山东省临沂市2024-2025学年高二下学期期中数学试题（解析）

第页，共页山东省临沂市2024-2025学年高二下学期期中数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.如果物体的运动函数为，其中的单位是米，的单位是秒，那么物体在秒末的瞬时速度是（）A米／秒 B.米／秒 C.米／秒 D.米／秒【答案】D【解析】【分析】利用导数的概念可求出物体在秒末的瞬时速度.【详解】由导数的概念可得，因此，物体在秒末的瞬时速度是米／秒.故选：D.2.从件不同的礼物中选出件送给位同学，不同的送法种数是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用排列计数原理可得结果.【详解】从件不同的礼物中选出件送给位同学，不同的送法种数是种.故选：C.3.把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件A，“第二次出现反面”为事件B，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】用列举法列出事件，包含的基本事件，再由条件概率的概率公式计算可得；【详解】解：依题意包括基本事件为{正，正}、{正，反}，包括的基本事件为{正，反}，∴，故选：A．4.二项式展开式中，系数最大值为（）A.280 B.448 C.560 D.672【答案】C【解析】【分析】利用二项式定理写出通项，再计算其奇数项的系数.【详解】展开式通项公式为，且为整数，要想系数最大，则为偶数，是展开式中的奇数项，则第项的系数为，第项的系数为，第项的系数为，第7项的系数为，故二项式展开式中，系数最大值为.故选：C5.某校高二级学生参加期末调研考试的数学成绩服从正态分布，将考试成绩从高到低按照、、、的比例分为、、、四个等级.若小明的数学成绩为分，则属于等级（）（附：，）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】计算出、的值，结合即可得出结论.【详解】由题意可得，，则，所以，，因为，故小明属于等级.故选：B.6.随机变量的可能取值为、、，若，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设，，根据题意得出关于、的方程组，解出这两个量的值，结合方差公式可求得的值.【详解】设，，则，，解得，，故.故选：C.7.质数（primenumber）又称素数，一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，则这个数为质数.数学上把相差为2的两个素数叫做“孪生素数”，如：3和5，5和，那么，如果我们在不大于30的正整数中，随机选取两个不同的数，记事件：这两个数都是素数；事件：这两个数是孪生素数，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据条件概率的计算方法求得正确答案.【详解】不超过的自然数有个，其中素数有共个，孪生素数有和，和，和，和，共组，所以，，所以故选：B.8.对任意，不等式恒成立，则正数的最大值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】将所求不等式变形为，构造函数，利用导数分析该函数的单调性，可得出，参变分离得出，利用导数求出函数的最小值，可得出关于实数的最大值.【详解】对任意的，不等式恒成立，则，可得，，令，其中，则，所以，函数在上为增函数，由可得，则，故对任意的，，令，其中，则，由可得，由可得，所以，函数在上单调递减，在上单调递增，所以，，故，解得，即正实数的最大值为.故选：A.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.某工厂生产的个零件中，有件合格品，件不合格品，从这个零件中任意抽出件，则抽出的个零件中（）A.都是合格品的抽法种数为B.恰有件不合格品的抽法种数为C.至少有件不合格品的抽法种数为D.至多有件不合格品的抽法种数为【答案】BCD【解析】【分析】利用组合计算原理逐项判断即可.【详解】某工厂生产的个零件中，有件合格品，件不合格品，从这个零件中任意抽出件，则抽出的个零件中，对于A选项，都是合格品的抽法种数为，A错；对于B选项，恰有件不合格品的抽法种数为，B对；对于C选项，至少有件不合格品即为：件不合格品件合格品、件不合格品件合格品，抽法种数，C对；对于D选项，至多有件不合格品，其反面是件合格品，抽法种数为，D对.故选：BCD.10.已知函数及其导函数的部分图象如图所示，设函数，则（）A.在区间上是减函数 B.在区间上是增函数C.在时取极小值 D.在时取极小值【答案】AD【解析】【分析】根据图象得到的符号，即可得到的符号，进而得到的单调性和极值.【详解】结合图象可知，当时，，当时，，当时，，，因，故当时，，在区间上单调递增，当时，，在区间上单调递减，当时，，在区间上单调递增，故在时取极大值，在时取极小值.故选：AD.11.甲、乙、丙三人相互做传球训练，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，下列说法正确的是（）A.2次传球后球在丙手上的概率是B.3次传球后球在乙手上的概率是C.3次传球后球在甲手上的概率是D.n次传球后球在甲手上的概率是【答案】ACD【解析】【分析】列举出经2次、3次传球后的所有可能，再利用古典概率公式计算作答可判断ABC，n次传球后球在甲手上的事件即为，则有，利用全概率公式可得，再构造等比数列求解即可判断D.【详解】第一次甲将球传出后，2次传球后的所有结果为：甲乙甲，甲乙丙，甲丙甲，甲丙乙，共4个结果，它们等可能，2次传球后球在丙手中的事件有：甲乙丙，1个结果，所以概率是，故A正确；第一次甲将球传出后，3次传球后的所有结果为:甲乙甲乙，甲乙甲丙，甲乙丙甲，甲乙丙乙，甲丙甲乙，甲丙甲丙，甲丙乙甲，甲丙乙丙，共8个结果，它们等可能，3次传球后球在乙手中的事件有：甲乙甲乙，甲乙丙乙，甲丙甲乙，3个结果，所以概率为，故B错误；3次传球后球在甲手上的事件为：甲乙丙甲，甲丙乙甲，2个结果，所以概率为，故C正确；n次传球后球在甲手上的事件记为，则有，令，则于是得，故，则，而第一次由甲传球后，球不可能在甲手中，即，则有，数列是以为首项，为公比的等比数列，所以即，故D正确.