数学（三）-2025年中考数学考前冲刺攻略（原卷版）

第三辑几何图形的初步认识…………01三角形…………………………11四边形…………………………23圆………………35尺规作图………………………520101几何图形的初步认识考点考情分析几何体的展开图考查的题型多样化，在选择题、填空题和解答题均会出现。题目会越来越多地以实际生活中的物体为背景。直线﹑射线和线段考查的题型多样化，在选择题、填空题和解答题均会出现。在选择题常考查对直线、射线、线段概念的理解；填空题中可能会涉及根据线段的长度关系求某条线段的长度；在解答题中，通常会与三角形、四边形等其他几何图形结合。相交线与平行线考查的题型多样化，在选择题、填空题和解答题均会出现。选择题常考查对基本概念的理解和简单应用；填空题可能涉及根据相交线所成角的关系求角度，或者利用平行线的性质求线段长度、角度等。

解答题一般不会单独作为大题考查，通常会与三角形、四边形等其他几何图形结合，在证明或计算过程中运用到相交线与平行线的相关性质和判定定理。角考查的题型多样化，在选择题、填空题和解答题均会出现。角的知识会越来越多地与其他几何知识(如三角形、四边形、圆、相似形等)以及代类知识(如函数、方程等)综合考查，形成综合性较强的题目，考查学生的综合运用能力考查分值：分值在3-9分之间，具体分值因地区和试卷结构而异。考查形式：选择题、填空和解答题均有。命题趋势：几何初步知识是中考数学的基础考点，年年都会考查，预计2025年及今后各地中考仍会出现。知识点1：几何体的展开图几何图形的概念:我们把实物中抽象出来的各种图形叫做几何图形,几何图形分为平面图形和立体图形.立体图形的概念：有些几何图形的各个部分不都在同一平面内，这个图形叫做立体图形.平面图形的概念：有些几何图形的各个部分在同一平面内的图形，这个图形叫做平面图形.正方体展开图（共计11种）：口诀：1）“一四一”、“一三二”，“一”在同层可任意,2）“三个二”成阶梯,3）“二个三”“日”相连,异层必有“日”，“凹”“田”不能有，掌握此规律，运用定自如.几何图形的组成：1）点：线和线相交的地方是点，它是几何图形最基本的图形.2）线：面和面相交的地方是线，分为直线和曲线.3）面：包围着体的是面，分为平面和曲面.4）体：几何体也简称体.组成几何图形元素的关系：点动成线，线动成面，面动成体.知识点2：直线﹑射线和线段重点：1.经过两点有一条直线，并且仅有一条直线，即两点确定一条直线2.两点之间的线段中，线段最短，简称两点间线段最短知识点3：平行线

平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，平行用符号“∥”表示.平行公理（唯一性）：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.平行公理的推论（传递性）：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.平行线的性质：性质1：两直线平行，同位角相等；性质2：两直线平行，内错角相等；性质3：两直线平行，同旁内角互补..平行线的判定判定方法1：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.简称：同位角相等，两直线平行.判定方法2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.简称：内错角相等，两直线平行.判定方法3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.简称：同旁内角互补，两直线平行.判定方法4：垂直于同一直线的两直线互相平行．判断同一平面内两直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来确定：①有且只有一个公共点，两直线相交；②无公共点，则两直线平行；③两个或两个以上公共点，则两直线重合.平行线之间的距离概念：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离叫做这两条平行线之间的距离.性质：1）夹在两条平行线间的平行线段处处相等；2）平行线间的距离处处相等.知识点4：角

1.角的分类：∠β锐角直角钝角平角周角范围0＜∠β＜90°∠β=90°90°＜∠β＜180°∠β=180°∠β=360°2.角的表示方法：角的表示图例适用范围注意事项用三个大写字母表示记作：∠ABC或∠CBA任何情况都适用表示顶点的字母一定要写在中间，边上的字母写在两侧.用一个大写字母表示记作：∠O1）以这个字母为顶点的角只有一个；2）当在一个顶点处有两个或两个以上的角时,其中的任意一个角都不能用一个大写英文字母表示.用一个数字表示任何情况都适用在靠近顶点处画上弧线，表示出角的范围，并注上数字或小写的希腊字母用一个希腊字母表示3.角度制：以度、分、秒为单位的角的度量制.度、分、秒的运算方法：1°=60′；1′=60″；1°=3600″；1″=（160）′；1″=（136001周角=2平角=4直角=360°.角的大小的比较：1）叠合法：使两个角的顶点及一边重合，比较另一边的位置；2）度量法：分别用量角器测量两个角的大小，再进行比较.4.角的平分线的概念：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线.【性质】①若OC是∠AOB的平分线，则∠AOC=∠BOC=12∠AOB，∠AOB=2∠AOC=2∠BOC②角平分线上的点到角两边的距离相等．5.余角的概念：如果两个角的和等于直角，就说这两个角互为余角，即其中一个是另一个的余角.6.补角的概念：如果两个角的和等于平角，就说这两个角互为补角，即其中一个是另一个的补角.【性质】同角（或等角）的余角相等，同角（或等角）的补角相等.真题1（2024·江苏常州·中考真题）下列图形中，为四棱锥的侧面展开图的是（

）A．B．C．D．真题2（2024·山东淄博·中考真题）如图，已知AD∥BC，BD平分∠ABC．若∠A=110°，则A．40∘ B．36∘ C．35° D真题3（2024·江苏常州·中考真题）如图，推动水桶，以点O为支点，使其向右倾斜．若在点A处分别施加推力F1、F2，则F1的力臂OA大于F2的力臂OBA．垂线段最短B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直C．两点确定一条直线D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行真题4（2024·广西·中考真题）如图，2时整，钟表的时针和分针所成的锐角为（

）A．20° B．40° C．60° D．80°真题5（2024·江西·中考真题）如图是4×3的正方形网格，选择一空白小正方形，能与阴影部分组成正方体展开图的方法有（

