人教版八年级数学下册基础知识专项讲练专题18.25 平行四边形（存在性问题）（专项练习）（附答案）

/专题18.25平行四边形（存在性问题）（专项练习）1．如图，在平面直角坐标系中，已知：OA＝2，OB＝3．现同时将点A和点B向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度，分别得到点A和点B的对应点C和D，连接AC，BD，CD．（1）直接写出点A，B，C，D的坐标；（2）CD＝，S四边形ABDC＝；（3）在线段OC上是否存在一点P，使，如果存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．2．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB⊥AC，AB＝3cm，BC＝5cm．点P从A点出发沿AD方向匀速运动，速度为1cm/s．连接PO并延长交BC于点Q，设运动时间为t(0＜t＜5)．（1）当t为何值时，四边形ABQP是平行四边形？（2）设四边形OQCD的面积为y(cm2)，求y与t之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t，使点O在线段AP的垂直平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．3．如图，矩形OABC的边OC、OA分别在x轴、y轴上，且AO、OC的长满足(1)求B，C两点的坐标；(2)把沿AC翻折，点B落在处，线段AB与x轴交于点D，求CD的长；(3)在平面内是否存在点P，使以A，D，C，P为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．4．如图，在平行四边形ABCD中，AD=2AB=6cm，BE是∠ABC的角平分线，点M从点E出发，沿ED方向以1cm/s的速度向点D运动，点N从点C出发，沿射线CB方向运动，以4cm/s的速度运动，当点M运动到点D时，点N随之停止运动，设运动时间为t(s)，(1)求AE的长：(2)是否存在以M、E、B、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由(3)当t=时，线段NM将平行四边形ABCD面积二等分（直接写出答案），5．如图，在平行四边形ABCD中，动点P从点A出发沿AD以1cm/s速度向终点D运动，同时点Q从点C出发，以4cm/s速度沿射线CB运动，当点P到达终点时，点Q也随之停止运动，设点P运动的时间为t秒．(1)当PQ⊥BC时，t＝_________．(2)请问是否存在t的值，使得A，B，P，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．(3)若点P关于直线AQ对称的点恰好落在直线AB上，请求出t的值．6．如图，的对角线、相交于点O．且，，，点E在线段上从点B出发以的速度向点O运动，点F在线段上从点O出发以的速度向点D运动．若点E、F同时出发，设运动时间为t秒．(1)______，______．（用含t的代数式表示）(2)当t为何值时，四边形是平行四边形？(3)是否存在t，使得是以为底边的等腰三角形？若存在，请求出t的值，若不存在，说明理由．7．如图1，在平面直角坐标系中，点，点，且a，b满足．平移OA至CB（点O与点C对应，点A与点B对应），连接OC，AB．(1)填空：，，点B的坐标为；(2)点D，E分别是OA，AB边上的动点，连接DC，DE，M，N分别为DC，DE的中点，连接MN．当D，E分别在OA，AB边上运动时，MN是否存在最小值？若存在，求出MN的最小值；若不存在，请说明理由；(3)如图2，将线段CO绕点C逆时针旋转90°至CF，连接OF．P为线段OF上一点，以CP为直角边作等腰直角三角形CPQ，其中．试猜想，，三者之间有怎样的数量关系，并证明你的猜想．8．在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，且满足,现同时将点A，B分别向上平移4个单位长度，再向右平移2个单位长度，分别得到点A，B的对应点D，C，连接AD，BC，CD．（1）求点C，D的坐标．（2）求四边形ABCD的面积．（3）在y轴上是否存在点P，使三角形PAB的面积等于四边形ABCD的面积？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．9．如图，中，，，点是边上一动点，以的速度由向运动，同时点从点出发，在延长线上，以的速度向左运动，运动时间为秒，当点到达点时，两点停止运动．连接交于点，过点作于，过点作的垂线交延长线于，连接．（1）用含的代数式表示线段长度：________，________；（2）当取何值时，四边形是平行四边形？请写出推理过程．（3）在运动过程中，点是否总是的中点？请说明理由．（4）是否存在某一时刻，使得是等腰三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．10．在学习完了《18.1平行四边形的性质》之后，王老师在数学活动课上对下面一个问题让学生展开探究活动．问题情境：图1，在▱ABCD中，CA⊥AB，AB＝6cm，AC＝8cm，点O为AC的中点，动点P在BC边上运动，直线PO交AD于E．问题发现：数学智慧小组”通过积极的动手操作，观察，猜想，提出了如下问题：（1）在点P运动的过程中，始终存在PO＝OE，为什么？（2）在点P运动到PO⊥AC时，四边形ABPE是平行四边形，为什么？此时BP的长度是多少？