河南省新乡市2024-2025学年高二下学期期中数学试题（解析）

第页，共页河南省2024—2025年度高二期中考试数学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册占30%，选择性必修第二册占35%，选择性必修第三册第六、七章占35%.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若直线与互相垂直，则（）A.0 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分类讨论直线斜率，再利用即可.【详解】由题意可知直线的斜率，当时，直线的斜率不存在，不满足；当时，直线的斜率，由，得，即，解得．故选：B2.已知数列的前n项和为，且，则（）A.1 B.2 C. D.【答案】D【解析】【分析】根据代入即可得解.【详解】当时，，又，则．当时，，又，所以，解得：．故选：D3.在的展开式中，的系数为（）A.250 B.500 C. D.【答案】C【解析】【分析】根据二项式展开式的通项公式即可求得答案.【详解】由二项式展开式的通项公式可得，，令，解得，所以的系数为．故选：C4.已知各项均为正数的等比数列的前4项和为30，且，则（）A.1 B.2 C.4 D.8【答案】D【解析】【分析】根据等比数列通项公式的基本量运算求出，进而得出.【详解】设等比数列的公比为q，则，又，解得，故．故选：D.5.曲线在点处的切线方程为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出导函数得出切线斜率，再应用点斜式写出直线方程.【详解】，所求切线方程为．故选：A.6.已知直线与函数，的图象分别交于点、，当取得最小值时，（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】令函数，利用导数求出函数的最小值及其对应的值，即可得出结论.【详解】由题意可得，令函数，则．由可得，由可得，所以，函数在上单调递减，在上单调递增，所以，，即的最小值为，此时．故选：A.7.记棱长为2的正方体的内切球为球是球O的一条直径，P为该正方体表面上的动点，则的最大值为（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】根据空间向量的加法运算和数量积的运算律求解.【详解】由题意可得，球O的半径为1．．当P为正方体顶点时等号成立，故选：B8.将一根长为3的铁丝截成9段，使其组成一个正三棱柱的框架（铁丝长等于正三棱柱所有棱的长度之和），则该正三棱柱的体积最大为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出正三棱柱的体积，再求出导函数，根据导函数正负得出函数单调性，进而得出最大值即可.【详解】设正三棱柱的底面边长为x，侧棱长为y，则，即．正三棱柱的体积．当时，，当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以当时，V取得最大值，最大值为．故选：C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.记为等差数列的前n项和．已知，则（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】【分析】根据等差数列，且，求得，再利用等差数列通项公式和前项和公式求解.【详解】解得：所以，A，B，D正确，，C错误．故选：ABD10.已知函数，下列结论正确的是（）A.若为奇函数，则B.的图象关于直线对称C.若，则的单调递增区间为D.当时，在上单调递增【答案】BCD【解析】【分析】A选项，求定义域，根据奇函数性质求出；B选项，计算出，B正确；C选项，，解不等式求出单调递增区间；D选项，求导，得到，其中，解不等式求出单调递增区间.【详解】A选项，定义域为，若奇函数，则，解得，A错误．B选项，，所以的图象关于直线对称，B正确．C选项，若，则．令，解得，所以的单调递增区间为，C正确．D选项，，当时，，故．令，即，解得，所以的单调递增区间为，D正确．故选：BCD11.已知表示中最小的数，表示中最大的数.若数列，都只有项，且都是由数字，，，，，，，随机排列而成的（每个数字都出现，但不重复出现），记，，则（）A.X的值可能为，，， B.的值可能为，，，C.的概率为 D.的概率为【答案】ACD【解析】【分析】先确定满足条件的的个数，再结合定义确定的可能取值，确定取各值的方法数，由此可得取各值的概率，再求的值及取各值的概率，结合概率加法和乘法公式求结论.【详解】将1，2，3，4，5，6，7，8平均分成组，有种分法.X的值可能为，，，，A正确；不妨设，若，，，中的最大值为，则，，，中的最大值为，有种情况，此时.若，，，中的最大值为，则，，，中的最大值为，有种情况，此时.若，，，中的最大值为，则，，，中的最大值为，有种情况，此时.若，，，中的最大值为，则，，，中的最大值为，有种情况，此时.，，，.，C正确；又的值可能为，，，，B错误；不妨设若，，，中的最小值为，则，，，中的最小值为，有种情况，此时.若，，，中的最小值为，则，，，中的最小值为，有种情况，此时.若，，，中的最小值为，则，，，中的最小值为，有种情况，此时.若，，，中的最小值为，则，，，中的最小值为，有种情况，此时.，，，.，D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.某林业科学院培育新品种草莓，新培育的草莓单果质量（单位：g）近似服从正态分布，现有该新品种草莓10000个，估计其中单果质量超过的草莓有___________个．附：若，则．【答案】1587【解析】【分析】根据正态分布的概率性质计算求解.【详解】由可知，故其中单果质量超过的草莓约有个．故答案为：1587.13.将6名志愿者安排到5个小区参加以“健康生活”为主题的宣传活动，每名志愿者只去1个小区，每个小区至少安排1名志愿者，则不同的安排方法共有___________种．