2024-2025学年山东省济南市历城第一中学高一下学期期中考试数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年山东省济南市历城第一中学高一下学期期中考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.复数z满足：(1−i)z=1+i，其中i为虚数单位，则z的共轭复数在复平面对应的点的坐标为(

)A.(0,−1) B.(0,1) C.(−1,0) 2.设m，n，l是不同的直线，α,β是两个不同的平面，给出下列说法，其中正确的是(

)A.若m//α,n//α，则m//n B.若m//α,m//β，则α//β3.已知平面向量a=3,−1,bA.2 B.3 C.4 D.54.已知一组数据：x1,x2,x3的平均数是5，方差是4，则由2x1+1A.16 B.14 C.12 D.115.掷一枚质地均匀的骰子，记事件A=“出现的点数不超过3”，事件B=“出现的点数是3或6”.则事件A与B的关系为(

)A.事件A与B互斥 B.事件A与B对立 C.事件A与B独立 D.事件A包含于B6.在▵ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B=30°，b=2，c=2A.C=45° B.A=15°

C.a=37.在三棱锥P−ABC中，AB=AC=4，∠BAC=120°，PA=6，点P在平面ABC上投影为A，则三棱锥P−ABC的外接球的表面积为(

)A.100π B.75π C.80π8.在锐角▵ABC中，角A , B , C所对的边分别为a , b , A.(36 , 12) B.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知复数z1,z2，其中iA.i2025=i B.z1>z2，则10.已知点O在▵ABC所在的平面内，则下列命题正确的是(

)A.若O为▵ABC的外心，AB=6,AC=4，则AO⋅BC=10

B.若O为▵ABC的垂心，AB⋅AC=2，则AO⋅AB=2

C.若OA+5OB−2OC=0，则11.已知直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠ACB=90°,AA1=2AC=A.直三棱柱ABC−A1B1C1外接球的半径为2

B.三棱锥P−MNA的体积与P的位置无关

C.若P为B1C1的中点，则过A,M,P三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.有一个多边形水平放置的斜二测直观图是直角梯形(如图所示)，∠ABC=45°，AB=AD=2，DC⊥BC，则原多边形面积为

．13.已知正四棱台ABCD−A1B1C1D1中，14.已知平面向量a，b，c满足c⊥a+b，a⋅c=c=1四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分已知a、b、c分别为▵ABC三个内角A、B、C的对边，a(1)求A；(2)若a=2，▵ABC的面积为3，求b、c16.(本小题15分为普及抗疫知识､弘扬抗疫精神，某学校组织防疫知识竞赛.比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛.已知在第一轮比赛中，选手甲､乙胜出的概率分别为56，3在第二轮比赛中，甲､乙胜出的概率分别为23，34.(1)从甲､乙两人中选取1人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？(2)若甲､乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率．17.(本小题15分)以简单随机抽样的方式从某小区抽取100户居民用户进行用电量调查，发现他们的用电量都在50∼400kw⋅h之间，进行适当分组后((1)求直方图中x的值；(2)估计该小区居民用电量的平均值和中位数；(3)从用电量落在区间[300 , 400)内被抽到的用户中任取2户，求至少有18.(本小题17分如图所示，正四棱锥P−ABCD，PA=1，底面边长AB=22，M为侧棱PA(1)求正四棱锥P−ABCD的体积；(2)若S为PB的中点，证明：PD//平面SAC(3)侧棱PD上是否存在一点E，使CE//平面MBD，若存在，求出PEED19.(本小题17分)《几何原本》是古希腊数学家欧几里得创作的一部传世巨著，该书以基本定义、公设和公理作为推理的出发点，第一次实现了几何学的系绕化、条理化，成为用公理化方法建立数学演绎体系的最早典范．书中第Ⅰ卷第47号命题是著名的毕达哥拉斯(勾股定理)，证明过程中以直角三角形ABC中的各边为边分别向外作了正方形(如图1).某校数学兴趣小组对上述图形结构作拓广探究，提出了如下问题，请帮忙解答．问题：如图2，已知▵ABC满足AC=22，AB=2，设∠BAC=0(0<θ<π

(1)当θ=π2时，求(2)求AQ长度的最大值．

参考答案1.A

2.C

3.C

4.C

5.C

6.D

7.A

8.A

9.AC

10.BD

11.ABD

12.8+213.44

14.2

15.解：(1)根据正弦定理，a变为sinAcosC+也即sinA所以sinA整理，得3sinA−cosA=1所以A−π6=(2)由A=π3，S▵由余弦定理，得a2则(b+c)2=a216.解：(1)设A1=“甲在第一轮比赛中胜出”，A2=“甲在第二轮比赛中胜出”B1=“乙在第一轮比赛中胜出”，∵PA1=56∴P同理P因为59所以，派甲参赛获胜的概率更大．(2)由(1)知，设C=“甲赢得比赛”，D=“乙赢得比赛”，∵PC=1−P于是C∪∴P(C

17.解：(1)由(0.0004+0.0008+2x+0.0036+0.0044+0.006)×50=1(2)平均值(0.0024×∵用电量落在区间[50 ,∴中位数落在区[150 , 200)解得a=183.3．(3)由题频率分布直方图可知，用电量落在区间[300 , 350)的用户有100×0.0008×50=4户，记为A1 , ∴从A1 , A2 , A3E={(A1 ∴P(E)=9即至少有1户落在区间[350 ,18.解：Rt▵POA中，PA=1，AO=12所以V=1(2)由正方形ABCD可得O为AC的中点，而PS=SB，∴SO又SO⊂平面SAC，PD⊂平面∴PD//平面(3)存在，PEED=2.理由如下：作AP中点F，连结EF，EC，∵PFFM=又EF⊂平面MBD，MD⊂平面∴EF//平面∵AMMF=又CF⊂平面MBD，MO⊂平面∴CF//平面又CF∩EF=F,CF,EF⊂∴平面CEF//平面MBD，而CE⊂平面∴CE//平面19.解：(1)在▵ABC中，AC=22，AB=2，∠BAC=π2，则