沪教版初二年级上册数学详细讲义

第十六章二次根式

第一节二次根式

【知识要点】

代数式店(a20)队做二次根式。读作“根号a”，其中a叫被开方数.

«有意义的条件是a>0

3.二次根式的性质

性质一\JQ2—a(a>0)

性质二(相2=a(a20)

性质三vSb=.7b(a>0,b>0)

在化简后的二次根式里：

(1)被开方数中各因式的指数都为1；

(2)被开方数中不含分母.

被开方数同时符合上述两个条件的二次根式，叫做最笥二次根式.

几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二

次根式.

【学习目标】

1.掌握二次根式有意义的条件及性质.

2.掌握最简二次根式及同类二次根式.

【典型例题】

【例1】下列式子中哪些是二次根式？

5._____

(1);(2)产；(3)一42+3；(4)照；(5)

(6)x/i^x(x>1)：⑺Jx2+2x+3；(8)\T2a(a<0)：

⑺后；。。心

【答案】⑴、⑶、⑸、⑺、(8)吃次枯t

【分析】二次根式要求根指数为2,所以(4)就不是二次根式，同时二次根式的被开方数

必须是非负数，所以(2)、(6)显然不是，(9)中只有当X+1/0即X*—1时，

才是二次根式，(10)中只有当x=0时，才是二次根式.

［例2］当实数x取何值时，下列各式有意义？

(1).2x7;(2)J(x-2)2；(3)VT+G：

(4)：⑸’3-2X:J—!—

V-2x+1(6)\6x+4

1CL

【答案】(1)X>-；(2)X取任何实数；(3)X=0；(4)X<-5；

2

342

(5)X<-且X/-1；(6)X>--o

23

【分析】(1)由2x—120,得XN],所以当XN1时，/x—1有意义;

22

(2)无论x取什么实数，都有(x—2)220,所以当x取任何实数时，4X—2)2都有意义;

(3)由x20,且一x>0,得x=0,所以当x=0时，4"+口有意义;

(4)由左之。即x+540,得X4—5,所以当XV—5时,

-2

(5)由3—2X2O且X+1/O,得XV?且XW-1,所以当X43且XW—1时，’、一”有

22x+1

意义;

22

(6)由------20且6乂+4/0,即6x+4>0,得x>——，所以当x>—r—~时r，/------

6x+433V6X+4

有意义；

［例3］化简下列二次根式；

(1)7(-7)2；(2)，西-2亚)2；

闩~r

(3)-Jl2x3y(y<0)；(4)./——(a<0,b<0)。

xVa2b2

【答案】(1)-7；(2)272-V7;(3)-2y[3yy.

ab

【解答】(1)原式=一卜7|=-7；

(2)原式="-2应|=2\［2-y/7；

(3)由12x3y20且y<0,得x40,所以

=—yj3xy=-43xy；

(4)由a<0且b<0,得ab>0，所以

82+〃2\/^2+/?2Jd2+/>

原式二

公从―&-ab

［例4］下列根式中哪些是最简二次根式？

（1）/TB；（2）S；⑶4TT25；

（5）;（6）13x3y2；（7）,4X2+9y2

【答案】（1）、（5）、（7）是最简二次根式.

【解析】因为血二^22x3与，3x3yz它们的被开方数中各因式的指数不都是1,所以

（2）、（6）不是最简二次根式.

因为向该二《与板「，它们的被开方数含有分母，所以（3）、（4）不是最

简二次根式.

［例5］下列各式中，哪些是同类二次根式？

（1）@；（2）>/75；（3）JJ；（4）衣；（5）3原：

(6)V45；(7),2x2+8xy+8y2(x>0,y>0)；(8)J6x2y2(x>0,y<0)。

【答案】⑴一:(2)V75=5/3；(3)

VX4

(4)=(5)-V32=—s(6)^5=3/5.

o2

(7)因为x>0,y>0,所以x+2y>0,于是

=(x+2y>/2；

(8)因为x>0,y<0,所以xy<0,于是

76x2y2=>/6|xy|=-6xyo

因此（1）、（5）、（7）是同类二次根式；（3）、（6）是同类二次根式；（4）、（8）是同类二次

根式.

【基础训练】

1.\匕2=（Ja）2成立的条件是

2.当x时，式子-3+/有意义.