（3）在点P运动的过程中，四边形ABPE的周长是否存在最小值？如果存在，则四边形ABPE的周长的最小值是cm；BP的长度为cm．问题解决：“数学智慧小组”欢迎您的加入，请开启您的“问题解决之旅”吧！11．如图，在中，E是BC的中点，连接AE，并延长交DC的延长线于点F（1）求证：AB=FC（2）连接DE，若AD=2AB，试判断DE与AF存在怎样的特殊位置关系？并说明理由12．已知，如图点P是△ABC的边BC上的一动点，点E与点P关于直线AB成轴对称，连接EP交AB于点F，连接AP、EC相交于点O，连接AE.（1）判断AE与AP的数量关系，并说明理由.（2）在点P的运动过程中，当AE∥BC时，判断AP与BP的数量关系，并说明理由.（3）若∠BAC=900，点P在运动过程中是否存在线段AP与线段EC互相平分的情况，若存在，请求出点P的位置；若不存在，请说明理由.13．如图，已知□ABCD边BC在x轴上，顶点A在y轴上，对角线AC所在的直线为y=+6，且AC=AB，若点P从点A出发以1cm/s的速度向终点O运动，同时点Q从点C出发以2cm/s的速度沿射线CB运动，当点P到达终点O时，点Q也随之停止运动．设点P的运动时间为t（s）．（1）直接写出顶点D的坐标（______，______），对角线的交点E的坐标（______，______）；（2）求对角线BD的长；（3）是否存在t，使S△POQ=S▱ABCD，若存在，请求出的t值；不存在说明理由．（4）在整个运动过程中，PQ的中点到原点O的最短距离是______cm，（直接写出答案）14．如图1，在中，点D、E分别在AB、AC上，，，求证：；若，把绕点A逆时针旋转到图2的位置，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点，连接MN，PM，PN．判断的形状，并说明理由；把绕点A在平面内自由旋转，若，，试问面积是否存在最大值；若存在，求出其最大值若不存在，请说明理由．15．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠B=45°，BC=10cm，过点A作AD∥BC，且点D在点A的右侧．点P从点A出发沿射线AD方向以每秒1cm的速度运动，同时点Q从点C出发沿射线CB方向以每秒2cm的速度运动，在线段QC上取点E，使得QE=2cm，连结PE，设点P的运动时间为t秒．（1）若PE⊥BC，则①PE=cm，CE=（用含t的式子表示）；②求BQ的长；（2）请问是否存在t的值，使以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

16．如图，在四边形ABCD中，，∠ADC＝90°，BC＝8cm，AD＝CD＝10cm，点E从点B出发，沿BC方向匀速运动，速度为2cm/s；同时，点F从点D出发，沿DA方向匀速运动，速度为3cm/s．过点E作EH⊥AD，垂足为H，EH与AC相交于点G，连结FG．设运动时间为t(s)()，解答下列问题：(1)求DH的长度(用含t的代数式表示)；(2)当EG≌AHG时，求t的值；(3)设四边形CDFG的面积为S()，求S与t之间的关系式；(4)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使得以点B，E，F，H为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．17．如图，中，，，将绕顶点A逆时针旋转得到．设旋转角度为度，AD交BC于点F，DE分别交BC、AC于点G、H．试探究以下问题：(1)当_______时，为直角三角形；(2)当且为等腰三角形时，求BF的值；(3)连接BD，是否存在角，使得四边形ABDH为平行四边形?如果存在，直接写出的大小：如果不存在，请说明理由．18．如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=-x+5与y轴交于点A，直线l：y=kx+b与x轴、y轴分别交于点B（-4，0）和点C，直线l1与直线l2交于点D（2，m）．(1)求直线l2的解析式；(2)若点E为线段BC上一个动点，过点E作EF⊥x轴，垂足为F，且与直线交于点G，当EG=6时，求点G的坐标；(3)问在平面上是否存在点H，使得以点A，C，D，H为顶点的四边形是平行四边形，若存在，直接写出所有满足条件的点H的坐标；若不存在，请说明理由．19．综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，，两点的坐标分别为，．将先向右平移4个单位后，再向下平移个单位，得到．(1)请你直接写出点，的坐标；(2)平行四边形与的重叠部分的形状是______，重叠部分的面积是______；(3)在平面内是否存在一点，使得以，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．20．如图，在中，，，过点A作，且点D在点A的右侧，点P，Q分别是射线，射线上的一点，点E是线段上的点，且，设，为y，则．当点Q为中点时，．(1)求，的长度；(2)若，求的长；(3)请问是否存在x的值，使得以A，B，E，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．21．问题探究：（1）如图1，平行四边形ABCD，∠ABC＝60°，AB＝3，BC＝5，M、N分别为AD、DC上的点，且DM+DN＝4，则四边形BMDN的面积最大值是．（2）如图2，∠ACB＝90°，且AC+BC＝4，连接AB，则△ABC的周长是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，说明理由．