山东省日照市2024-2025学年高一下学期期中考试数学模拟试卷（解析）

第页，共页高一下学期期中综合测试（一）一､单选题1.已知，那么（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由已知条件利用诱导公式即可求解.【详解】因为，所以故选：B.2.已知向量，则与向量方向相反的单位向量是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据单位向量的定义求与向量方向相反的单位向量.【详解】由题设，与向量方向相反的单位向量是.故选：D3.已知向量，，则下列结论正确的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据向量共线定理、数量积及模长的坐标运算依次判断各项的正误.【详解】A：由题设，不存在实数，使，故不共线，错；B：由，错；C：因为，所以，即，对；D：，错.故选：C4.在梯形中，设，若，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用向量的线性运算求解.【详解】因，所以，.故选：A.5.若，且为第三象限角，则（）A.7 B. C. D.【答案】A【解析】【分析】逆用和角余弦公式可得，结合已知得，再由和角正切公式求.【详解】由，所以，又为第三象限角，所以，故，所以.故选：A6.已知函数的部分图象如图所示，下列说法不正确的是（）A.， B.函数的图象关于直线对称C.函数的图象关于对称 D.函数在上单调递增【答案】B【解析】【分析】由图象求出的解析式，再利用正弦函数性质逐一分析判断各选项即可得解.【详解】对于A，由题意，，则，则，又在上，则，即，所以，则，又，所以，所以，即，，故A正确；对于B，因为，所以不是图象的对称轴，故B错误；对于C，因为，所以的图象关于点对称，故C正确；对于D，当时，，所以在上单调递增，故D正确.故选：B.7.已知函数的最小正周期为T．若，把的图象向右平移个单位长度，得到偶函数的图象，则（）A. B.2 C. D.【答案】A【解析】【分析】根据余弦型函数的图象变换、奇偶性、周期性进行求解.【详解】由题知，把函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象．因为偶函数，所以，即．又，所以．因为的最小正周期为，所以，即，解得．所以，所以．故选：A．8.当时，曲线与的交点个数为（）A.3 B.4 C.6 D.8【答案】C【解析】【分析】分别画出与在上的函数图象，根据图象判断即可.【详解】因为函数最小正周期为，所以函数在上有1个周期的图象，因为函数的最小正周期为，所以函数在上有3个周期的图象，在平面直角坐标系中，作出两函数在上的图象，如图所示：由图可知，曲线与有6个交点.故选：C.二､多选题9.下列命题正确的有（）A.函数的对称中心是，B.在中，C.，，则在上的投影向量等于D.两个非零向量，的夹角是锐角【答案】BC【解析】【分析】根据正切函数的对称中心判断A；根据三角形的特点及正弦定理判断B；根据平面向量的数量积的坐标表示及投影向量的定义求解判断C；举特例判断D.【详解】对于A，函数的对称中心是，，故A错误；对于B，在中，，故B正确；对于C，由，，得，，所以在上的投影向量为，故C正确；对于D，当，同向时，满足，此时，的夹角为，故D错误.故选：BC.10.计算下列各式的值，结果为2的有（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】利用和角的正切公式计算求值判断A；利用二倍角的正弦公式计算可判断B；运用两角和的正切公式计算判断C；利用辅助角公式二倍角的正弦公式和诱导公式计算可判断D.【详解】对于A，，故A正确；对于B，，故B错误；对于，故C正确；对于D，，故D错误.故选：AD.11.如图所示，已知角，（）的始边为轴的非负半轴，终边与单位圆的交点分别为，，为线段的中点，点坐标为，记，则（）A.B.若，则C.点M的坐标为D.若，则【答案】BC【解析】【分析】根据三角函数定义可求的坐标，再求，根据向量坐标运算公式结合两角和差公式可得，判断A，由两边平方，结合数量积的性质及定义可求，判断B，根据中点坐标公式求点M的坐标，判断C，求，代入并化简可得，设，证明，解方程求，推出矛盾，判断D.