）A．1种 B．2种 C．3种 D．4种真题6（2024·山东青岛·中考真题）如图①，将边长为2的正方形纸板沿虚线剪掉边长为1的小正方形，得到如图②的“纸板卡”，若用这样完全相同的“纸板卡”拼成正方形，最少需要块；如图③，将长、宽、高分别为4，2，2的长方体砖块，切割掉长、宽、高分别为4，1，1的长方体，得到如图④的“直角砖块真题7（2024·福建·中考真题）在手工制作课上，老师提供了如图1所示的矩形卡纸ABCD，要求大家利用它制作一个底面为正方形的礼品盒．小明按照图2的方式裁剪（其中AE=FB），恰好得到纸盒的展开图，并利用该展开图折成一个礼品盒，如图

图1

图2

图3(1)直接写出ADAB(2)如果要求折成的礼品盒的两个相对的面上分别印有“吉祥”和“如意”，如图4所示，那么应选择的纸盒展开图图样是（

）图4A．

B．C．

D．(3)卡纸型号型号Ⅰ型号Ⅱ型号Ⅲ规格（单位：cm）30×4020×8080×80单价（单位：元）3520现以小明设计的纸盒展开图（图2）为基本样式，适当调整AE，EF的比例，制作棱长为10cm的正方体礼品盒，如果要制作27个这样的礼品盒，请你合理选择上述卡纸（包括卡纸的型号及相应型号卡纸的张数），并在卡纸上画出设计示意图（包括一张卡纸可制作几个礼品盒，其展开图在卡纸上的分布情况），给出所用卡纸的总费用．（要求：①同一型号的卡纸如果需要不止一张，只要在一张卡纸上画出设计方案；②没有用到的卡纸，不要在该型号的卡纸上作任何设计；③所用卡纸的数量及总费用直接填在答题卡的表格上；④本题将综合考虑“利用卡纸的合理性”和“所用卡纸的总费用”给分，总费用最低的才能得满分；⑤试卷上的卡纸仅供作草稿用）预测1（2025·陕西西安·模拟预测）如图，一束平行于主光轴的光线AB经凸透镜折射后，其折射光线BF与一束经过光心O的光线CD相交于点P，点F为凸透镜的焦点．若∠ABF=145°，∠COE=30°，则A．45° B．55° C．65° D．75°预测2（2025·陕西商洛·一模）若∠A的度数为27°23'，则∠A．152°37' B．152°77' C．预测3（2025·河北石家庄·一模）如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，在B岛的北偏西35°方向，则∠ACB的度数是（

A．35° B．50° C．85° D．90°预测4（2025·山东菏泽·一模）一副三角板按如图方式摆放，∠A=∠B=45°，∠C=60°，∠DA．45° B．50° C．60° D．75°预测5（2025·山东临沂·一模）抖空竹是我国传统体育项目，如图，某一时刻对空竹进行受力分析，抖线给空竹的拉力为F1和F2，空竹受到的重力为G，方向竖直向下，若∠1=20°,∠2=130°，则∠3的度数为（A．70° B．85° C．90° D．80°预测6（2025·河北唐山·一模）如图，正方体展开图的每个面上都有一个汉字，则原正方体的表面上，“心”字对面的字是（

）A．数 B．学 C．素 D．养预测7（2025·江西景德镇·一模）将边长为4的正方形做成如图1所示的七巧板，将图1中的七巧板拼成如图2所示的“天鹅”，则图2中AB的长为．

押题1如图，长方形纸片ABCD沿EF折叠，A，D两点分别与A',D'对应，若A．60° B．65° C．75° D．72°押题2淇淇一家要到革命圣地西柏坡参观．如图，西柏坡位于淇淇家南偏西70°的方向，则淇淇家位于西柏坡的（

）

A．南偏西70°方向 B．南偏东20°方向C．北偏西20°方向 D．北偏东70°方向押题3下图是小明同学在体育课上跳远后留下的脚印，体育杜老师在测量小明同学的体育成绩时，选取测量线段CD的长度，其依据是（）A．垂线段最短B．两点之间线段最短C．两点确定一条直线D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直押题4如图是每个面上都有一个汉字的正方体的一种展开图，那么在正方体的表面，与“国”相对的面上的汉字是（）A．诚 B．信 C．友 D．善押题5如图，CD是∠ECB的平分线，且CD∥AB，∠B=40∘A．30∘ B．40∘ C．50∘押题6如图所示，∠AOD=∠BOC，若∠AOB=100°A．100° B．40° C．30° D．25°押题7如图是8：00时的时针及分针的位置，则此时分针与时针所成的∠α=押题8七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，且边长为4，那么阴影部分面积为．

0202三角形考点考情分析三角形的基本概念和性质选择题常考查对三角形基本概念的理解；填空题可能涉及三角形的重要线段(如中线、高线、角平分线)的性质应用，以及根据三角形的性质求线段长度或角度；解答题常与其他几何知识综合考查。全等三角形选择题常考查对三角形基本概念的理解；填空题可能涉及三角形的重要线段(如中线、高线、角平分线)的性质应用，以及根据三角形的性质求线段长度或角度；解答题常与其他几何知识综合考查，如三角形与四边形、圆的结合，或在实际问题中运用三角形的性质进行求解。勾股定理及逆定理选择题常考查对勾股定理及其逆定理的基本理解和简单应用；填空题可能涉及利用勾股定理求线段长度，或根据勾股定理逆定理判断三角形形状后求相关度等；解答题常与其他几何知识综合考查，如与三角形全等、相似、四边形等知识结合。也会在实院问题情境中，要求考生运用勾股定理及逆定理来解决问题，如考查分值：三角形相关内容的分值大约在15-25分左右，占总分的12.5%-20.8%。。考查形式：选择题:通常有1-2道题考查三角形，每题分值3-4分，共3-8分。

