黑龙江省哈尔滨市东方红中学校2024-2025学年高二下学期第二次月考考试数学试卷（解析）

东方红中学2024-2025学年下学期第二次月考考试高二数学试卷考试时间：120分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1.已知函数，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出，再求即可.【详解】因为，所以，则，故选：C.2.若，则的值可以是（）A.10 B.12 C.13 D.15【答案】A【解析】【分析】根据组合数的性质即可求解.【详解】由可得或，解得或，故选：A3.从4名女生、6名男生中，按性别采用分层抽样的方法抽取5名学生组成课外小组，则不同的抽取方法种数为（）A.1440 B.120 C.60 D.24【答案】B【解析】【分析】先根据分层抽样的特点确定抽取的男女人数，利用组合数公式可得答案.【详解】从4名女生、6名男生中，按性别采用分层抽样的方法抽取5名学生，所以抽取的女生人数为2，男生人数为3，共有抽取方法为：.故选：B4.在等比数列中，，，则数列的前5项和为（）A. B. C.和5 D.和5【答案】A【解析】【分析】从和两种情况入手分析,根据等比数列的求和公式解得,求出通项公式,即可得到,代入公式即可得出结果.【详解】解析：若，则，，故．由得，解得，故，，的前5项和．故选:A．【点睛】本题考查等比数列的求和公式,考查学生的计算能力,难度较易.5.小明在设置银行卡的数字密码时，计划将自己出生日期的后6个数字进行某种排列得到密码．如果排列时要求两个9相邻，两个0也相邻，则小明可以设置多少个不同的密码（）A.16 B.24 C.166 D.180【答案】B【解析】【分析】将两个0视为一个元素，将两个9也视为一个元素，共有4个元素进行全排列，即可得答案.【详解】将两个0视为一个元素，将两个9也视为一个元素，所以共有（种）不同的结果，故选：B．6.设，，，，，数列，则的前100项和是（）A B. C. D.0【答案】D【解析】【分析】根据题意得到是以4为周期的函数，进而即可求解．【详解】由，则，则，则，则，所以是以4为周期的函数，又，所以的前100项和为：．故选：D．7.已知函数（）在点处的切线为直线，若直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，则实数（）A. B.1 C.2 D.【答案】C【解析】【分析】求得函数在点处的切线方程，得到切线与坐标轴交点坐标，由面积求得.【详解】易知，，且，所以直线，它与两坐标轴的交点坐标分别为和，可得，又，解得.故选：C8.展开式中的常数项为（）A.3 B.-3 C.7 D.-7【答案】D【解析】【分析】求出展开式的通项公式，再分别分析与展开式相乘得到常数项的情况，最后将两部分常数项相加即可得到原式展开式中的常数项．【详解】根据二项式定理，展开式的通项公式为（其中）．

与展开式中项相乘得到常数项，令，则，解得．将代入通项公式可得，那么与相乘得到的常数项为．

与展开式中常数项相乘得到常数项，令，则，解得．将代入通项公式可得，那么与相乘得到的常数项为．

将上述两部分常数项相加，可得展开式中的常数项为．

展开式中的常数项为．故选：D．二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的0分．9.设函数的导函数为，已知函数的图象如图所示，则的图象可能是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】利用导函数的图象正负，进而得到原函数的单调性，最后得到结果即可.【详解】由题意知与轴有三个交点，当时，，当时，，当时，，当时，，则区间上单调递减，在区间上单调递增，故A，C正确；B，D错误．故选：AC．10.若，则下列结论中正确的是（）A.B.C.D.【答案】AC【解析】【分析】利用赋值法即可逐一求解.【详解】令，则，故A正确，令可得，故，故B错误，令可得，故，故C正确，令可得，，故D错误，故选：AC11.（多选）已知函数，则下列结论正确的是（）A.函数存在三个不同的零点B.函数既存在极大值又存在极小值C.若时，，则t的最小值为2D.当时，方程有且只有两个实根【答案】BD【解析】【分析】利用导数判断出函数的单调性，作出函数的草图即可判断各选项的真假．【详解】，令，解得或，当或时，，故函数在，上单调递减，当时，，故函数在上单调递增，且函数有极小值，有极大值，当趋近负无穷大时，趋近正无穷大，当趋近正无穷大时，趋近于零，故作函数草图如下，由图可知，选项BD正确，选项C错误，t的最大值为2．故选：BD．三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知等比数列的前项和为，且，，则___________.【答案】32【解析】【分析】先根据等比数列的通项公式与前项和公式求和，再求即可.【详解】首先，等比数列的公比不是1，这是因为若，则，所以.由.由.所以.故答案为：3213.已知函数，，令，若函数存在3个零点，则实数的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】当时，利用导数求出函数的单调性，进而作出图像，根据图像即可求解.【详解】由题意可知，当时，，，当时，，单调递增；当时，，单调递减；可得函数在处的极大值为：，当时，图象趋近于轴.函数的大致图象如图所示，可知函数存在3个零点时，的取值范围是.故答案为：.14.已知离散型随机变量的分布列如下表，若随机变量满足，则______．012【答案】【解析】【分析】根据分布列的性质求出，从而求出、，最后根据方差的性质计算可得.【详解】依题意，解得，所以，则，又，所以.故答案为：四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.已知函数.（1）求函数在处的切线方程；（2）求函数的单调区间和极值.【答案】（1）（2）单调增区间为，，单调减区间为；极大值为，极小值为.【解析】【分析】（1）利用导数求出切线斜率，即可写出切线方程；（2）利用列表法求出单调区间和极值.【小问1详解】函数的定义域为R.导函数.所以，，所以函数在点处的切线方程为，即.【小问2详解】令，解得：或.列表得：x13+2+单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以函数的单调增区间为，；单调减区间为；的极大值为，极小值为.16.已知展开式前三项二项式系数和为22．（1）求的值；（2）求展开式中的常数项；（3）求展开式中二项式系数最大的项．【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】1利用公式展开得前三项，二项式系数和为22，即可求出n．