V5-X

JenJa2

3.当a时,----=1；当a时，--

a

4.代数式xlil中，字母x的取值范围是

X-1

2

2<x<5,则(x・2)2+{(x-5)=

6.若m<0

<a-1+b+1=0，贝ijaioo-b2oi=

8.下列各式中，是最简二次根式的是（)

D

A.v'18B.\；a2bc.v'a2-vf

x-1\x-1

成立的x取值范围为

X

A.X>0B.x>1Hx/0C.X>1D.x取任意实数

10.下列各组式子中，同类二次根式的是（).

A.J3a2b和33a2bcB.

c.J：a3b4和《1a4b3:和:b

D.

11.mm+6m?-5m2的值(

v).

4\m

12.x<y,那么化简y・x（X・y）2为).

A.0B.2yC.-2xD.2y—2x

13.化简下列各式：（此题中的字母均为正数）

(1)、9a2b3c4⑶能需…,。）

⑷行IT⑸《蠹

【能力提高】

且yW+.求：

i.化简并计算己知x,y为实数，

5x+2y-11-\；y2-2y+1的值.

2.己知sa+44a+3b与b+M2a・b+6是同类根式，求（a+b）3的值.

3.已知撷・2y+4+、k2yli2=0,求、；*2+乎的值.

4.在实数范围内分解因式

(1)4x4-1(2)X3-X2-2x+2

第二节二次根式的运算

【知识要点】

先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式分别合并.

2.二次根式的乘除法

二次根式的乘法：两个二次根式相乘，被开方数相乘，根指数不变.

二次根式的除法：两个二次根式相除，被开方数相除，根指数不变.

3.分母有理化

把分母中的根号化去，叫做分母有理化.

4.有理化因式

两个含有二次根式代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么这两个含有二次根

式的代数式互为有理化因式.

5.二次根式的混合运算

在二次根式运算中，实数运算律、运算性质以及运算性质规定都实用.

【学习目标】

1.会进行二次根式的四则混合运算.

2.会应用整式的运算法则进行二次根式的运算.

【典型例题】

【例1】计算：

(1)V32—\/Q+>J^B；(2)

)-(745-V075)；

【答案】（1）5施；（2）-<T⑶—"+」B

36

【解析】（1）原式=4>J^2/2+3/2=5V2;

⑵原式=3序5=3得+得

=（4+§/=我

⑶原式=（$/）-（得。

n

［例2］计算：

(1)(—

（2），6ab:JlObc（其中a<0）；

6,15ac

【答案】（1）-

□5c

15148

【解析】（1）原式二XX

453

3

5

（2）因为a<0,所以由根式。§而可知b<0,再由根式JiObc可知cv0

JJac

原式=

5c

【例3］把下列各式分母有理化:

1a—1

⑵

⑴范vzI-a---17°

【答案】(1)—；(2)Va-1o

6

V2J2V2

【解析】(1)原式=~产=f-=—T-

V18.V2<366

（2）原式=与£=而斤,

【例4】计算:

11a-4

(2)-----=

⑴；TH；2+yfa

3⑷2^^)

(3)—=——=；

S/3+2V6ayjb-byfa

⑴哗+2；⑵

【答案】I⑶芈箸（4）Va

⑴原式=悬一(6_2x/3)+(26+2)

【解析】

(a-4X2-47)

（2）原式=

(2+yfa)(2->fa)

3(50-2咂

（3）原式=

15&2描5小-2病

yfab(a-h)

（4）原式=

yfab{yla

【例51计算：

⑴（疮⑷叫遮M）”

(2)(>/5-V3->/2)(Vl5+V6+3)；

【答案】（1）压+4；（2）—6^2；⑶0；

【解析】⑴原式二（而二4>。（而+4）1。（压+4）

=压+4；

（2）原式二芯-6'-«（6+石+M）

=/3（-2>/6）=-6>/2：

（3）解法一：

解法二：

原'式=延+樵-

3.二次根式比较大小的常见方法

（1）平方法：

平方法比较两数a、b的大小时，

当a>0,b>0时，如果a2>be,那么a>b；

如果a2<b2,那么a<b。

当a<0,b<0时，如果a2>也，那么a<b：

如果a2<b2,那么a>b.