填空题:可能有1-2道题与三角形有关，每题分值3-4分，共3-8分。解答题:会有1-2道大题涉及三角形，分值一般在8-12分左右。如果是综合性很强的压轴题分值可能会更高。命题趋势：更加注重与实际生活的联系，以实际问题为背景，考查学生运用三角形知识解决实际问题的能力；强调知识的综合运用，将三角形与其他数学知识，如函数、方程、圆等进行深度融合，考查学生的综合分析和解决问题的能力；对学生的逻辑推理能力要求提高，在证明军答题中，需要学生具备严谨的逻辑思维，能够清晰地写出推理过程和证明步骤。知识点1：三角形的性质三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边．推论：三角形的两边之差小于第三边．三角形三边关系定理及推论的应用：1）判断三条已知线段能否组成三角形，只需检验最短的两边之和大于第三边，则可说明能组成三角形．2）已知三角形两边的长度分别为a，b，求第三边长度的范围：|a-b|＜c＜a＋b3）所有通过周长相加减求三角形的边，求出两个答案的，要注意检查每个答案能否组成三角形．三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°．推论：直角三角形的两个锐角互余.三角形的内角和定理的应用：1)在三角形中,已知两个内角的度数,可以求出第三个内角的度数；2)在三角形中,已知三个内角的比例关系,可以求出三个内角的度数；3)在直角三角形中,已知一个锐角的度数,可以求出另一个锐角的度数.三角形的外角和定理：三角形的外角和等于360°．三角形的外角和的性质：1）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；2）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．知识点2：三角形的重要线段重要线段概念图形性质三角形

的高从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）．∵AD是∆ABC中BC边的高∴∠ADB=∠ADC=90°三角形

的中线在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线∵AD是∆ABC中BC边的中线∴BD=CDS△ABD=S△ADCC三角形的角平分线三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线．∵AD是∆ABC中∠BAC的角平分线∴∠BAD=∠DAC=12三角形的中位线连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线∵DE是∆ABC的中位线∴AD=DBAE=ECDE=12BCDE重心三角形三条中线交点1）重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。

2）重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。

3)重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。垂心三角形三条高交点1）锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外；

2）锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍。3）三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6组四点共圆.4）锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心；锐角三角形的内接三角形(顶点在原三角形的边上)中，以垂足三角形的周长最短.知识点2：全等三角形的性质和判定全等三角形的性质：1）对应边相等，对应角相等.2）全等三角形的对应角平分线、对应中线、对应高相等．3）全等三角形的周长相等、面积相等．全等三角形的判定1.边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）；2.边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）；3.角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）；4.角角边定理：有两角和它们所对的任意一边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“AAS”）；5.对于特殊的直角三角形：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）．

常见的全等三角形模型（基础）常见的全等三角形模型（基础）平移模型模型分析：此模型特征是有一组边共线或部分重合，另两组边分别平行，常要在移动的方向上加（减）公共线段，构造线段相等，或利用平行线性质找到对应角相等．对称模型模型分析：所给图形可沿某一直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，重合的顶点就是全等三角形的对应顶点，解题时要注意隐含条件，即公共边或公共角相等．一线三垂直/一线三等角模型解读：一线：经过直角顶点的直线；三垂直：直角两边互相垂直，过直角的两边向直线作垂直，利用“同角的余角相等”转化找等角旋转模型模型解读：将三角形绕着公共顶点旋转一定角度后，两个三角形能够完全重合，则称这两个三角形为旋转型三角形．旋转后的图形与原图形存在两种情况：①无重叠：两个三角形有公共顶点，无重叠部分，一般有一对隐含的等角；②有重叠：两个三角形含有一部分公共角，运用角的和差可得到等角．真题1（2024·山东德州·中考真题）如图，在△ABC中，AD是高，AE是中线，AD=4，S△ABC=12A．1.5 B．3 C．4 D．6真题2（2024·甘肃兰州·中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=130°，DAA．100° B．115° C．130° D．145°真题3（2024·山东泰安·中考真题）如图，直线l∥m，等边三角形ABC的两个顶点B，C分别落在直线l，m上，若∠ABE=21°，则A．45° B．39° C．29° D．21°真题5（2024·广东广州·中考真题）如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC=6，D为边BC的中点，点E，F分别在边AB，ACA．18 B．92 C．9 D．真题5（2024·西藏·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交BC，BA于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于12DE的长为半径作弧，两弧在∠ABC的内部相交于点P，作射线BP交AC于点F．已知CF真题6（2024·山东德州·中考真题）如图，C是AB的中点，CD=BE，请添加一个条件，使真题7（2024·江苏镇江·中考真题）如图，∠C=∠D

(1)求证：△ABC(2)若∠DAB=70°，则∠真题8（2024·山东东营·中考真题）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，(1)问题发现如图1，将△CAB绕点C按逆时针方向旋转90°得到△CDE，连接AD，BE，线段AD与BE的数量关系是______，AD与BE的位置关系是(2)类比探究将△CAB绕点C按逆时针方向旋转任意角度得到△CDE，连接AD，BE，线段AD与BE的数量关系、位置关系与（1）中结论是否一致？若AD交CE于点N，请结合图(3)迁移应用如图3，将△CAB绕点C旋转一定角度得到△CDE，当点D落到AB边上时，连接BE，求线段预测1（2025·陕西宝鸡·一模）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D、E、F分别是边AB、A．3 B．4 C．5 D．6预测2（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC=45°，若BE=2A．22 B．23-2 C．预测3（2025·福建·一模）如图，在△ABC中，BD是AC边上的中线，E是BD的中点，连接CE，若S△BCE=2预测4（2025·吉林四平·二模）如图，在△ABC中，以点B为圆心，适当的长度为半径画弧分别交AB，BC边于点P，Q，再分别以点P，Q为圆心，以大于12PQ为半径画弧，两弧交于点M，连接BM交AC于点E，过点E作ED∥BC交AB于点D，若AB=12，预测5（2025·湖南岳阳·一模）如图，一根竖直的木杆在离地面1m的A处折断，木杆顶端落在地面的B处上，与地面的夹角为α，若α=30°，则木杆折断之前高度为预测6（2025·江苏常州·一模）如图，点B、F、C、E在一条直线上，已知AB=DE，BF=(1)求证：AC=(2)分别连接AE、BD，则AE与BD的关系为________．预测7（2025·江苏无锡·二模）如图，点C在线段AD上，AB=AD，∠B(1)求证：△ABC(2)若∠BAC=62°，求预测8（2025·贵州黔东南·一模）阅读材料，并解决问题：【思维指引】（1）如图1等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求∠APB解决此题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP'处，此时△ACP'≌△ABP，连接P'P，借助旋转的性质可以推导出【知识迁移】（2）如图2，在△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，E、F为BC上的点且∠EAF=45°，请判断【方法推广】（3）如图3，在△ABC中，∠ABC=30°，AB=2，BC=3，点P为△ABC押题1如图，过边长为3的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，且CQ=PA，连接PQ交AC于点DA．1 B．32 C．2 D．押题2如图，点E在等边△ABC的边BC上，BE=4，射线CD⊥BC，垂足为点C，点P是射线CD上一动点，点F是线段AB上一动点，当EP+FP的值最小时，A．9 B．10 C．53 D．押题3如图，在△ABC中，AB=AC=10，AD平分∠BAC，点E为