问题解决（3）如图3，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC交BD于O，已知∠AOB＝120°，且AC+BD＝10，则△AOD与△BOC的周长之和是否为定值？若是，求出定值；若不是，求出最小值．22．如图，在四边形ABCD中，，，∠BAD=45°，BC=8，DC=6，动点P沿射线DA的方向以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q在线段CB上以每秒1个单位长度的速度向点B运动，点P、Q分别从点D、C同时出发，设运动的时间为t（秒）（1）时，是否存在某一时刻t，使得与面积之比为2：3?若存在，求t的值；若不存在，请说明理由；（2）当t为何值时，点P在∠ABC的角平分线上?请说明理由；（3）设AQ中点为E，连接BD，与PQ相交于点F，若EF是的中位线，求此时点E到PQ的距离．23．如图，点是等边边上的一点（不与、重合），以为边作等边，过点，分别交、于点、，联结．（1）说明的理由；（2）说明为等边三角形的理由；（3）线段与存在怎样的数量关系和位置关系？并分别说明理由．24．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠B=45°，BC=10cm，过点A作AD//BC，且点D在点A的右侧．点P从点A出发沿射线AD方向以每秒1cm的速度运动，同时点Q从点C出发沿射线CB方向以每秒2cm的速度运动，在线段QC上取点E，使得QE=2cm，连结PE，设点P的运动时间为t秒．（1）①CE=（用含t的式子表示）②若PE⊥BC，求BQ的长；（2）请问是否存在t的值，使以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

参考答案1．（1）A(﹣2，0)，B(3，0)，C(0，2)，D(5，2)；（2）5，10；（3）存在，点P的坐标为(0，)【分析】（1）由OA，OB的长可直接写出点A，B的坐标，再依据平移与坐标变化的规律可求的点C、D的坐标；（2）可证四边形ABDC是平行四边形，由平行四边形的面积公式可求解；（3）设点P的坐标为（0，m），由三角形面积公式可得出答案．解：（1）OA＝2，OB＝3，∴A（﹣2，0）、B（3，0）．∵将点A，B分别向上平移2个单位，再向右平移2个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，∴C（0，2）、D（5，2）；∴A（﹣2，0），B（3，0），C（0，2），D（5，2）；（2）∵C（0，2），D（5，2），∴CD＝5，∵AB＝5，∴AB＝CD，∵AB∥CD，∴四边形ABDC是平行四边形，∵OC＝2，∴S四边形ABDC＝5×2＝10；故答案为：5，10；（3）设点P的坐标为（0，m），根据题意，得，解得m＝，∴点P的坐标为（0，）．【点拨】本题是四边形综合题，考查了平移与坐标变换的规律，平移的性质、平行四边形的性质，平行四边形的面积公式，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键．2．（1）当t＝时，四边形ABQP是平行四边形；（2）y＝t＋3；（3）存在，当t＝时，点O在线段AP的垂直平分线上【分析】（1）根据ASA证明△APO≌△CQO，再根据全等三角形的性质得出AP＝CQ＝t，则BQ＝5－t，再根据平行四边形的判定定理可知当AP∥BQ，AP＝BQ时，四边形ABQP是平行四边形，即t＝5－t，求出t的值即可求解；（2）过A作AH⊥BC于点H，过O作OG⊥BC于点G，根据勾股定理求出AC＝4，由Rt△ABC的面积计算可求得AH＝，利用三角形中位线定理可得OG=，再根据四边形OQCD的面积y=S△OCD＋S△OCQ＝OC·CD＋CQ·OG，代入数值计算即可得y与t之间的函数关系式；（3）如图2，若OE是AP的垂直平分线，可得AE＝AP＝，∠AEO＝90°，根据勾股定理可得AE2＋OE2＝AO2，由(2)知：AO＝2，OE＝，列出关于t的方程，解方程即可求出t的值．解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，AD∥BC，∴∠PAO＝∠QCO．又∵∠AOP＝∠COQ，∴△APO≌△CQO，∴AP＝CQ＝t．∵BC＝5，∴BQ＝5－t．∵AP∥BQ，当AP＝BQ时，四边形ABQP是平行四边形，即t＝5－t，∴t＝，∴当t＝时，四边形ABQP是平行四边形；（2）如图1，过A作AH⊥BC于点H，过O作OG⊥BC于点G．在Rt△ABC中，∵AB＝3，BC＝5，∴AC＝4，∴CO＝AC＝2，S△ABC＝AB·AC＝BC·AH，∴3×4＝5AH，∴AH＝．∵AH∥OG，OA＝OC，∴GH＝CG，∴OG＝AH＝，∴y＝S△OCD＋S△OCQ＝OC·CD＋CQ·OG，∴y＝×2×3＋×t×＝t＋3；（3）存在．如图2，∵OE是AP的垂直平分线，∴AE＝AP＝，∠AEO＝90°，由(2)知：AO＝2，OE＝，由勾股定理得：AE2＋OE2＝AO2，∴(t)2＋()2＝22，∴t＝或－(舍去)，∴当t＝时，点O在线段AP的垂直平分线上．故答案为（1）当t＝时，四边形ABQP是平行四边形（2）y＝t＋3（3）存在，当t＝时，点O在线段AP的垂直平分线上．【点拨】本题考查平行四边的判定与性质、勾股定理，三角形全等，解题的关键是掌握相应的判定定理．3．(1)C点的坐标为，点B的坐标为 (2) (3)存在，P的坐标为或或【分析】（1）利用非负数的性质求出OA，OC即可解决问题．