9

（2）作差法：

作差法比较两数a、b的大小时，如果，a—b>0那么a>b；如果a—b<0,那么

a<b

（3）作商法：

作商法比较两数a、b的大小时，

aa

当a>0,b>0时，如果「>1,则a>b；如果「<1，则a<b.

bb,

aa

当a<0,b<0时，如果」>1,则a<b；如果「<1,则a>b.

bb,

（4）倒数法（分子有理化法）

倒数法比较两数a、b的大小时，

1111

当a>0,b>0时，如果占>丁则a〈b；如果<.,则a>b.

ab

当a<0,b<0时，如果」>1a

，则a<b；如果b<1,则a>b；

ab

[例6]比较下来各式的大小:

2与3

(1)用布与遍+A；(2)

西・心与、/行・«。

【答案】(1)>；(2)<；(3)（4）<。

【解析】第（1）题可以用“平方法”比较,第（2）题可用“作差法”比较，第（3）题可

用“作商法”比较，第（4）题可用“分子有理化法”比较.

用拆项相消的技巧往往使某些求和问题运算比较简便.

【基础训练】

1.计算:反=

2.计算:京点.局'I

X

3.计算:yx2=，9展x

\7

4.计算:=,闻N、gxJ2=

5.计算:

775^(5-V3)=

6.计算:

2-、3

7.分母有理化：集一寻寸

8.计算：2V5n*r4<3x4A=

9.>/3-v2的倒数为.

x

X=-,y是X的有理化因式则y=,则xy=,

11.下列各式运算结果正确的是（）

f—）=w/16x—=—

A.23rx#=63-B.J-I6XH

25V255

C.卢•v-1257625=-25D.「i+y2=Jx2+Jy2=-Ky

12.下列各式化简结果正确的是（）

A.Jy/4（i-ija,B.-2a+1="

v4a+1

C

-加=哈.D.3\g=#

ab

12x化简结果正确的是（）

3x

,------4

A.4vabB.36x&3xabc.-V3abxD,4ab<3x

X

14.-'35x（-&/Z5）的计算结果正确的是（）

3V4

A.-90J-B,-45通C.-27V15D.45V3

V4

15.V5-x"6的倒数是（）

A.一、5+几B.76一、丫5c.75-\6I）.<5+、6

16.设JV的小数部分为b，那么（4+b）b的值是（）

A.1B.是一个有理数；C.3D,无法确定・/X

丘2月3■同q瓜上辈-

32+6V2-I

19.5+5/2）\（275-勾万）

>

20.Q/+）（—二+」「1、

U+V2V2+V3

【能力提高】

7

A0A察y+y-xy2-x"”

1.化简与计算：己知x=-=-，y~—；求—~-~—的值.

J2+1JJ+Ixi+2x-2y-y2

x=+y=-4)求心一*y+”和三+上的值.

22vx

J3L-V2-，产;J3L+VJ2，求下列各式的值.

V3+V273-72

X2-3xy+2y2

①

x-2y

二次根式单元测试题

（时间100分钟，满分150分）

一、选择题（本大题共6题，每题4分，共24分）

1.在根式丁而、32-b2、JaB、石、［v'2a2b中，最简二次根式有（）

duja

2.在下列各式的化简中，化简正确的有（）

①,匕3=a6②5x收-R=4xy'X

@6a以奇底④图+上。展

,^2cm、

*3cm那么能与它们组成直角三角形的第三条线

段的长是（)

B.>/5cm\/5cm

4.己知aVO,化简:的结果是)

2a

5.v15+2\2•\5—22的积为()

C,而

A.1B.17D.向

6.当a>0,b>0时，n是正整数，计算:V32n+lb6-、；a2n+3b4的结果是（）

A.(b-a)x'a2n+lb4B.(anb3-an4,b2)%a

C.(b：厂ab?)\S2n+1D.(<inb3+an+1b2)

二、填空题（本大题共12题,每题4分,共48分）

\6的有理化因式是,

8.当m>n时，化简：（m-n）

\m-n

△Me…八y14m2+4m+1<,m2-2m+1

9.已知-2VmV-l,化简：v2-------------2------------=

4m+22m-2

10.当a<-b<i时，化简：+a+b的结果为______

Vb+1；(b+1)2

12.计算：(a+2x,ab+b)4-(\3+\b)-(Vb-va)=

14.若菱形两对角线K分别为（2、百+3血）和（2、g-3v2）,则菱形面积=

15.已知bVO,化简：02-~—+2=-----------.