2利用通项公式求解展开式中的常数项即可．

3利用通项公式求展开式中二项式系数最大的项．【详解】解：由题意，展开式前三项的二项式系数和为22．1二项式定理展开：前三项二项式系数为：，解得：或舍去．即n的值为6．2由通项公式，令，可得：．展开式中的常数项为；是偶数，展开式共有7项则第四项最大展开式中二项式系数最大项为．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，通项公式的有关计算，属于基础题．17.盒子中有3支不同的铅笔和4支不同的水笔.（1）将这些笔取出后排成一排，使得铅笔互不相邻，水笔也互不相邻，共有多少种不同的排法？（2）一次性取出3支笔，使得取出的三支笔中至少有1支铅笔，共有多少种不同的取法？（3）将这些笔分别放入另外三个不同的盒子，使得每个盒子中至少有一支铅笔和一支水笔，共有多少种不同的放法？（注：要写出算式，结果用数字表示）【答案】（1）共有种不同的排法（2）共有种不同的取法（3）共有种不同的放法【解析】【分析】（1）先将支不同的铅笔进行排序，然后将支不同的水笔插入铅笔所形成的空位中（含两端），结合插空法可求得结果；（2）对摸出的铅笔的支数进行分类讨论，结合组合知识以及分类加法计数原理可得结果；（3）先将这支水笔分为组，其中组有支，另一组有支，然后再将这三组水笔放入三个不同的盒子，最后将支铅笔放入3个盒子，利用分步乘法计数原理可得结果.【小问1详解】将支不同的水笔和支不同的铅笔排成一排，使得铅笔互不相邻，水笔也不相邻，只需先将支不同的铅笔进行排序，然后将支不同的水笔插入铅笔所形成的空位中（含两端），由分步乘法计数原理可知，不同的排法种数为种.【小问2详解】随机一次性摸出支笔，使得摸出的三支笔中至少有支铅笔，则铅笔得支数可以是或或，由分类加法计数原理可知，不同的取笔种数为种.【小问3详解】先将支水笔分为组，这三组水笔的支数分别为、、，再将这三组水笔分配给三个盒子，所以不同的放法种数为种，再将3支铅笔放入3个盒子，每个盒子1支，不同的放法种数为种，由分步乘法计数原理可得，不同的放法种数为种.18.已知为正项数列的前n项积，且.（1）证明：数列是等比数列；（2）若，求的前n项和.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据题意，由条件可得，从而可得，然后两边取对数，结合等比数列的定义，即可证明；（2）根据题意，由条件可得，结合错位相减法代入计算，即可得到结果.【小问1详解】由题意知①，当时，.当时，②.①-②得适合上式，③，则④.得，两边同时取以2为底的对数，得，则，又，∴数列是首项为，公比为的等比数列.【小问2详解】由题意及（1）知，则，所以，两式相减得，.19.某次物理考试后，学校随机抽取了100名参加本次考试的学生的成绩（单位：分），得到如图所示的频率分布直方图．（1）求直方图中a的值；（2）为进一步调查学生每天学习物理的时间，从样本采用比例分层抽样从成绩在，内的学生中抽取1