（2）证明△ADO≌△CDB′（AAS），推出AD=CD，设AD=CD=m,则OD=4-m,在Rt△AOD中，根据，构建方程即可解决问题；（3）由（2）知，CD=，根据平行四边形的性质，分两种情况，求解，即可求出答案．解：（1）∴，∴，．∵四边形OABC是矩形∴，C点的坐标为，点B的坐标为（2）四边形OABC是矩形，∴，由折叠可知，，∴，∵∴∴设，则，在中∵∴解得即CD=（3）如图，由（1）知，OA=2，∴A（0，2），由（1）知，OC=4，由（2）知，CD=，∴OD=OC-CD=，∵以A，D，C，P为顶点的四边形是平行四边形，∴①当CD为边时，AP=CD=，∵CDAB，A（0，2），∴点P（-，2）或（，2）；②当AD为边时，AD=CP，∵点D是点A向右平移个单位，再向下平移2个得到，∴点P是由点C（4，0）向右平移个单位，再向下平移2个得到，∴P（，-2），∴存在由P的坐标为或或【点拨】此题是四边形综合题，主要考查了非负数的性质，折叠的性质，勾股定理，平行四边形的性质，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．4．(1) (2)存在，或 (3)1【分析】（1）利用平行四边形的性质得出，再利用角平分线的定义得出，即可得出结论；（2）利用平行四边形的性质即可得出，再分两种情况讨论计算即可得出结论；（3）利用平行四边形的性质经过平行四边形的中心的直线将平行四边形的面积二等分，再建立方程即可得出结论．（1）解：四边形是平行四边形，，，是的角平分线，，，，，；（2）由（1）知，，，，由运动知，，，，要使以、、、为顶点的四边形是平行四边形，只要，当点在边上时，，，当点在边的延长线上时，，，，或时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形；（3）如图，连接交于，线段将平行四边形面积二等分，必过的中点，，，，在和中，，，，由运动知，，，，，，，时，线段将平行四边形面积二等分，故答案为：1．【点拨】本题主要考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义；解（1）的关键是得出，解（2）的关键是分类讨论的思想建立方程求解，解（3）的关键是判断出．5．(1) (2)或4 (3)或【分析】（1）当PQ⊥BC时，设PQ与AC交于点O，设OC=2x，OA=2y，则OQ=x，OP=y，结合AC=OC+OA，建立等式求解即可．（2）当点Q在B的左侧时，根据题意，得AP=t，CQ=4t，QB=12-4t，当点Q在B的右侧时，根据题意，得AP=t，CQ=4t，QB=4t-12，建立等式求解即可．（3）分对称点M落在线段AB上和对称点M落在线段BA的延长线上，求解即可．解：（1）∵∠BAC=90°，∠B=60°,AB=6，动点P以1cm/s速度运动，点Q以4cm/s运动，∴AP=t，CQ=4t，BC=2AB=12，AC=．当PQ⊥BC时，设PQ与AC交于点O，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，PQ⊥AD，∠OCQ=∠PAO=30°，设OC=2x，OA=2y，则OQ=x，OP=y,∴解得，∴AC=OC+OA=，∴，解得t=．（2）存在，当t=或4时，理由如下：当点Q在B的左侧时，根据题意，得AP=t，CQ=4t，QB=12-4t，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AP∥BQ，当AP=QB时，四边形ABPQ就是平行四边形，故t=12-4t，解得t=；当点Q在B的右侧时，根据题意，得AP=t，CQ=4t，QB=4t-12，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AP∥BQ，当AP=QB时，四边形ABPQ就是平行四边形，故t=4t-12，解得t=4；故当t==或4时，以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形．（3）如图，当对称点M落在线段AB上时，根据题意，得AQ平分∠BAD，∵四边形ABCD是平行四边形，∠B=60°，∴AD∥BC，∠OCQ=∠PAO=30°，∠BAD=120°，∴∠OCQ=∠PAO=∠QAO=30°，∠PAQ=∠BAQ=60°，∴△AQB是等边三角形，∴AQ=QB=AB=6，∴CQ=BC-QB=6，∴4t=6，解得t=；如图，当对称点M落在线段BA的延长线上时，根据题意，得AQ的反向延长线HA平分∠PAM，∵四边形ABCD是平行四边形，∠B=60°，∴AD∥BC，∠DAM=60°，∴∠PAH=∠MAH=∠BAQ=30°，∵∠CBA=∠BAQ+∠AQB，∴∠AQB=30°，∴QB=AB=6，∴CQ=BC+QB=12+6=18，∴4t=18，解得t=；当点P关于直线AQ对称的点恰好落在直线AB上时，t=或．【点拨】本题考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，轴对称的性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质，勾股定理，轴对称的性质是阶梯的关键．6．(1) (2)当t为2秒时，四边形AECF是平行四边形．(3)存在，【分析】（1）利用平行四边形的性质证明结合点的运动速度与运动时间从而可得答案；（2）若是平行四边形，所以BD=12cm，则B0=DO=6cm，故有6-t=2t，即可求得t值；（3）由为等腰三角形，且为底边，可得再用含t的代数式分别表示AE，EF，再建立方程即可．