\b\a\ab

(5-2何函+必_

,7^3————'

(<3-3/2)2-(<3+3/2)2=.(4-V75)2OOI.(4+«运)2001=。

18.比较大小：566y/247—v6.

三.解答题：（本大题共七题，满分78分）

19.（本题满分为10分）

计算:匹弓弓”同

20（本题满分10分）

化简：3\应+2丫〈_丫丫一xy汹（x>0,y>0）

21（本题满分10分）

I）

已知K=r=——=,求工+一+2的值。

V3-V2X）

22.（本题满分10分）

1111

计算:1+V?+V2+石+v'3+\4v99+v'7oo

23.（本题满分12分）

1

先化简，再求值:其中。二

2+3

24.（本题满分12分）

段x、y是实数，±LX2fy2-2x+4y+5=0,求-

俨+1/3y)2

25.（本题满分14分）

.,,X2+A-6X+3x-2+J-？

求代数式-------的值。

X

X2-2XX-2-ylx2-4x

第十七章一元二次方程

第一节一元二次方程的概念

【知识要点】

只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。其实质是：

①整式方程；②只含有个木知数；③未知数的最高次数是2.其中“木知数的最高次数

是2”是指在合并同类项之后而言的.

一元二次方程的一般式ax2+bx+c=0（aH0）,其中ax2叫做二次项，a为二次项系数；

bx叫做一次项，b是一次项系数；c叫做常数项。任何一个一元二次方程都可以化成一

般形式.

二次项系数含有字母的方程是否是一元二次方程，需要对二次项系数进行讨论，要保证未

知数的最高次数2.只需要二次项系数不为0

4.对于一个一元二次方程，可以依据根的意义，判断未知数的一个值是不是这个方程的根.

5.特殊根的一元二次方程的系数和常数项的特征

依据方程的根的意义，找出如果一-元二次方程有一个根为0、1或一1的一元二次方程的系

数和常数项的特征。如一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）,当c二0时，有一根为0

【知识要点】

5.掌握一元二次方程的概念.

6•一元二次方程的一般形式，能找出方程中各项的系数.

【典型例题】

【例1】判断下列方程哪些是一元二次方程

2

(1)3X2+6=3x(2)x--=0

3x

(3)4x2-y=0(4)-X2=0

(5)x(5x-1)=x(x+3)+4x2

【分析】本题是概念判断题，要牢记符合一元二次方程应满足的条件.

【解答】(1)移项得：3X2-3x+6=0

：是一元二次方程

2

(2)x-『二0

・・•方程分母含有未知数，不是整式方程

：它不是一元二次方程

(3)4X2-y=1

,・,方程中含有两个未知数

：它不是一元二次方程

(4)-X2=0

・.•符合一元二次方程的条件

:它是一元二次方程

(5)整理得：5x2-x=X2+3x+4x2

移项、合并得：4x=0

•・,二次项系数合并后为0,未知数最高次数为1

：它不是一元二次方程。

【注意】判断一个方程是否是一元二次方程，要先对方程进行整理，然后再根据条件：

①整式方程

②只含有一个未知数

③未知数最高次数为2

只有当这三个条件全部满足时，才能判断为一元二次方程.

【例2】杷下列一元二次方程化成一般式，并写出方程中的各项与各顼的系数

(1)2X2=3x(2)(5X-1)2-3=0

(3)(4m-5)(2m+1)=m2(4)3x2-ax+b=0(a、b是已知数)

【分析】方程的二次项系数、一次项系数及常数项是在方程为一般形式的前提下而言的

所以解此题的关键是准确把方程化简为一元二次方程的一般形式.

【解答】(1)移项，得方程的一般形式：2X2—V3x=0可知，方程中的二次项是2x2,

二次项系数是出；一次项是3x,一次项系数是石；常数项是0

(2)整理，得方程的一般形式：25X2-10x・2=0可知，方程中的二次项是25x2,二

次项系数是25；一次项是・10x,一次项系数是・10；常数项是-2

(3)整理，得方程的一般形式：7m2・6m-5=0可知，方程中的二次项是7m2,二

次项系数是7；一次项是-6m,一次项系数是-6；常数项是-5。

(4)方程的•般式为：3x?-ax+b=0(a、b是已如数)可知，方程中的二次项是3x2,

二次项系数是3；一次项是-ax,一次项系数是-a；常数项是b

【点评】要认真区别方程的各项与各项的系数。特别要小心当某项的系数为负数时，指出

各项时千万不要丢负号。对于字母系数方程的整理，应先明确其未知数，再确定各

项系数.