【详解】因为角，终边与单位圆的交点分别为，，所以点的坐标为，点的坐标为，又点的坐标为，所以，，因为点坐标为，所以，所以，因为，，所以，因为，所以，故，，所以，，所以，所以与不相等，A错误，因为，所以，又，，，所以，故，所以，又，所以，所以，B正确；因为，，所以，，因为点的坐标为，点的坐标为，点为线段的中点，所以点的坐标为，所以点的坐标为，C正确；因为，又，所以，因为，所以，又，所以，若，又，所以，所以，所以，故，则，则，所以或（舍去），又，所以，所以，与矛盾，D错误，故选：BC.三､填空题12.已知扇形的周长为9cm，圆心角为，则该扇形的面积为___________.【答案】【解析】【分析】由扇形的弧长及面积公式求解可得答案.【详解】设扇形的半径为，圆心角为，弧长为，则由题意可得，解得，所以扇形的面积，故答案为：.13.在中，，点为边的中点，点在边上，则的最小值为________．【答案】##【解析】【分析】根据已知条件建立平面直角坐标系，写出相关点的坐标，利用向量的坐标表示及向量的数量积的坐标表示，结合二次函数的性质即可求解.【详解】以为坐标原点，建立如图所示平面直角坐标系，如图所示由题意可知，设，所以，所以，，由二次函数的性质知，当时，取最小值为.故答案为：.14.把函数的图象向左平移个单位长度，得到的函数是奇函数，则的值为______________，若函数在区间上存在最大值2，则实数的取值范围为_______________.【答案】①5②.【解析】【分析】应用辅助角公式得，结合图象平移及正弦型函数的奇偶性有，即可求参数，再由正弦型函数的区间最值有，即可得范围.【详解】由题设，所以为奇函数，则，所以，又，故，所以，若，则，又函数在区间上存在最大值2，则.故答案为：5，四､解答题15.已知向量，满足：，，.（1）求与的夹角的余弦值；（2）若，求实数的值.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）对展开可得，再由向量夹角的余弦值公式即可求解；（2）由向量垂直性质可得，化简后解方程即可求解实数的值.【小问1详解】由题可得，因为，，代入可得，，所以与的夹角的余弦值.【小问2详解】因为，所以，化简可得，将，，代入可得，解得或.16.已知，且.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由两边同时平方，结合平方关系可求，再结合范围确定的符号，再根据求结论，（2）由（1）可求，再求，代入可得结论.【小问1详解】因为，等式两边同时平方可得，，所以，又，所以，又，所以，，所以，即；【小问2详解】由（1），，所以，，所以，，，所以，即.17.如图，在中，M是边BC的中点，N是线段BM的中点．（1）用和分别表示和；（2）若直线交于点，交于点，交于点，，求最小值.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根据平面向量的线性运算计算即可；（2）先将用表示，再根据三点共线，可得的关系，再根据基本不等式即可得解.【小问1详解】由题意，，；【小问2详解】由，得，，因为三点共线，所以，则，当且仅当，即时取等号，所以最小值为.18.中国数学家华罗庚倡导的“0.618优选法”在各个领域应用广泛，0.618就是黄金分割比的近似值，这一数值也可以表示为.三倍角公式是把形如，等三角函数用单倍角三角函数表示的恒等式，广泛应用于数学、物理、天文等学科.（1）已知试证明此三倍角公式；（2）若角满足，求的值（已知）；（3）试用三倍角公式并结合三角函数相关知识，求出黄金分割值.【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）根据两角和余弦公式展开，再利用二倍角公式及平方关系化简可得结论；（2）由（1）得，再通过三角恒等变换化简，并结合同角关系求结论；（3）根据，结合（1）及二倍角正弦公式和同角关系化简等式，解方程求得，由此可得结论.【小问1详解】由，得证；【小问2详解】由（1）知，可得，而.【小问3详解】由，则，所以，则，所以，可得（负值舍），所以.19.已知函数.（1）若为偶函数，设.①求解析式；②若存在，使不等式成立，求实数的取值范围；（2）若函数的图象过点，设，若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围.【答案】（1）①②（2）【解析】【分析】（1）由函数为偶函数得，结合已知即可得，从而可以得到函数.再应用三角恒等变换化简并确定区间值域，由不等式能成立有，即可求范围；（2）根据已知得，将问题化为，结