（1）解：∵，，，∵故答案为：（2）∵四边形AECF为平行四边形，∴AO=OC，EO=OF，而EO=6-t，OF=2t，∴6-t=2t，∴t=2，∴当t为2秒时，四边形AECF是平行四边形．（3）存在，理由如下：为等腰三角形，且为底边，而解得：【点拨】本题考查的是等腰三角形的性质，勾股定理的应用，平行四边形的判定与性质，动点问题的探究，掌握“平行四边形的判定方法与方程思想的应用”是解本题的关键．7．(1)6，4，（9，4）(2)存在， (3)，证明见分析【分析】（1）根据二次根式有意义的条件和绝对值的意义求解即可；（2）连接CE，根据中位线定理可知MN=CE，当时，CE有最小值，根据三角形面积可求CE的值，即可求解；（3）连接QF，可证△OCP≌△FCQ，得OP=QF，在直角三角形QFP中，，可求解．（1）解：∵，，，∴，∴6-a=0，b-4=0，∴a=6，b=4．∴点B的坐标为(9，4)．故答案为：6，4，（9，4）．（2）解：MN存在最小值，理由是：连接CE，如图1，∵M、N分别是CD、DE的中点，∴MN=CE．当时，CE有最小值，∵C(3，4)，A(6，0)，∴OA=6，AB=OC=5，∴，∴MN=．（3）解：连接QF，如图2，由旋转可知，OC=OF，∠OCF=90°，∠O=∠CFO=45°．∵△CPQ为等腰直角三角形CPQ，∴CP=CQ，∠PCQ=90°，∠QCP=45°，∴∠OCF=∠PCQ，∴∠OCF-∠PCF=∠PCQ-∠PCF，即∠OCP=∠FCQ，在△OCP和△FCQ中，∴△OCP≌△FCQ（SAS），∴OP=QF，∠QFP=∠QFC+∠CFO=45°+45°=90°，∴，∵OP=QF，∴【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的中位线、勾股定理等知识，熟练掌握这些知识是解题的关键．8．（1），；（2）20；（3）存在，点的坐标为（0，8）或（0，8）【分析】（1）根据被开方数和绝对值大于等于0列式求出a和b，从而得到A、B的坐标，再根据向上平移4个单位，则纵坐标加4，向右平移2个单位，则横坐标加2，求出点C、D的坐标即可；（2）然后利用平行四边形的面积公式，列式计算；（3）设点的坐标为，表示出三角形的底和高，根据三角形的面积等于四边形的面积列出方程求解即可．解：（1）∵∴，．∴，∴，；∴，（2）．（3）在轴上存在点，使三角形的面积等于四边形的面积．设点的坐标为，则∴解得∴当点的坐标为（0，8）或（0，8），三角形的面积等于四边形的面积．【点评】本题是四边形综合题目，考查了平移的性质、平行四边形的性质、坐标与图形性质、平行线的性质、一元一次方程等知识；本题综合性强，难度适中．9．（1），；（2），见分析；（3）是，见分析；（4）存在，【分析】（1）由即可求得，在等腰中，勾股定理即可求得；（2）已知,根据，即可证明四边形平行四边形，列出方程，求解即可；（3）过作，证明四边形是平行四边形即可（4）由（3）的结论，，根据，列出方程，求解即可解：（1），，，，是等腰是等腰．（2）,当时，四边形是平行四边形是等腰

，解得：．当时，四边形是平行四边形（3）如图：过作，连接,又是等腰，．四边形是平行四边形点为对角线的交点即总是的中点．（4）由（3）四边形是平行四边形是等腰三角形所以为顶角，．，解得：．当，使得是等腰三角形．【点拨】本题考查了等腰三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，平行四边形的性质与判定，勾股定理，动点问题，熟悉以上知识是解题的关键．10．（1）见分析；（2）四边形ABPE是平行四边形，理由见分析，BP=5cm；（3），【分析】（1）证明△AEO△CPO即可说明PO=OE；（2）证明EP∥AB，即可证明四边形ABPE是平行四边形，利用三角形中位线定理即可求解；（3）求得四边形ABPE的周长为：6+10+PE=16+PE，得到当PE⊥BC时，PE最小，利用平行四边形的面积公式求得PE，即可求得四边形ABPE的周长最小值，根据△AEO△CPO以及勾股定理即可求得BP的长度．解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，点O为AC的中点，∴AE∥PC，AO=OC，∴∠EAO=∠PCO，∠AOE=∠COP，∴△AEO△CPO，∴PO=OE；（2）∵CA⊥AB，且PO⊥AC，∴PO∥AB，即EP∥AB，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AE∥BP，∵CA⊥AB，且AB=6cm，AC=8cm，∴BC=(cm)，∴四边形ABPE是平行四边形，∵点O为AC的中点，且PO∥AB，∴BP=PC=BC=5(cm)；（3）四边形ABPE的周长为：AB+BP+PE+AE，由（1）知△AEO△CPO，则AE=CP，∴BP+AE=BP+CP=BC=10，∴四边形ABPE的周长为：6+10+PE=16+PE，则PE最小时，四边形ABPE的周长最小，∴当PE⊥BC时，PE最小(垂线段最短)，∵BCPE=ABAC，∴PE=(cm)，∴四边形ABPE的周长最小值为16+=(cm)，∵△AEO△CPO，∴PO=EO=PE=(cm)，OC=AC=(cm)，∴PC=(cm)，∴BP=BC-PC=(cm)，故答案为：，．．【点拨】本题考查了平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．11．