【例3】当m为何值时，关于x的方程mx2-3x=X2-门x+1是一元二次方程？

【分析】在一元二次方程ax2+bx+c(aH0)中，a/0是一元二次方程的必要条件否则它

就不是一元二次方程.

【解答】移项、合并同类项得：(m・1)x2+(m-3)x-1=0

当m-1声0即m，1时方程为一元二次方程。

【点评】要先把方程整理为一般式，然后再确定二次项的系数的条件.

【例4］判断3,-4是不是一元二次方程2X2-x=12+x的根.

【分析】能够使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的根。所以只需把3、・4、2代

入原方程检验方程左右两边的值是否相等.

【解答】把x=3分别代入方程2X2・x=12+x的左右两边，得

坐左边的值为2x32・3=15

右边的值为12+3=15

因为方程左右两边的值相等，所以x=3是这个一元二次方程2x2-x=12+x的根.

把x二-4分别代入方程2X2-x=12+x的左右两边，得

坐左边的值为2X(-4)2-(-4)=36

右边的值为12+(-4)=8

因为方程左右两边的值不相等，所以x=-4不是这个一元二次方程2X2-X=12+x的根.

【点评】从这个一元二次方程看到，它的根的个数与一元一次方程是不同的.

【例5)在下了方程中，哪些方程有一个根为0?哪些方程有一个根为1?哪些方程有一个

根为一1?

(1)3X2-2x=0(2)5X2x=0

(3)X2+2x-3=0(4)6x2-13x+7=0

(5)X2+6x+5=0(6)3X2-2X-5=0

【分析】根据方程的根的意义，分别把0、1或一1代入原方程即可.

【解答】根据方程根的意义，可知方程(1)、(2)有一个根为0；方程(3〉、(4)有一个根

为1；方程(5)、(6)有一个根为一1.

【点评】有一个根为0、1或的一元二次方程的系数和常数的特征是：如果常数项为0,

则有一根为0；如果二次项系数与一次项系数的和等于常数项的相反数，则有一根

为1；如果二次项系数与常数项的和等于一次项系数，则有一根为-1.

［例6］方程(m—2)Xm2~5m+8+(m-3)x+5=0

(1)m取何值时，是一元二次方程？并求出此方程的解；

(2)m取何值时，方程是一元一次方程？

【分析】解此题的关键是对一元二次方程和一元一次方程电脑概念的理解，不仅要对未知数

的系数讨论，还应注意未知数的最高次..

【解答】(1)当m2-5m+8=2且m-2*0时，方程为一元二次方程.

由m2-5m+8=2

解得m=2,m=3

12

:m=3时方程为一元二次方程。

将m=3代入原方程，得X2+5=0方程无实数解.

(2)由m一2=0得m=2,且m—3W0这时方程为一元一次方程.

(m-2Ao时，m2-5m+8=1和m2-5m+8=0均无解)

【点评】此题应注意对x项的指数与系数的讨论.

【例7】已知x=1是方程用一mx+1=0的根，化简Jm2-6m++nr

【分析】可将方程的跟x=1代入方程X2—mx+1=0,求出m的值，再代入已知代数式化

简之.

【解答】将x=1代入方程X2—mx+1=0

得l2-m.1+1=0,解得m=2

【点评】方程的根就是能够使方程左右两边值相等的未知数的值，所以我们可以把它代入到

原方程中，从而求出方程中其他字母的值.

【基础训练】

1.下列方程中不一定是一元二次方程的是()

A.(a-3)X2=8(a#2+bx+c=0

C.(x+3)(x-2)=x+5D.+AX-2=0

57

2.下列方程中，常数项为零的是()

22-X-12=12；C.2(x2-l)=3(x-l)I).2(X2+1)=X+2

x(x+2)=5(x-2)化成一般式，则a、b、c的值分别是()

A.1,-3,10B.1,7,-WC.1,-5,12D.1,3,2

(m+3)x2-mx+1=0是一元二次方程，则()

A.m，一3B.mW3c.mH0D.mH-3且mW0

x的一元二次方程(m—1)x2+x+m2—1=0有一根为o,则m的值

()

A.1B.-1C.1或一1D.-

2

6.关于x的一元二次方程2x2—3x—a2+1=o的一个根为2,则a的值是()

A.1B.73C.-v3D.±v3

7.方程(x-l)(2x+l)=2亿成一般形式是，它的二次项系数是.