押题4如图△ABC≌△DEF，EF=BC，AB=DE，AD=20，FC=10，则AF=押题5如图，要为一段高为5米，长为13米的楼梯铺上红地毯，则红地毯至少要米．押题6如图，A、E、B、D在同直线上，在△ABC和△DEF中，AB=DE，AC=DF，AC∥DF.求证：△ABC≌△DEF押题7（1）如图1，△ABC中，点D是边BC的中点，若AB=6，AC=4解：∵点D是边BC的中点，∴BD=将△ACD绕点D旋转180°得到△即得△ACD≌△EBD，且A，D在△ABE中，可得AE6-4<AE∴AD的取值范围是：．（2）如图2，在△ABC中，∠BAC=90°，点D是BC边的中点，∠MDN=90°，∠MDN的两边分别交AB于点E，交AC于点F，连接EF．探究线段押题8综合与实践主题：制作无盖正方体形纸盒素材：一张正方形纸板．步骤1：如图1，将正方形纸板的边长三等分，画出九个相同的小正方形，并剪去四个角上的小正方形；步骤2：如图2，把剪好的纸板折成无盖正方体形纸盒．猜想与证明：

(1)直接写出纸板上∠ABC与纸盒上∠(2)证明（1）中你发现的结论．0303四边形考点考情分析多边形及其内角和选择题常考查多边形内角和公式、外角和定理的直接应用，或者结合正多边形的性质，求多边形的边数、内角度数或外角度数等；填空题可能会涉及根据多边形内角和与外角和的关系，求多边形的边数;或者在一些几何图形的组合中，利用多边形内角和定理求某个角的度数；解答题:一般不会单独考查，通常会与三角形、四边形等其他几何图形综合出现。平行四边形选择题:常考查平行四边形的基本性质；填空题可能涉及利用平行四边形的性质求线段长度、角度大小或面积等；解答题通常会与三角形全等、相似、解直角三角形等知识综合考查。特殊平行四边形选择题常考查特殊平行四边形的基本性质和判定定理的直接应用；填空题可能涉及利用特殊平行四边形的性质求线段长度、角度大小或面积等；解答题通常会与三角形全等、相似、解直角三角形以及函数等知识综合考查。考查分值：10-20分左右，占总分的8%-17%左右，具体分值因地区和试卷结构而异。考查形式：选择题:通常会有1-2道题考查四边形，每题分值在3-4分左右，共计3-8分。填空题:也可能出现1-2道与四边形有关的题目，每题分值一般为3-5分，大约共3-10分。解答题:如果有解答题考查四边形，通常会是一道，分值在8-12分左右。命题趋势：在选择题和填空题中，可能会出现一些小巧灵活的题目，直接考查四边形的基本性质和判定定理的应用，或者通过简单的计算和推理来求解四边形中的相关量。解答题的难度可能会有所增加，综合性更强。除了传统的证明和计算外，可能会出现一些探究性问题、开放性问题或实际应用问题。

知识点1：多边形的相关概念

多边形的定义：在平面中，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线.

多边形对角线条数：从n边形的一个顶点可以引（n－3）条对角线，并且这些对角线把多边形分成了(n–2)个三角形，n边形的对角线条数为n(多边形内角和定理：n边形的内角和为(n−2)∙180°（n≥3）.【高分技巧】1）n边形的内角和随边数的增加而增加，边数每增加1，内角和增加180°.2）任意多边形的内角和均为180°的整数倍.3）利用多边形内角和定理可解决三类问题：①已知多边形的边数求内角和；②已知多边形的内角和求边数；③已知足够的角度条件下求某一个内角的度数．多边形外角和定理：任意多边形的外角和等于360°，与多边形的形状和边数无关.正多边形的定义：各角相等，各边相等的多边形叫做正多边形.【高分技巧】1）正n边形的每个内角为（n-22）正n边形有n条对称轴．3）对于正n边形，当n为奇数时，是轴对称图形；当n为偶数时，既是轴对称图形，又是中心对称图形．知识点2：平行四边形的性质和判定

平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.平行四边形的表示：用符号“▱”表示，平行四边形ABCD记作“▱ABCD”，读作“平行四边形ABCD”.平行四边形的性质：1)对边平行且相等；2)对角相等、邻角互补；3)对角线互相平分；

4)平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形，平行四边形的对角线的交点是平行四边形的对称中心.【高分技巧】1）平行四边形相邻两边之和等于周长的一半．2）平行四边形中有相等的边、角和平行关系，所以经常需结合三角形全等来解题．3）过平行四边形对称中心的任一直线等分平行四边形的面积及周长．4）如图①，AE平分∠BAD，则可利用平行线的性质结合等角对等边得到△ABE为等腰三角形，即AB=BE．5）如图②，已知点E为AD上一点，根据平行线间的距离处处相等，可得S△BEC=S△ABE+S△CDE．6）如图③，根据平行四边形的面积的求法，可得AE·BC=AF·CD．平行四边形的判定定理：①定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．③两组对边分别相等的四边形是平行四边形．④两组对角分别相等的四边形是平行四边形．⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形．【高分技巧】一般地，要判定一个四边形是平行四边形有多种方法，主要有以下三种思路：1）当已知条件中有关于所证四边形的角时，可用“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”来证明；2）当已知条件中有关于所证四边形的边时，可选择“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”或“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”或“有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”来证明；3）当已知条件中有关于所证四边形的对角线时，可选择“对角线互相平分的四边形是平行四边形”来证明