（1）见分析；（2）DE⊥AF，理由见分析【分析】（1）由在▱ABCD中，E是BC的中点，利用ASA，即可判定△ABE≌△FCE，继而证得结论；（2）由AD=2AB，AB=FC=CD，可得AD=DF，又由△ABE≌△FCE，可得AE=EF，然后利用三线合一，证得结论．解：证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DF，∴∠ABE=∠FCE，∵E为BC中点，∴BE=CE，在△ABE与△FCE中，∴△ABE≌△FCE（ASA），∴AB=FC；（2）DE⊥AF，理由是：∵AD=2AB，AB=FC=CD，∴AD=DF，∵△ABE≌△FCE，∴AE=EF，∴DE⊥AF．【点拨】此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．12．(1)相等，理由见分析；（2）相等，理由见分析；（3）存在，点P为BC的中点时，理由见分析【分析】(1)根据SAS证明△AEF≌△APF，再由全等三角形的面积得到AE＝AP；(2)由AE//BC可得∠EAB=∠B,由(1)可得∠EAB=∠BAP，所以∠B＝∠BAP，再根据等角对等边得BP＝AP；(3)当点P为BC的中点时，由直角三角形的斜边中点可得BP＝CP＝AP，从而得到∠B＝∠BAP，又由（1）可得AE＝AP＝PB＝PC和∠EAB=∠BAP，则∠B＝∠EAB，再得到AE//BC，再根据一组对边平行且相等可得四边形AEPC为平行四边形，由平行四边形的性质可得AP和EC互相平分.解：(1)∵点E与点P关于直线AB成轴对称，∴AB⊥EP且平分,∴∠AFE=∠AFP,EF=PF,在△AEF和△APF中，，∴△AEF≌△APF，∴AE＝AP;(2)如图所示：∵AE//BC，∴∠EAB=∠B,∵△AEF≌△APF，∴∠EAB=∠BAP，∴∠B＝∠BAP，∴BP＝AP;(3)存在，当点P为BC的中点时，∵P是BC的中点，∠BAC＝90o,∴BP=PC=AP,∴∠B=∠BAP,由（1）中△AEF≌△APF，∴∠EAB＝∠BAP，AE＝AP，∴∠B＝∠EAB，AE＝AP＝BP＝PC，∴AE//PC,AE=PC,∴四边形AEPC是平行四边形，∴AP和CE互相平分.【点拨】考查了平行四边形的判定与性质，解题关键是灵活运用直角三角边斜边上的中线和平行四边形判定、性质.13．（1）16；6；4；3；（2）BD=6；（3）存在，t值为2；（4）此时PQ的中点到原点O的最短距离为.【分析】（1）令x=0，y=0代入解析式得出A，C坐标，进而利用平行四边形的性质解答即可；（2）根据平行四边形的性质得出点B，D坐标，利用两点间距离解答即可；（3）利用三角形的面积公式和平行四边形的面积公式列出方程解答即可；（4）根据直角三角形斜边上中线等于斜边的一半可知，当PQ长度最短时，PQ的中点到原点O的距离最短解答即可．解：（1）把x=0代入y=+6，可得y=6，即A的坐标为（0，6），把y=0代入y=+6，可得：x=8，即点C的坐标为（8，0），根据平行四边形的性质可得：点B坐标为（-8，0），所以AD=BC=16，所以点D坐标为（16，6），点E为对角线的交点，故点E是AC的中点，E的坐标为（4，3），故答案为16；6；4；3；（2）因为B（-8，0）和D（16，6），∴BD=；（3）设时间为t，可得：OP=6-t，OQ=8-2t，∵S△POQ=S▱ABCD，当0＜t≤4时，，解得：t1=2，t2=8（不合题意，舍去），当4＜t≤6时，，△＜0，不存在,答：存在S△POQ=S▱ABCD，此时t值为2；（4）∵，当t=时，PQ=，当PQ长度最短时，PQ的中点到原点O的距离最短，此时PQ的中点到原点O的最短距离为PQ==【点拨】此题是一次函数综合题，主要考查了平行四边形的性质，待定系数法，利用平行四边形的性质解答是解本题的关键．14．（1）详见分析；（2）①△PMN是等腰直角三角形，理由详见分析；②【分析】利用平行线分线段成比例定理得出比例式即可得出，即可得出结论；利用三角形中位线定理和，判断出，即：是等腰三角形，再判断出，得出是等腰直角三角形；先判断出PM最大时，面积最大，即：点D在AB的延长线上，进而求出，即可得出PM的最大值即可．解：，，，，，是等腰直角三角形，理由：点P，M分别是CD，DE的中点，，，点N，M分别是BC，DE的中点，，，，，是等腰三角形，，，，，，，，，，是等腰直角三角形，由知，是等腰直角三角形，，最大时，面积最大，点D在AB的延长线上，，，．故答案为【点拨】此题是几何变换综合题，主要考查了平行线分线段成比例定理，三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判断和性质，直角三角形的性质，解的关键是判断出，，解的关键是判断出MN最大时，的面积最大，是一道中考常考题．15．（1）①5，2t－2；②BQ=；（2）存在t的值，使以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形，t=4或12s.试题分析：（1）①作AM⊥BC于M，由已知条件得出AB=AC，由等腰三角形的性质得出BM=CM，由直角三角形斜边上的中线性质得出AM=BC=5，从而得出PE的长，由CQ=2t，QE=2，得到CE的长；②证出△APN和△CEN是等腰直角三角形，得出PN=AP=t，CE=NE=5﹣t，由CE=CQ﹣QE=2t﹣2得出方程，解方程即可；（2）由平行四边形的判定得出AP=BE，得出方程，解方程即可．解：（1）①作AM⊥BC于M．∵∠BAC=90°，∠B=45°，∴∠C=45°=∠B，∴AB=AC，∴BM=CM，∴AM=BC=5．∵PE⊥BC，∴PE=AM=5．∵AP=t，CQ=2t，∴CE=2t-2．②由①可知：AM=BC=5．∵AD∥BC，∴∠PAN=∠C=45°．