X的方程(m-3)xm27-X=5是一元二次方程，则m=.

X的方程(m2—16)x2+(m+4)x+2m+3=o是一元一次方程，贝I」m二.

10.写一个一元二次方程，使它的二次项系数是一3,一次项系数是2：

11.若一1是方程X2+bx-5=0的一个根，则b=.

axz+bx+c=0的一个根是一1,则a—b+c=.

(m-1)X2-h/mx-1=0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是.

14.若一元二次方程(m-2}x2+3(m2+15)x+m2-4=0的常数项是0,则m为.

15.如果x=4是一元二次方程X2—3X=32的一个根，那么常数a的值是.

16.把下列一元二次方程化成一般式，并写出方程中的各项与各项的系数

(1)(x+3)(x-2)=x+5(2)2(x2-l)=3(x-l)(3)(2x—5)2-(x+4)2=0

y=2x2-ax-a2,当x=1时，y=0,求a的值.

18.已知Jm-1X2+(Vl-m+1)x-2=o,求m「3x+2的值.

2-x-l=O,求6X3+7X2-5X+2005的值.

20.己知方程3ax2-bx-l=0和ax2+2bx-5=0,有共同的根T,求a,b的值.

第二节元二次方程的解法(1)

【知识要点】

一.一元二次方程的解法

方程左边是喊未知数的完全平方式，右边是非负数常数形式，可用开平方法求解.

一元二次方程的一边是0,另一边易于分解成两个一次因式时，就可以先考虑用因式分解

法求解.

为了能用开平方法解一般形式的一元二次方程ax2+be+c=0(a0),必须将方程形为

(x+m)2=n的形式。配方法的步骤是：①把二次项系数化为1；②移项，方程的一边为二

次项和一次项，另一边为常数项；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④将原方程

变形为(x+m)2=n的形式.

二.一元二次方程解法的运用及其思想方法

配方法对所有的一元二次方程都适用，开平方法和因式法只对具备相应特征的方程才适用.

我们在解--元二次方程时一定要根据具体问题选择恰当的方法，从而使解题过程准确、简捷.

一般情况下：

(1)形如ax2+c=0(ac<0)的一元二次方程用开平方法或因式分解法(平方差公式)解;

(2)形如ax?+bx=0(abH0)的一元二次方程用因式分解法(提取公因式法)来解；

(3)形如ax2+bx+c=0(abc，0)的一元二次方程用因式分解法(十字相乘法)来解.

【学习目标】

第十七章学会直接开平方法，因式分解法解一元二次方程.

第十八章掌握配方法解方程及配方法的技巧.

【典型例题】

【例1】用开平方法解下列方程

(1)4x2-256=0⑵\5(x-1)2=\i27

(3)(1-2X)2=9(4)(2y+1)2=(3-y)2

【分析】用开平方法解方程，要先将方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数

常数的形式，再艰据平方的定义求解。另外，“整体”思想在解方程时还是十分有

用的.

【解答】(1)移项得：4x2=256

将方程各项都除以4得：X2=64:x=±\/64

所以，原方程的根是x=8,x=—8

12

(2)将方程两边同时除以47导：(X—1)2二而

即(X-1)2=4：X-1=±^3

所以原方程的根是X=1+=1一囱。

12

(3)利用开平方法，得1—2x=3或1—2x=—3解得x=—1或x=2

所以，原方程的根是x=-1,x=2

12

(4)利用开平方法，得2y+1=3—y或2y+11=-(3—y)

2

解得y=不或y=-4

2

所以原方程的根是：y=-,y=—4

132

【点评】对于第(2)题无理数系数的一元二次方程解法同有理数一样，只不过注意二次根

式的简化，而第(3)、(4)是利用“整体”思想解方程.

【例2］用因式分解解下列方程

(1)(x+3)(x-1)=12(2)2x(1-3x)=5(3x-1)

(3)(2x+1)2-3(X+1)2=0

【分析】因式分解法的依据是如果两个两个因式的积等于零，那么这两个因式中至少有一

个等于零；反之也同样成立，由此可得方程的根。所以可以把方程等号一边化为零，

另一边分解成两个一次因式的积的形式而求出方程的解.

