湖南省娄底市2024届九年级下学期4月期中考试数学试卷(含解析)

湖南省娄底市2023-2024学年九年级下学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．有理数2024的相反数是（

）A．2024 B． C． D．2．流感病毒中甲型流感的致病力最强，该病毒的直径大约是0.000000086米，0.000000086这个数字用科学记数法可表示为（

）A． B． C． D．3．如图，是一个正方体的表面展开图，则原正方体中与“赢”字所在的面相对的面上标的字是（）

A．中 B．考 C．胜 D．利4．下列计算正确的是（

）A． B． C． D．5．已知，则的值约为（

）A． B． C． D．6．如图，是的直径，弦，若，则的度数为（

）A． B． C． D．7．反比例函数的图象经过点，则下列说法错误的是（）A． B．函数图象分布在第二、四象限C．函数图象关于原点中心对称 D．当时，y随x的增大而减小8．植树节的起源可以追溯到中国古代“孟春之月，盛德在木”的传统观念，这体现了古人对树木的深深敬仰．某校在“植树节”期间带领学生开展植树活动，甲、乙两班同时开始植树，甲班比乙班每小时多植3棵树，植树活动结束时，甲、乙两班同时停止植树，甲班共植70棵树，乙班共植50棵树．设甲班每小时植x棵树，依题意可列方程为（

）A． B． C． D．9．若，，则的值为（

）A．1 B．2 C． D．10．如图，抛物线与x轴交于点．点，是抛物线上两点，当时，二次函数最大值记为，最小值记为，设，则m的取值范围是（

）A． B． C． D．二、填空题11．若二次根式有意义，则x的取值范围是．12．正多边形的每个内角等于，则这个正多边形的边数为条．13．有一组数据：3，5，7，6，8，8，9，则这组数据的中位数是．14．因式分解：．15．分式方程的解是．16．两个三角形如图摆放，其中∠BAC＝90°，∠EDF＝100°，∠B＝60°，∠F＝40°，DE与AC交于M，若，则∠DMC的大小为．

17．如图，点A，C在双曲线上，点B，D在双曲线上，轴，且四边形是平行四边形，则的面积为．18．如图，四边形ABCD中，∠ADC＝90°，AC⊥BC，∠ABC＝45°，AC与BD交于点E，若AB＝，CD＝2，则△ABE的面积为．三、解答题19．计算：．20．先化简，再求值：，其中，．21．某校组织学生观看“天宫课堂”第二课直播，跟着空间站的翟志刚、王亚平、叶光富三位宇航员学习科学知识，他们相互配合，生动演示了四个实验：（A）微重力环境下的太空“冰雪”实验，（B）液桥演示实验，（C）水油分离实验，（D）太空抛物实验．观看完后，该校对部分学生对四个实验的喜爱情况作了抽样调查，将调查情况制成了如下的条形统计图和扇形统计图．请根据图中信息，回答下列问题：(1)共调查了_________名学生，图2中A所对应的圆心角度数为_________；(2)请补全条形统计图；(3)若从两名男生、两名女生中随机抽取2人参加学校组织的“我爱科学”演讲比赛，请用列表或画树状图的方法，求抽到的学生恰好是一男一女的概率．22．为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装避阳篷，便于社区居民休憩．如图，在侧面示意图中，遮阳篷长为米，与水平面的夹角为，且靠墙端离地高为米，当太阳光线与地面的夹角为时，求阴影的长．（结果精确到米；参考数据：）

23．“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．某中学为了落实“双减”政策，丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号“文房四宝”，经过调查得知：每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵元，买套甲型号和套乙型号共用元．(1)求每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是多少？(2)若学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共套，总费用不超过元，并且根据学生需求，要求购进乙型号“文房四宝”的数量必须低于甲型号“文房四宝”数量的倍，问有几种购买方案？最低费用是多少？24．如图，在菱形中，对角线，交于点O，过点A作的垂线，垂足为点E，延长到点F，使，连接．

(1)求证：四边形是矩形；(2)若，，求的长．25．如图，O是△ABC的外心，I是△ABC的内心，连接AI并延长交BC和⊙O于D，E．(1)求证：EB=EI；(2)若AB=8，AC=6，BE=4，求AI的长．26．如图，抛物线：与轴相交于，两点（点在点的左侧），已知点的横坐标是2，抛物线的顶点为．(1)求的值及顶点的坐标；(2)点是轴正半轴上一点，将抛物线绕点旋转后得到抛物线，记抛物线的顶点为，抛物线与轴的交点为，（点在点的右侧）．当点与点重合时（如图1），求抛物线的表达式；(3)如图2，在（2）的条件下，从，，中任取一点，，，中任取两点，若以取出的三点为顶点能构成直角三角形，我们就称抛物线为抛物线的“勾股伴随同类函数”．当抛物线是抛物线的勾股伴随同类函数时，求点的坐标．《湖南省娄底市2023-2024学年九年级下学期期中数学试题》参考答案1．B解：有理数2024的相反数是，故选：B．2．C解：，故选：C．3．B解：原正方体中与“赢”字所在的面相对的面上标的字是“考”．故选：B．4．C解：A．，故本选项不合题意；B．，故本选项不合题意；C．，故本选项符合题意；D．，故本选项不合题意；故选：C．5．D∴故选：D6．B解：∵是的直径，弦，∴，∴．故选：B7．D解：反比例函数的图象经过点，，故选项正确，不合题意；，此函数图象的两个分支位于二四象限，故选选项正确，不合题意；反比例函数的图象关于原点对称，故选项正确，不合题意；反比例函数图象的两个分支位于二四象限，当时，随着的增大而增大，故选项错误，符合题意．故选：D8．A解：设甲班每小时植x棵树，则乙班每小时植棵树，根据题意，可如甲、乙两班植树时间相同，可列方程，故选：A．9．A解：∵，∴，∴∴，故选A．10．D解：抛物线对称轴为直线，当点P，Q均在对称轴左侧时，有，，，则，∵m随t的增大而减小，，∴当点P在对称轴左侧，Q在对称轴右侧时①若点P距对称轴的距离大于点Q距对称轴的距离时，有，，，则，对称轴：，在对称轴左侧m随t的增大而减小，∴②若点P距对称轴的距离小于点Q距对称轴的距离时，当时，，，则，对称轴：，在对称轴右侧m随t的增大而增大，∴，∵，∴点P，Q不可能均在对称轴右侧．综上可得：，故答案为D．11．解：根据题意，使二次根式有意义，即x﹣2≥0，解得：x≥2．故答案为：x≥2．12．12多边形内角和为180º（n-2）,则每个内角为180º（n-2）／n＝,n=12,所以应填12.13．7解：把这组数据按照从小到大的顺序排列，3，5，6，7，8，8，9；∴这组数据的中位数是7；故答案为7．14．解：原式＝．故答案为：．15．解：，等号两边同时乘以，得，去括号，得，移项、合并同类项，得，经检验，是该分式方程的解，所以，该分式方程的解为．故答案为：．16．110°/110度解：延长ED交BC于点G，