∵PE⊥BC，∴PE=AM=5，PE⊥AD，∴△APN和△CEN是等腰直角三角形，∴PN=AP=t，CE=NE=5﹣t．∵CE=CQ﹣QE=2t﹣2，∴5﹣t=2t﹣2，解得：t=，所以BQ=BC﹣CQ=10﹣2×=；（2）存在，t=4；理由如下：若以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形，则AP=BE，∴t=10﹣2t+2或t=2t﹣2﹣10解得：t=4或12，∴存在t的值，使以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形，t=4或12．【点拨】本题考查了平行四边形的判定、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识；根据题意得出t的方程是解决问题的突破口．16．(1)8-2t；(2)1.5；(3)S=3t2-7t+40；(4)t＝或t＝．【分析】（1）先得出CE=（8-2t）（cm），AF=（10-3t）（cm），再得出四边形CEHD是平行四边形即可求解；（2）先得出AH=（2+2t）（cm），再利用△CEG≌△AHG得出结论；（3）得出GH=AH，再利用S=S△ACD-S△AFG求解即可；（4）分两种情况解答，画出图形，根据图形及平行四边形的性质，得出BE=FH求解即可．解：（1）根据题意，得BE=2t（cm），DF=3t（cm），∴CE=（8-2t）（cm），AF=（10-3t）（cm），∵CD⊥AD，EH⊥AD，∴∠D=∠EHA=90°，∴，又∵，∴四边形CEHD是平行四边形，∴DH=CE=（8-2t）（cm）；（2）∵AD=10cm，DH=（8-2t）（cm），∴AH=AD-DH=10-（8-2t）=（2+2t）（cm），∵△CEG≌△AHG，∴CE=AH，∴8-2t=2+2t，∴t=1.5；（3）如图，∵CD=AD=10cm，∴∠1=∠2，∵∠D=90°，∴∠2=45°，又∵∠GHA=90°，∴∠3=45°，∴∠2=∠3，∴GH=AH=（2+2t）（cm），∴S=S△ACD-S△AFG=×AD×CD−×AF×GH=×10×10−×(10−3t)(2+2t)=3t2-7t+40（4）①如图，作BG⊥AD于点G，由题意得：BE=HG=2t（cm），AG=10-8=2cm，∵B，E，F，H为顶点的四边形为平行四边形，∴BE=FH，∴2t=10-2-2t-3t，解得：t=，②如图，由题意得：2t=3t-（8-2t），解得：t=，综上所述，t的值为：t＝或t＝．【点拨】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是注意分类讨论思想的运用．17．(1)60°或90° (2)BF的值为或 (3)不存在；理由见分析【分析】（1）分两种情况：①当∠AFB＝90°时；由角的互余关系即可求出结果；②当∠BAF＝90°时，即α＝90°；（2）分两种情况：①当AD＝DH时，作FN⊥AB于N，设FN＝x，则BF＝2x，，AN＝FN＝x，根据题意得出方程，解方程即可得出结果；②当AH＝DH时，∠DAH＝∠D＝30°，由勾股定理即可求出BF；（3）若四边形ABDH为平行四边形，则，得出α＝∠D＝30°，由等腰三角形的性质得出∠ADB≠∠DAH，得出BD与AH不平行，即可得出结论．（1）解：分两种情况：①当∠AFB＝90°时，α＝90°−∠B＝60°；②当∠BAF＝90°时，即α＝90°；综上分析可知，当α＝60°或90°时，△ABF为直角三角形．故答案为：60°或90°．（2）解：分两种情况：①当AD＝DH时，∠DAC＝∠AHD＝（180°−30°）＝75°，∵，，∴∠B=∠C=30°，∴∠BAC=180°-30°-30°=120°，∴∠BAD＝∠BAC-∠DAC=45°，∵∠FNA=90°，∴∠NFA=90°-45°=45°，∴∠BAD=∠NFA，∴AN=NF，作FN⊥AB于N，如图所示：设FN＝x，则BF＝2x，，AN＝FN＝x，则，解得：，∴；②当AH＝DH时，∠DAH＝∠D＝30°，∴∠BAF＝120°−30°＝90°，设AF=x，则BF=2x，根据勾股定理得：，即，解得：，∴；综上分析可知，当△ADH为等腰三角形时，BF的值为或．（3）解：不存在，理由如下：若四边形ABDH为平行四边形，则，∴α＝∠D＝30°，∵AB＝AD，∴∠ADB＝∠ABD＝75°，∵AB＝AC＝2，∠B＝30°，∴∠BAC＝120°，∴∠DAH＝90°，∠ADB≠∠DAH，∴BD与AH不平行，∴四边形ABDH不是平行四边形；∴不存在角α，使得四边形ABDH为平行四边形．【点拨】本题是几何变换综合题目，考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质、平行四边形的判定与性质等知识，本题综合性强，难度较大，需要进行分类讨论才能得出结果．18．(1)直线l2的解析式为y=x+2；(2)G（-2，7）；(3)存在点H，使得以点A，C，D，H为顶点的四边形是平行四边形，点H的坐标为（2，0）或（2，6）或（-2，4）【分析】（1）根据题意求出D点的坐标，然后用待定系数法求出直线l2的解析式即可；（2）设出G点的坐标，根据直线解析式得出E点坐标，根据EG=6，列方程求解即可得出G点的坐标；（3）分AC为对角线，AD为对角线，CD为对角线三种情况分别讨论求出H点的坐标即可．