【解答】(1)原方程可变形为X2+2x—15

把方程左边分解因式，方程可化为(x+5)(x—3)=0得x+5=0或x—3=0

解得x=-5,x=3

12

所以原方程的解为X=-5,x=3。

12

(2)原方程可变形为2x(1—3x)—5(3x—1)=0

把方程左边分解因式，方程可化为(2x+5)(1—3x)=0得2x+5=0或1—3x=0

解得工=_1或x

51

所以原方程的根是x=--,x=-

1223

(3)原方程可变形为(2x+1)2—[石(x+1)]2=0

把方程左边分解因式，方程可化为[(2x+1)+(3x+3)][(2x+1)—(3x+峋=0

得(2+«x+1+6=0或(2—5+1—5=0

解得x=1一6或x=1+^3

所以原方程的根是X=1-^X=

12

【点评】在用因式分解法解一元二次方程时，一定要注意把方程整理为一股式，如果左边的

代数式能够分解为两个一次因式的乘积，而右边为零时，则可令每一个一次因式都

为零得到两个一元一次方程，解出这两个一元一次方程的解就是原方程的两个解

了.

【例3】用配方法解方程

(1)X2+8x-9=0(2)3x2+8x-3=0

【分析】对于二次项系数是1的方程，在方程两边同时加上一次项系数的一半的平凡即可完

成配方。对于二次项系数部不为1,则先将方程各项同时除以二次项系数后，再配方.

【解答】(1)移项，得X2+8X=9

两边同时加上一次项系数的一半的平方，得X2+8x+42=9+42

即(x+4)2=25

开平方，得x+4二±5即x+4=5或x+4=—5

所以原方程的根为x=1,x=—9

12

88

(2)两边同时除以3,得X2+-x—1=0移项，得xz+-X=1

33

方程；两边都加上一次项系数的一半的平方，得

45

即工+彳=±彳

所以，原方程的解为x=-,x=一3。

132

【点评】“方程两边同时加上一次项系数绝对值一半的平方”这一步，是配方法的关键。“将

二次项系数化为1”是进行这一关键步骤的重要前提.

【例5】用适当的方法解下列方程

(1)2x2-5=0(2)5x2+2=2(1-x)-x(x--)

2

(3)3x2-7x+4=0(用配方法)(4)(x-2)(4x+1)=(x-1)(x-2)

【分析】此题是解一7匕二次方程的四种方法的综合运用，在解题时，一定要根据具体问题选

择恰当方法，从而使解题过程准确、简捷.

【解答】(1)移项，得2K2=5

方程两边都除以2,得X2=}

7

解这个方程,

回

即K=±2!_

所以,原方程的根是X

1

(2)展开，整理，得4X2+X=0

方程可变形为x(4x+1)=0x=0或4x+1=0

所以，原方程的根是x=0,x=--

124

(3)移项，得3X2-7X=4

74

方程两边同时除以3,得X2—Q工=-Q

方程两边都加上一次项系数的一半的平方，得

7I

解这个方程得：A--=±-

66

…'4

所以，原方程的根是x=—,x=1

132

(4)移项，^(x-2)(4x+1)-(x-1)(x-2)=0

提取公因式，得(x—2)[(4x+1)—(x—1)]=0

整理,得(x-2)(3x+3)=0

x-2=O^J3x+2=0

所以，原方程的根是x=2,x=一三

123

【点评】当一元二次方程本身特性不明显时，需要先将方程化为一般形式

ax2+bx+c=0(a0),若b=0,a、c异号时，可用开平方法求解，如题(1)。若

a/o,b/0,c=0时，可用因式法求解，如题(2)o式法求解，配方法做为一种重要的数学

方法，也应掌握，如题(3).而有一些一元二次方程有较明显的特征时，不一定都要化成一

般式，如题(4)。方程(x-2)(4x+1)=(x・1)(x-2)不必展开整理成一般式，因为方程两

边都有(x-2),移项后提取公因式，得仇-2)[(4*+1)-仅-1)]=0,用因式分解法求解，

2

得x=2,x=对于这样的方程，一定注意不能把方程两边同时除以(x・2),这回丢

123

掉一个根x=2。也就是方程两边不能同时除以含有未知数的整式.

【基础训练】

2X-X2=0的根是，方程(x-5)2-36=0