知识点3：三角形的中位线

三角形中位线概念：连接三角形两边中点的线段叫做三角形中位线.三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.三角形中位线定理的作用：位置关系：可以证明两条直线平行.数量关系：可以证明线段的倍分关系.常用结论：任意一个三角形都有三条中位线，由此有：结论1：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半.结论2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形.结论3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形.结论4：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分.结论5：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等.知识点4：矩形的性质和判定

矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.矩形的性质：1）矩形具有平行四边形的所有性质；2）矩形的四个角都是直角；3）对角线互相平分且相等；4）矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形.矩形的对称中心是矩形对角线的交点；矩形有两条对称轴，矩形的对称轴是过矩形对边中点的直线；矩形的对称轴过矩形的对称中心.【推论】1）在直角三角形中斜边的中线，等于斜边的一半.2）直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的一半.矩形的判定：1)有一个角是直角的平行四边形是矩形；

2）对角线相等的平行四边形是矩形；3）有三个角是直角的四边形是矩形.【高分技巧】

要证明一个四边形是矩形，首先要判断四边形是否为平行四边形，若是，则需要再证明对角线相等或有一个角是直角；若不易判断，则可通过证明有三个角是直角来直接证明．知识点5：菱形的性质和判定

菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.菱形的性质：1）具有平行四边形的所有性质；2）四条边都相等；3）两条对角线互相垂直，且每条对角线平分一组对角.4）菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形，菱形的对称中心是菱形对角线的交点，菱形的对称轴是菱形对角线所在的直线，菱形的对称轴过菱形的对称中心.菱形的判定：1）对角线互相垂直的平行四边形是菱形.2）一组邻边相等的平行四边形是菱形.3）四条边相等的四边形是菱形.【解题思路】判定一个四边形是菱形时，可先说明它是平行四边形，再说明它的一组邻边相等或它的对角线互相垂直，也可直接说明它的四条边都相等或它的对角线互相垂直平分．菱形的面积公式：S=ah=对角线乘积的一半（其中a为边长，h为高）.菱形的周长公式：周长l=4a（其中a为边长）.

知识点6：正方形的性质和判定

正方形的定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.

正方形的性质：1）正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质.2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等.3）正方形对边平行且相等.4）正方形的对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角；

5）正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形；

6）正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形.【补充】正方形对角线与边的夹角为45°.正方形的判定：1）平行四边形+一组邻边相等+一个角为直角；2）矩形+一组邻边相等；3）矩形+对角线互相垂直；4）菱形+一个角是直角；5）菱形+对角线相等.【高分技巧】

判定一个四边形是正方形通常先证明它是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直；或者先证明它是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等；还可以先判定四边形是平行四边形，再证明它有一个角为直角和一组邻边相等．正方形的面积公式：a2＝对角线乘积的一半=2S△ABC=4S△AOB.正方形的周长公式：周长=4a真题1（2024·西藏·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，点P是边AB上任意一点，过点P作PD⊥AC，PE⊥BC，垂足分别为点A．132 B．6013 C．125真题2（2024·宁夏·中考真题）如图，在正五边形ABCDE的内部，以CD边为边作正方形CDFH，连接BH，则∠BHC=真题3（2024·江苏徐州·中考真题）如图，将矩形纸片ABCD沿边EF折叠，使点D在边BC中点M处．若AB=4，BC=6真题4（2024·江苏徐州·中考真题）已知：如图，四边形ABCD为正方形，点E在BD的延长线上，连接EA、(1)求证：△EAB(2)若∠AEC=45°，求证：真题5（2024·山东青岛·中考真题）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠ABD=∠CDB，BE⊥AC于点E，DF

(1)求证：四边形ABCD是平行四边形；(2)若AB=BO，当∠ABE等于多少度时，四边形ABCD真题6（2024·四川巴中·中考真题）综合与实践(1)操作与发现：平行四边形和梯形都可以剪开拼成一个矩形，拼接示意图如图1、图2．在图2中，四边形ABCD为梯形，AB∥CD，E、F是AD、(2)探究与证明：探究将任意一个四边形剪开拼成一个平行四边形，拼接示意图如图3、图4、图5．在图5中，E、F、G、①通过操作得出：AE与EB的比值为______．②证明：四边形OJKL为平行四边形．(3)实践与应用：任意一个四边形能不能剪开拼成一个矩形？若能，请将四边形ABCD剪成4块，按图5的方式补全图6，并简单说明剪开和拼接过程．若不能，请说明理由．真题7（2024·湖南长沙·中考真题）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠(1)求证：AC=(2)点E在BC边上，满足∠CEO=∠COE．若AB=6，BC=8真题8（2024·山东泰安·中考真题）综合与实践为了研究折纸过程蕴含的数学知识，某校九年级数学兴趣小组的同学进行了数学折纸探究活动．【探究发现】（1）同学们对一张矩形纸片进行折叠，如图1，把矩形纸片ABCD翻折，使矩形顶点B的对应点G恰好落在矩形的一边CD上，折痕为EF，将纸片展平，连结BG，EF与BG相交于点H．同学们发现图形中四条线段成比例，即EFBG【拓展延伸】（2）同学们对老师给出的一张平行四边形纸片进行研究，如图2，BD是平行四边形纸片ABCD的一条对角线，同学们将该平行四边形纸片翻折，使点A的对应点G，点C的对应点H都落在对角线BD上，折痕分别是BE和DF，将纸片展平，连结EG，FH，FG，同学们探究后发现，若FG∥CD，那么点G恰好是对角线BD的一个“黄金分剧点”，即预测1（2025·陕西宝鸡·一模）如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠A=60°，点O为对角线BD的中点，过点O作OG⊥BC于GA．2 B．3 C．1 D．1预测2（2025·安徽·二模）如图，五边形ABCDE是正五边形，F是CD的中点，连接AF，AC，则∠CAF的度数为（