解：（1）解：∵当x=2时，y=-2+5=3=m，∴D（2，3），设直线l2的解析式为y=kx+b，由题意得：，解得，∴直线l2的解析式为y=x+2；（2）解：∵EF⊥x轴，∴G，E的横坐标相同，设G（n，-n+5），则E（n，n+2），∴FG=-n+5，FE=n+2，∴EG=FG-FE=（-n+5）-（n+2）=-n+3=6，解得：n=-2，∴G（-2，7）；（3）解：存在，点H的坐标为：（2，0）或（2，6）或（-2，4），①如下图，当四边形AHCD是以AC为对角线的平行四边形时，令x=0，则y=×0+2=2，∴C（0，2），∵CH∥AD，∴直线CH的解析式为y=-x+2，令x=0，则y=-1×0+5=5，∴A（0，5），∵AH∥CD，∴直线AH的解析式为y=-x+5，∴，解得，∴此时H（-2，4）；②如下图，当四边形AHDC是以AD为对角线的平行四边形时，∵DH∥AC，∴直线DH的解析式为x=2，∵DH=AC=3，D（2，3），∴H（2，6）；③如下图，当四边形AHDC是以CD为对角线的平行四边形时，∵DH∥AC，∴直线DH的解析式为x=2，∵DH=AC=3，D（2，3），∴H（2，0）；综上所述，符合条件的H点的坐标为：（2，0）或（2，6）或（-2，4）．【点拨】本题主要考查一次函数的图像和性质，熟练掌握一次函数的图像和性质，平行四边形的性质等知识是解题的关键．19．(1)， (2)平行四边形； (3)存在，点D的坐标是或或【分析】（1）根据点的平移规律计算即可得到答案；（2）过点作轴于点，根据图形的平移规律可判定其重叠部分是平行四边形，由题意可算出，根据三角形中位线和平行四边形的性质可得到，，进而算出其重叠部分的面积；（3）分两种情况①当为平行四边形的边时根据平行四边形和平移性质求出相应的点坐标；②当为平行四边形的对角线时，根据平行四边形和平移性质求出相应的点坐标．解：(1)∵先向右平移4个单位后，再向下平移个单位，得到，∴点，点向右平移4个单位后，再向下平移个单位分别得到，，∵，，∴，．故答案为：，．(2)过点作轴于点，∵四边形和四边形是平行四边形，∴，，∵经平移得到，∴，∴，同理，∴平行四边形与的重叠部分的形状是平行四边形．∵四边形是平行四边形，，∴，．∵点的坐标为，∴点的坐标为，∵，∴点在线段上，，．∴点是线段的中点，∵轴，∴点平分线段∴是的中位线，∴，∵，，∴，∴．∴故答案为：平行四边形；．(3)存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形．如图，当为平行四边形的边时，，，．①四边形为平行四边形，∵点向左平移2个单位，再向平移3个单位后得到，∴点向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得到，∴②四边形为平行四边形，∵点向左平移2个单位，再向下平移3个单位后得到，∴点向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得到，∴；当为平行四边形的对角线时，即为平行四边形的边时，∵点向右平移2个单位，再向上平移个单位后得到，∴点向右平移2个单位，再向上平移个单位后得到，∴．综上所述，点的坐标是或或．【点拨】本题考查了平移变换，平行四边形，三角形中位线定理等知识点，熟练掌握平行四边形的性质与判定和平移规律是解本题的关键．20．(1)， (2) (3)存在，或12【分析】（1）根据题意，由可列方程并求解，可得，进而得到CE、CQ的长，再由求QE的长度即可；由点Q为中点，可知，可计算BC的长；（2）过点A作于点M，PE交AC于点N，由等腰三角形的性质可知，再证明四边形AMEP为平行四边形，推导，由列方程并求解，可依次求得AP、CQ的长度，由计算BQ的长度即可；（3）分两种情况讨论：当点Q、E在线段BC上时以及当点Q、E在线段CB的延长线上时，根据平行四边形的性质可知，根据题意分别列方程求解即可．（1）解：如下图，由题意可知，，即，解得，即，∴，，∴，∵点Q为中点，∴；（2）如下图，过点A作于点M，PE交AC于点N，∵，，∴，∴，，∵，，∴，又∵，∴四边形AMEP为平行四边形，∴，∵，由可知，，解得，即，∴，∴；（3）存在，理由如下：①如下图，当点Q、E在线段BC上时，若以A，B，E，P为顶点的四边形是平行四边形，则，∵，∴，∴，解得；②如下图，当点Q、E在线段CB的延长线上时，若以A，B，E，P为顶点的四边形是平行四边形，则，∵，∴，∴，解得．综上所述，当以A，B，E，P为顶点的四边形是平行四边形时，或12．【点拨】本题主要考查了平行四边形的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识，解题关键是用方程的思想解决问题．21．（1）；（2）存在，4+2；（3）不是，周长之和的最小值为15【分析】（1）先求出平行四边形的面积，利用面积和差关系可得四边形的面积，则当有最小值时，四边形的面积有最大值，即可求解；（2）在中，由勾股定理可求的长，由线段的和差关系可求解；（3）如图3，过点作，交的延长线于，过点作于，可证四边形是平行四边形，可，，则与的周长之和为，由直角三角形的性质可求的长，即可求解．解：（1）过点作，交延长线于，过点作，交的延长线于，四边形是平行四边形，，，，，，，，，，，，四边形的面积，，，∴四边形的面积，四边形的面积，则当有最小值时，四边形的面积有最大值，，，，，，当时，四边形的面积，故答案为；（2）存在，设，，，，的周长，当时，的周长的最小值为；（3）与的周长之和不是定值，理由如下：如图3，过点作，交的延长线于，过点作于，，，四边形是平行四边形，，，，设，则，，，，，，，，，与的周长之和不是定值，当时，与的周长之和的最小值为15．【点拨】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，添加恰当辅助线构造直角三角形是