【答案】1800【解析】【分析】先利用组合数的概念从名志愿者中选出人作为一组，再利用排列数的概念将分好的组全排列分配到个小区，最后根据分步乘法计数原理计算出不同的安排方法总数．【详解】先将2名志愿者看作一组，选法有种，再将5组志愿者分配到5个小区，分法有种，故不同的安排方法有种．故答案为：14.双曲线的左、右焦点分别为是双曲线C右支上一点，且直线的斜率为是面积为的直角三角形，则双曲线C的实半轴长为___________．【答案】##【解析】【分析】通过已知点所在象限和，利用直线斜率求出三角函数值，再借助正弦定理得到线段比例关系，结合三角形面积求出线段长度，最后根据双曲线定义求出的值．【详解】由题可知，点P在第四象限，．设．由，求得．因为，所以，求得，即．由正弦定理可得．设，得．由，得，则，，又，解得．故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知椭圆的离心率为，点在椭圆C上．（1）求椭圆C的标准方程．（2）直线与椭圆C交于M，N两点．①求m的取值范围；②若，求的值．【答案】（1）（2）①；②．【解析】【分析】（1）根据离心率和过点，代入计算得到答案；（2）将直线的方程与椭圆方程联立得，利用根的判别式求解即可；（3）由（2）结合，利用韦达定理和弦长公式即可求解.【小问1详解】因为点在椭圆C上，所以．椭圆C的离心率为，解得．故椭圆C的标准方程为．【小问2详解】联立得．①，解得，所以m的取值范围为．②因为，所以，解得．．16.为了研究某中药预防方对预防某种疾病的效果，进行实验后得到如下结果：单位：人服用情况患病情况患病不患病服用中药预防方100900不服用中药预防方400600（1）从参与该实验的人中任选1人，A表示事件“选到的人服用中药预防方”，B表示事件“选到的人不患病”．利用该调查数据，求的值．（2）以频率作为概率，若每天从参与该实验且服用了中药预防方的人中随机抽取1人，连续抽10天，每天抽取的结果相互独立，记这10天抽到的人中不患病的人数为X，求X的期望．【答案】（1）（2）9【解析】【分析】（1）概率计算，依据条件概率公式来求解；（2）二项分布期望的计算，根据二项分布的期望公式进行计算．【小问1详解】由题意可得，．．【小问2详解】从参与该实验且服用了中药预防方的人中随机抽取1人，不患病的概率为．由已知得，则．17.如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，．（1）证明：平面平面．（2）若二面角的余弦值为，求四棱锥的体积．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由线面垂直的判定定理可证平面，由此可得平面平面；（2）作，垂足为E，连接，先证平面，然后以E为坐标原点，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法表示面面角的余弦值，即可求解，再利用锥体的体积公式即可求解.【小问1详解】因为，，，平面，所以平面，因为平面，所以平面平面；【小问2详解】作，垂足为E，连接，因为，，平面，所以平面，因为平面，所以，因为平面平面，平面平面，所以平面，以E为坐标原点，所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，设，则，设平面的法向量为，则，取，设平面的法向量为，则，取，，解得（舍去），即，四棱锥的体积.18.已知函数．（1）求的极值；（2）求的单调区间；（3）若，求a的取值范围．【答案】（1）极小值为，无极大值．（2）答案见解析（3）．【解析】【分析】(1)求出导数，根据导数与极值点的关系求极值点，再求极值即可；(2)求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；(3)由题意，可得，即，构造函数，上式等价于，利用导数计算求解即可得出结果．【小问1详解】．令，解得，令，解得，所以在上单调递增，在上单调递减．在处取得极小值，极小值为，无极大值．【小问2详解】的定义域为．．若，则为常函数，无单调区间．若，则的单调递减区间为，无单调递增区间．【小问3详解】因为，所以，即．令函数，上式等价于．在上恒成立，所以在上单调递增．因为当时，，当时，，所以，即．因为，所以，所以．故a的取值范围是．19.某商家为吸引顾客，准备了两份奖品，凡是进店消费即可参与抽奖，奖品被抽完即抽奖活动终止．抽奖的规则如下：在一个不透明的盒子中有放回地取球（小球大小和质地相同），取出红球，则不获奖，取出白球，则获奖．刚开始盒子中有个白球和个红球，参与抽奖的顾客从盒子中随机抽取1个球，若不获奖，则将球放回，该顾客抽奖结束，下一名顾客继续抽奖．若获奖，则将球放回后再往盒子中加个红球，该顾客再继续抽奖．若第二次抽奖不获奖，则将球放回，该顾客只获得一份奖品，抽奖结束，下一名顾客继续抽奖；若第二次抽奖获奖，则该顾客获得两份奖品，整个抽奖活动结束．该活动深受顾客喜欢，假设这两份奖品没被抽完前始终有顾客参与抽奖．（1）求第名和第名顾客各抽中一份奖品的概率；（2）求这两份奖品都被第名顾客抽取的概率；（3）求由第名顾客终止抽奖活动的概率．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）分析可知第名顾客抽取的是红球；第名顾客第一次抽取的是白球，第二次抽取的是红球；第名顾客抽取的是白球.结合独立事件的概率公式可求得所求事件的概率；（2）利用列举法列举出这两分别奖品都被第名、第名、第名顾客抽走的概率，利用归纳可得出这两份奖品都被第名顾客抽取的概率；（3）设由第名顾客终止抽奖的概率为，可得出的值，讨论的情形，第名顾客共抽取了两份奖品，则前面名顾客都没有抽到奖品；第名顾客抽取了一份奖品，则前面名顾客中第名顾客抽到了一份奖品，计算出两种情况下所求概率，相加即可得解.【小问1详解】由题意可得第名和第名顾客各抽中一份奖品，即第名顾客抽取是红球；第名顾客第一次抽取的是白球，第二次抽取的是红球；第名顾客抽取的是白球.故第名和第名顾客各抽中一份奖品的概率为.【