A．15° B．18° C．20° D．24°预测3（2025·安徽·一模）如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，点E在AB的延长线上，OE与BC交于点F．若F为OE的中点，BCAB=34，则A．34 B．45 C．32预测4（2025·重庆·一模）如图，在正方形ABCD中，F为DC上一点，E在CB的延长线上，连接AE，AF，EF，点G为EF的中点，连接DG．若AE=AF，EB=14A．23 B．24 C．25预测5（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，已知四边形ABCD是边长为6的正方形，E为CB延长线上一点，以BE为边，在直线CE上方作正方形BEFG，连接DF，取DF的中点M，连接BM．若∠FMB=60°，则BE预测6（2025·浙江嘉兴·一模）如图，在正方形纸片ABCD中，点M，N分别是BC，AD上的点，将该正方形纸片沿直线MN折叠，使点B落在CD的中点E处．若AB=4，则△预测7（2025·浙江·二模）如图1，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD的平分线交BC于点E，交直线DC于(1)请你选择一位同学的说法，并进行证明（选小波得4分，选小杭得2分）；(2)如图2，若∠BAD=60°，四边形CEGF是菱形，分别连结DB，DG，求押题1如图，木制活动衣帽架由3个全等的菱形挂钩构成，在A、E、F、C、G、H处安装上、下两排挂钩，可以根据需要改变挂钩间的距离，并在B，M处固定．已知菱形ABCD的边长为20cm，要使两排挂钩的距离（即AC）为32cm，则BM之间的距离为（

A．36 B．60 C．72 D．96押题2如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AB=5，AC=8．则菱形ABCD的面积是押题3如图，在▱ABCD中，∠ABC的平分线交CD于点E．如果AD=2.7，DE=1.3，那么押题4如图，在矩形ABCD中，点E是边CD的中点，BF⊥AE于点F．若AB=2，BC=3押题5如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，BE=DF，(1)求证：四边形AECF是矩形；(2)若AB=AD，且AC=45，押题6【操作发现】（1）如图1，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上．请按要求画图：将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，点B的对应点为B'，点C的对应点为C'，连接B【问题探究】（2）如图2，在等边三角形ABC内有一点P，且PA=2，PB=3，PC小明同学通过观察、分析、思考，对上述问题形成了如下思考：将△BPC绕点B按逆时针方向旋转60°，得到△AP'B，连接PP'，寻找线段PA【问题解决】（3）如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA=5，PB=2，押题7阅读理解：我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫中点四边形，如图1，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，依次连接各边中点得到中点四边形EFGH．(1)（填空）判断图1中的中点四边形EFGH的形状为______，菱形的中点四边形的形状是______；(2)如图2，在四边形ABCD中，点M在AB上且△AMD和△MCB为等边三角形，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，试判断四边形(3)若四边形ABCD的中点四边形为正方形，AD+BC的最小值为4，求押题8如图1，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，以EC，CF为邻边作平行四边形ECFG(1)求证：平行四边形ECFG是菱形；(2)如图2，若∠ABC=120°，连接BD，CG，BG，DG，求∠BDG(3)如图3，若∠ABC=90°，AB=6，AD=8，M是0404圆考点考情分析垂径定理选择题常直接考查垂径定理的基本应用；填空题可能会结合勾股定理，通过给出圆的相关线段长度，让考生计算弦长、半径或圆心到弦的距离等；解答题常与其他几何知识综合考查。圆心角和圆周角选择题常考查圆心角和圆周角的基本概念﹑性质及它们之间的关系；填空题可能会结合圆的其他性质，如垂径定理、圆的对称性等，来计算圆心角或圆周自数，或者根据已知的圆心角或圆周角度数，求相关线段的长度；解答题常与三角形、四边形等几何图形综合考查。切线的性质与判定选择题常考查切线的基本概念、性质及判定条件的直接应用；填空题可能会结合圆的其他性质，如垂径定理、圆心角定理等，来考查切线的性质与判定；解答题常与三角形、四边形等几何图形综合考查，是圆的综合题中的重要考点。正多边形与圆选择题常考查正多边形与圆的基本概念、性质及简单计算；填空题可能结合圆的性质，考查正多边形的内角、外角、边长、半径、边心距等；解答题通常与其他几何知识综合考查，难度适中或偏上。弧长和扇形面积选择题常以基础题形式出现，考查弧长和扇形面积；填空题可能结合圆的其他性质，如垂径定理、切线性质等，考查弧长和扇形面积的计算；解答题:通常作为圆的综合题的一部分出现，难度适中或偏上。考查分值：在10-12分左右，但会因地区和试卷结构的不同而有所差异。考查形式：选择题﹑填空题和解答题均会出现。

命题趋势：选择题:会考查圆的基本概念，如圆心角、圆周角、弦、弧等的理解;也可能考查根据圆的半径和圆心角求弧长，或者利用圆周角定理求角度等；填空题:常涉及圆的性质应用，如垂径定理求弦长、半径;也可能考查圆与正正多边形的中心角与圆的半径关系等；解答题:通常以圆的综合题形式出现，与三角形、四边形等知识结合。知识点1：垂径定理

垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。推论1：1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。垂径定理的应用：经常设未知数，几何方程于勾股定理解答。【高分技巧】：

1）过圆心，作垂线，连半径，造Rt△2)有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分知识点2：圆心角和圆周角

圆心角概念：顶点在圆心的角叫做圆心角。弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。圆周角概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。（即：圆周角=1推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。即：在⊙中，∵四边是内接四边形∴知识点3：切线的性质和判定