∵∠BAC＝90°，∠EDF＝100°，∠B＝60°，∠F＝40°，∴∠C＝30°，∠E＝40°，∵，∴∠EGC＝∠E=40°，∴∠DMC＝180°-∠EGC-∠C=110°．故答案为：110°17．8解：设，，轴，四边形是平行四边形，轴，，，，，，，边上的高，的面积，故答案为：8．18．解：过点D作DF⊥AC于点F，∵AC⊥BC，∠ABC＝45°，∴△ABC为等腰直角三角形，∴，∵∠ADC＝90°，CD=2，∴，∵，∴，∴，∴，∵DF∥BC，∴△DEF∽△BEC，∴，即，解得：，∴，∴．故答案为：19．解：．20．，100．解：原式．当，时．原式．21．(1)50，；(2)详见解析；(3)，详见解析．（1）共调查的学生人数为：（名），∴图2中A所对应的圆心角度数为：，故答案为：；（2）（2）由图知，D的人数为：（人），∴C的人数为：（人），补全条形统计图如下：（3）（3）画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中抽到的学生恰好是一男一女的结果有8种，∴抽到的学生恰好是一男一女的概率为．22．米解：如图所示，过点作于点，于点，则四边形是矩形，

依题意，，（米）在中，（米），（米），则（米）∵（米）∴（米）∵，∴（米）∴（米）．23．(1)每套甲型号“文房四宝”的价格是元，则每套乙型号“文房四宝”的价格是元(2)种；元（1）解：设每套甲型号“文房四宝”的价格是元，则每套乙型号“文房四宝”的价格是元，由题意可得，解得，答：每套甲型号“文房四宝”的价格是元，则每套乙型号“文房四宝”的价格是元；（2）解：设需购进乙种型号“文房四宝”套，则需购进甲种型号“文房四宝”套，由题意可得：，

解得，又∵为正整数，∴可以取，；∴共有种购买方案，方案：购进套甲型号“文房四宝”，套乙型号“文房四宝”；方案：购进套甲型号“文房四宝”，套乙型号“文房四宝”；∵每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵元，∴甲型号“文房四宝”的套数越少，总费用就越低，∴最低费用是（元）．24．(1)见解析(2)（1）证明：∵四边形是菱形，∴，且，∵，∴，即，∴，∵，∴四边形是平行四边形，∵，∴四边形是矩形．（2）∵四边形是菱形，∴，，，∵，∴，在中，由勾股定理可得：∴，∴，∵，∴，∴．25．(1)见解析(2)AI=4（1）证明：∵I是△ABC的内心，∴AE平分∠CAB，BI平分∠ABC，∴∠BAE=∠CAE，∠ABI=∠CBI，∵∠BIE=∠BAE+∠ABI，∠IBE=∠IBD+∠EBD，∵∠CBE=∠CAE，∴∠BIE=∠EBI，∴EB=EI；（2）解：连接EC，过点E作EM⊥AB，EN⊥AC交AC的延长线于N，则EM=EN，∵∠BAE=∠CAE，∴=，∴BE=EC=4．∵AE=AE，EM=EN，∴△AEM≌△AEN，∴AM=AN．∵BE=EC，EM=EN，△BME≌△CNE(HL)，∴BM=CN．设BM为x，则8-x=6+x，解得x=1，即BM=1，∴AM=7．又∵BE=4，由勾股定理得，EM==．∴AE==8，∵EI=BE=4，∴AI=AE−EI=4．26．(1)，(2)(3)点的坐标为或或（1）解：由，可得，∴顶点的坐标为，∵点在抛物线上，∴可得，解得；（2）对于抛物线：，由（1）可知，，令，可得，整理可得，解得，，∵点在点的左侧，∴，；如下图，连接，作轴于，作轴于，∵，∴，根据题意，点，关于点成中心对称，∴过点，且，在和中，，∴，∴，，∴抛物线的顶点的坐标为，∵抛物线由绕点旋转后得到，∴抛物线的函数表达式为；（3）∵抛物线由绕轴上的点旋转后得到，∴顶点，关于点成中心对称，由（2）知，点的纵坐标为8，设点，如下