，所以外接球的表面积，故D正确，故选：ACD.三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）12．已知为虚数单位，设，若为纯虚数，则的值为.【答案】3【详解】由题意可得，解得所以.故答案为：3.13．若，，且与的夹角为锐角，则的取值范围是.【答案】【详解】设为与的夹角，则，因为为锐角，所以，解得，且，所以的取值范围是．故答案为：.14．我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》提出了一种求三角形面积的方法“三斜求积术”，即在中，角所对的边分别为，则的面积为，若，且的外接圆的半径为，则面积的最大值为.【答案】【详解】由得：，即，故，所以，而,所以，则，当且仅当时取等号，故，即面积的最大值为，故答案为：四、解答题（本大题共5个小题，共77分）15．（13分）已知复数.(1)求复数的模；(2)若，求，的值.【答案】(1)(2)，【详解】（1），.（2），又，，解得，.16．（15分）已知向量，．(1)若，求的值；(2)若，，求与的夹角的余弦值．【答案】(1)；(2).【详解】（1）由，可得，即．又，，所以，，所以，解得．（2）因为，，所以，又，所以，解得，所以.又，所以，所以与的夹角的余弦值为．17．（15分）如图，在四棱锥中，底面是边长为2为菱形，是以为斜边的等腰直角三角形，分别是的中点.(1)求证：平面；(2)设为的中点，过三点的截面与棱交于点，指出点的位置并证明.【答案】(1)证明见解析(2)为的中点，证明见解析【详解】（1）如图，取中点，连接，因为为中点，所以，且，又因为四边形为菱形，且为中点，所以，且，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以，因为平面平面，所以平面；（2）为的中点，因为且，故为平行四边形，故，平面，平面，故平面，又平面，平面平面，所以，又，所以，因为为的中点，所以点为的中点.18．（17分）已知圆锥的顶点为，母线所成角的余弦值为，轴截面等腰三角形的顶角为，若的面积为.(1)求该圆锥的侧面积；(2)求圆锥的内切球的表面积；(3)求该圆锥的内接正四棱柱(正四棱柱的一个底面在圆锥底面上)的侧面面积的最大值.【答案】(1)(2)(3)【详解】（1）设圆锥母线长、底面半径分别为、，由圆锥的轴截面为等腰三角形且顶角为，则，解得，又，所以，又因为的面积为，，解得（负值舍去），又，所以，圆锥的侧面积.（2）作出轴截面如图所示：根据圆锥的性质可知内切球球心在上，设球心为，切于点，设内切球半径为，即，则，所以，由（1）可知，圆锥的高，，则有，解得，所以圆锥的内切球的表面积；（3）由（1）知圆锥的高，令正四棱柱的底面边长为，高为，则，由得，，所以正四棱柱的侧面积，当且仅当，即时等号成立，所以该圆锥的内接正四棱柱的侧面面积的最大值为.19．（17分）如图，设中角所对的边分别为为边上的中线，已知且.（1）求b边的长度；（2）求的面积；（3）设点分别为边上的动点，线段交于G，且的面积为面积