1.切线的性质与判定定义线和圆只有一个公共点时，这条直线叫圆的切线，这个公共点叫做切点．性质圆的切线垂直于过切点的半径．（实际上过切点的半径也可理解为过切点的直径或经过切点与圆心的直线．）解题方法：当题目已知一条直线切圆于某一点时，通常作的辅助线是连接切点与圆心（这是圆中作辅助线的一种方法）．根据切线的性质可得半径与切线垂直，从而利用垂直关系进行有关的计算或证明．判定1）定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线.2）数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径时，直线与圆相切.3)判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.常见辅助线作法：判定一条直线是圆的切线时，1）若已知直线与圆的公共点时，把圆心和这个公共点连接起来，然后证明直线垂直于这条半径，简称“连半径，证垂直”；3）若直线与圆的公共点没有明确，可过圆心作直线的垂线段，再证明圆心到直线的距离等于半径，简称“作垂直，证半径”．2.切线长定理定义在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．切线长定理的应用问题解题方法：切线长定理经常用来证明线段相等，通常要连接圆心与切点构造直角三角形来求解．知识点4：三角形的内切圆和三角形的外接圆1.三角形内切圆与外接圆三角形外接圆经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形.三角形内切圆与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形.2.三角形内心与外心圆心的名称圆心的确定方法图形圆心的性质外心三角形三边中垂线的交点1)OA=OB=OC2)外心不一定在三角形的内部．内心三角形三条角平分线的交点1)到三边的距离相等；

2)OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB；

3)内心一定在三角形内部．【高分技巧】

1）三角形内切圆半径公式：r=2SC，其中S2）特殊的直角三角形内切圆半径公式：r=a+b-c2或3）解三角形的内切圆问题，通常分别连接．内切圆的圆心与切点、圆心与三角形的顶点来构造直角三角形，以便利用直角三角形的知识进行求解．知识点5：正多边形与圆

1.正多边形的相关概念正多边形概念各条边相等，并且各个内角也都相等的多边形叫做正多边形.正多边形的中心正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心.正多边形的半径正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径.正多边形的中心角正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角.正多边形的边心距中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距.2.正多边形的常用公式边长an=2Rn周长Pn=n⋅an外角/中心角度数360°面积Sn=12an⋅rn⋅对角线条数n边心距rn=Rn⋅cos180内角和（n-2）×180°.内角度数（n边形的边数（内角和÷180°）＋2aRn2=rn2+an24（an【高分技巧】正多边形与圆的计算问题：正n边形的外接圆半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形，而每个直角三角形都集中地反映了这个正n边形各元素间的关系，故可以把正n边形的计算转化为解直角三角形，再利用勾股定理即可完成计算．知识点6：弧长和扇形面积

设⊙OQUOTE的半径为R，n°QUOTE圆心角所对弧长为l，n为弧所对的圆心角的度数，则扇形弧长公式l=nπR180（弧长的长度和圆心角大小和半径的取值有关，且n表示1°的圆心角的倍数，n和扇形面积公式S扇形=nπR2圆锥侧面积公式S圆锥侧=πrl（其中l是圆锥的母线长，r是圆锥的底面半径）圆锥全面积公式S圆锥全=πrl+πr2（圆锥的表面积=扇形面积+底面圆面积）圆锥的高h，圆锥的底面半径rr知识点7：求不规则图形面积求与圆有关的不规则图形的面积时，最基本的思想就是转化思想，即把所求的不规则的图形的面积转化为规则图形的面积．常用的方法有：1）直接用公式求解．图形公式S阴影=S扇形ABCS阴影=S△ABCS阴影=S四边形ABCD=ab2）和差法：所求面积的图形是一个不规则图形，可将其转化变成多个规则图形面积的和或差，进行求解．①直接和差法.（阴影部分是几个常见图形组合而成，即S阴影=S常见图形±S常见图形）图形面积计算方法图形面积计算方法S阴影=S△ACB−S扇形CADS阴影=S扇形BAB′+S半圆AB′−S半圆ABS阴影=S△AOB−S扇形CODS阴影=S半圆AC+S半圆BC−S△ACBS阴影=S半圆AB−S△AOBS阴影=S扇形BAD−S半圆ABS阴影=S扇形EAF−S△ADES阴影=S扇形之和=nπR2②构造和差法图形公式S阴影=S扇形AOC+S△BOCS阴影=S△ODC-S扇形DOES阴影=S扇形AOB-S△AOBS阴影=S扇形BOE+S△OCE-S扇形COD3）割补法：直接求面积较复杂或无法计算时，可通过旋转、平移、割补等方法，对图形进行转化，为利用公式法或和差法创造条件，从而求解．①全等法图形公式S阴影=S△AOBS阴影=S扇形BOCS阴影=S矩形ACDFS阴影=S正方形PCQE②等面积法图形公式S阴影=S扇形COD③平移法图形公式S阴影=S正方形BCFES阴影=S矩形ABHG④旋转法图形公式S阴影=S扇形BOES阴影=S扇形BODS阴影=S扇形ABE-S扇形MBN⑤对称法图形公式S阴影=S△ACDS阴影=S扇形CDES阴影=S△OBC=14S正方形S阴影=S扇形ACB-S△ACD真题1（2024·山东泰安·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，BA平分∠CBD，若∠AOD=50°A．65° B．55° C．50° D．75°真题2（2024·四川·中考真题）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，OA=1，则AB的长为（A．2 B．3 C．1 D．1真题3（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，圆形拱门最下端AB在地面上，D为AB的中点，C为拱门最高点，线段CD经过拱门所在圆的圆心，若AB=1m，CD=2.5A．1.25m B．1.3m C．1.4m真题4（2024·四川广元·中考真题）如图，已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，E为AD延长线上一点，∠AOC=128°，则∠A．64° B．60° C．54° D．52°真题5（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，为便于研究圆锥与扇形的关系，小方同学利用扇形纸片恰好围成一个底面半径为5cm，母线长为12cm的圆雉的侧面，那么这个扇形纸片的面积是cm2真题6（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交BC于点D,DE⊥AC，垂足为E．(1)求证：DE是⊙O(2)若∠C=30°,CD真题7（2024·广东·中考真题）综合与实践【主题】滤纸与漏斗【素材】如图1所示：①一张直径为10cm②一只漏斗口直径与母线均为7cm【实践操作】步骤1：取一张滤纸；步骤2：按如图2所示步骤折叠好滤纸；步骤3：将其中一层撑开，围成圆锥形；步骤4：将围成圆锥形的滤纸放入如图1所示漏斗中．【实践探索】(1)滤纸是否能紧贴此漏斗内壁（忽略漏斗管口处）？用你所学的数学知识说明．(2)当滤纸紧贴漏斗内壁时，求滤纸围成圆锥形的体积．（结果保留π）真题8（2024·四川广元·中考真题）如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，⊙O经过A、C两点，交AB于点D，CO的延长线交AB于点F，(1)求证：DE为⊙O(2)若AC=4，tan∠CFD预测1（2025·四川绵阳·二模）小月同学在手工课上用扇形卡纸制作的简易圆锥形漏斗如图所示，若漏斗的底面圆的直径为6cm，高为4cm，则扇形卡纸的面积至少是（