故选：ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.设随机变量服从正态分布，若，则______.【答案】【解析】【分析】利用正态密度曲线的对称性可得出关于的等式，解之即可.【详解】因为随机变量服从正态分布，若，则，解得.故答案为：.13.已知函数，则______.【答案】【解析】【分析】求出，代值计算可得的值.【详解】因为，则，因此，.故答案为：.14.在一个抽奖游戏中，主持人从编号为1，2，3的三个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将三个箱子关闭.主持人知道奖品在哪个箱子里.游戏规则是主持人请抽奖人在三个箱子中选择一个，若奖品在此箱子里，则奖品由抽奖人获得.按照游戏规则当抽奖人选择了一个箱子后，主持人会打开了另外两个箱子中的一个空箱子，主持人只打开抽奖人选择之外的空箱子，当两个都是空箱子时，他随机选择其中一个打开.这时，主持人会给抽奖人一次重新选择的机会，抽奖人可以重新选择，也可以坚持原来的选择.甲、乙两人先后参加抽奖游戏，甲在抽奖过程中，当主持人给重新选择的机会时，甲重新选择了另一个箱子，乙在抽奖过程中，主持人给重新选择的机会时，乙坚持原来的选择.那么甲、乙两人都获得奖品的概率为______.【答案】【解析】【分析】根据相互独立事件的概率计算公式求解.【详解】首先，甲、乙获奖是相互独立的，设甲获得奖品为事件，乙获得奖品为事件，甲、乙都获得奖品为事件，则：.对甲：当甲第一次抽奖抽到无奖品的箱子（概率为）时，重新选择必定中奖，所以,对乙：乙因为没有重新选择，所以乙只有在第一次选择时，选中有奖品的箱子，才能获得奖品，所以.所以.故答案为：四、解答题：本小题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知二项展开式中，第4项的二项式系数与第3项的二项式系数的比为.（1）求的值；（2）求展开式中项的系数.【答案】（1）；（2）180.【解析】【分析】（1）结合二项式的展开式中的二项式系数可得，解组合数方程即可求出结果；（2）结合（1）的结论，以及二项式的展开式的通项公式，得，令即可求出结果.【详解】（1）由第4项的二项式系数与第3项的二项式系数的比为，可得，化简可得，求得.（2）由于二项展开式的通项公式为，令，求得，可得展开式中项的系数为.16.在甲、乙、丙三个地区爆发了流感，这三个地区分别有、、的人患了流感，假设这三个地区的人口数的比为，现从这三个地区中任意选取一个人.（1）求这个人患流感的概率；（2）如果此人患流感，求此人选自甲地区的概率.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）记事件选取的这个人患了流感，记事件此人来自甲地区，记事件此人来自乙地区，记事件此人来自丙地区，利用全概率公式可求得的值；（2）利用条件概率公式可求得的值.【小问1详解】记事件选取的这个人患了流感，记事件此人来自甲地区，记事件此人来自乙地区，记事件此人来自丙地区，则，且、、彼此互斥，由题意可得，，，，，，由全概率公式可得.【小问2详解】由条件概率公式可得.17.已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若对，恒成立，求的取值范围．【答案】（1）答案见解析（2）【解析】【分析】（1）首先求函数的导数，讨论导数零点的大小关系，从而判断函数的单调性；（2）参变分离可得对恒成立，令，，利用导数求出函数的最小值，即可得解.【小问1详解】定义域为，，当时，令，得或，令，得，函数的单调递增区间是和，单调递减区间是；当时，令，得或，令，得，函数的单调递增区间是和，单调递减区间是；当时，恒成立，函数在单调递增.综上可知，当时，函数的单调递增区间是和，单调递减区间是；当时，函数的单调递增区间是和，单调递减区间是；当时，函数的单调递增区间是，无减区间.【小问2详解】若函数，对恒成立，即对恒成立，令，则，当时，当时，所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以在处取得极小值即最小值，所以，即实数的取值范围为.18.某高中学校在一次高二数学监测后，为了解本次监测的成绩情况，在整个年级中随机抽取了200名学生的数学成绩，将成绩分为，共6组，得到如图所示的频率分布直方图，记分数不低于130分为优秀.（1）从样本中随机选取一名学生，已知这名学生的分数不低于90分，问这名学生数学成绩为优秀的概率；（2）在样本中，采取等比例分层抽样的方法从成绩在内的学生中抽取13名，再从这13名学生中随机抽取3名，记这3名学生中成绩为优秀的人数为，求的分布列与数学期望.【答案】（1）（2）分布列见解析，【解析】【分析】（1）先根据频率和为1，求出的值.再利用频率取估计概率即可.（2）先明确13名同学的构成，再利用超几何分布，写出的概率分布，并求其期望.【小问1详解】依题意，得，解得，则不低于90分的人数为，成绩在内的，即优秀的人数为；故这名学生成绩是优秀的概率为.【小问2详解】成纱在内的有人；成缆在内的有人；成绩在内的有20人；故采用等比例分层抽样抽取的13名学生中，成绩在内的有6人，在内的有5人，在内的有2人，所以由题意可知，的可能取值为0，1，2，则，，，所以的分布列为：012故.19.已知函数.（1）若时，曲线与直线相切，求实数的值；（2）若是的极值点，函数有且仅有一个零点，设和为两个不相等的正数，且满足.①求的取值范围；②求证：【答案】（1）1（2）①或；②证明见解析【解析】【分析】（1）设切点坐标为，根据导数的几何意义知即为切线的斜率，用点斜式求得切线方程，根据切线过点，列式求得，即可得的值.（2）①先根据极值点求出，再把有一个零点转化结合函数图形求出参数范围即可；②构造函