）A．7.5πcm2 B．9πcm2 C．15πcm2 D．预测2（2025·河南省直辖县级单位·一模）如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分．如果M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心交⊙O于点E，并且CD=4m，EM=6A．3m B．103m C．4预测3（2025·广东佛山·一模）如图，点A、B、C、D在⊙O上，BO∥CD，∠A=25°A．100° B．120° C．125° D．130°预测4（2025·陕西宝鸡·一模）如图，四边形ACDE内接于⊙O，连接AO、DO，若∠AED=120°，则预测5（2025·河南·二模）如图，AC是⊙O的直径，点B,D在⊙O上，AB=BC，AC与BD交于点E．若预测6（2025·内蒙古包头·模拟预测）如图，AB是半圆O的直径，C是半径OB上一点，过点C作DC⊥AB，交半圆O于点D，连接AD．若AD=23，CD=预测7（2025·河南驻马店·二模）如图．△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，点(1)尺规作图：做∠CBF=12∠BAC，(2)求证：直线BF是⊙O(3)若AB=5，sin∠CBF=5预测8（2025·湖北鄂州·一模）综合与实践：如图，生活中的很多工艺品，可以看成是由一些简单的平面图形旋转得到的几何体．【知识背景】把一个平面图形绕着不同的轴旋转，可以得到一个不同形状的几何体．如图，某数学兴趣小组把Rt△ABC绕它的一条直角边AB旋转可以形成一个圆锥体．已知BC请完成下列方案设计中的任务：【方案设计】目标：设计一个一定条件下的侧面积最大的圆锥体．任务一：把圆锥体的侧面沿着其中一条母线AC剪开并展平，研究圆锥体侧面展开图的形状及边长．（1）如图，设BC的长度为xcm，请用含有x的代数式分别表示AC任务二：计算圆锥体侧面积，设圆锥体的侧面积为ycm（2）在（1）的条件下，求y与x的函数表达式；（3）在（2）的条件下，x满足2≤x≤4，求当x取何值时，圆锥体的侧面积预测9（2025·北京·一模）在平面直角坐标系xOy中，对于点P和点Qa,b给出如下规定：如果将点P沿直线x=a翻折后得到点P'，再将点P'沿直线y=b翻折后得到点H(1)如图1，如果点P-1,1，①在点H14,2，H21,0，H30,-2中，点P的②点P的“相称点”与点P的距离最小值是_______．(2)如图2，⊙O的半径和等边△ABC的边长均为1，点A0,m，点P和点Qa,b都在⊙O上，如果在图中的△ABC押题1如图，点A，B，C在⊙O上，∠A=30°，∠B=58°A．56° B．58° C．28° D．25°押题2如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P，PA=9，PB=4A．6 B．10 C．12 D．13押题3《数书九章》中的“遥度圆城”问题如下：在一座圆形城堡中，有正东、正南、正西和正北四个门，出南门A向东走一段路程到达点B后AB相切圆形城堡于点A），刚好看到北门的正北方向的一棵大树C，即BC相切圆形城堡于点D．若AB=4km，CD=83押题4若圆锥的底面半径为2，母线长为6，则该圆锥侧面积为．（结果保留π）．押题5如图，一段公路的转弯处是一段圆弧AB，点O是这段弧所在圆的圆心，AB=600m，圆心角∠AOB=120°，C是AB上的一点，OC⊥AB，垂足为D，则弯路上点押题6如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E．过点D作DF∥AB，交CA的延长线于点F，CF(1)试判断直线DF与⊙O(2)若DE⋅DC=2押题7如图，△ABC内接于⊙O，AD为BC边的高，AE为⊙O的直径交BC于点F(1)求证：△ABE(2)当直径AE平分∠BAD时，求证：BE(3)在（2）的条件下，若AB=10，BE=5，求押题8如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，P是BA延长线上的一点，连接AC，(1)求证：PC是⊙O(2)若sinB=1(3)在（2）的条件下，若⊙O的半径为20505尺规作图考点考情分析尺规作图题目类型主要是解答题，也有选择题，部分地区还出现了简述题和纠错题。考查分值：在5-8分左右，但会因地区和试卷结构的不同而有所差异。考查形式：解答题为主，选择题为辅。

命题趋势：尺规作图不再单纯考查作图技能，而是越来越多地与几何推理、证明、计算等相结合，还会与其他数学知识如函数、三角形、四边形等综合考查，以体现学生的综合运用能力。

五种基本作图：类型图示作图依据作一条线段等于已知线段圆上的点到圆心的距离等于半径.作一个角等于已知角1)三边分别相等的两个三角形全等；2)全等三角形的对应角相等；3)两点确定一条直线.作一个角的平分线作一条线段的垂直平分线1)到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；2)两点确定一条直线.过一点作已知直线的垂线1)等腰三角形“三线合一”；

2)两点确定一条直线.根据基本作图作三角形类型图示已知三角形的三边，求作三角形已知三角形的两边及其夹角，求作三角形已知三角形的两角及其夹边，求作三角形已知直角三角形一直角边和斜边，求作直角三角形根据基本作图作圆类型图示过不在同一直线上的三点作圆

（即三角形的外接圆）作三角形的内切圆【高分技巧】1）先分析题目，读懂题意，判断题目要求作什么；2）读懂题意后，再运用几种基本作图