模拟测试卷06（新高考全国Ⅰ卷）

2023年新高考全国Ⅰ卷模拟测试卷06一、单选题1．设集合，，则集合中元素的个数为（

）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】C【分析】用列举法写出集合的元素即可.【解析】因为集合，，所以集合中元素为，共4个.故选：C2．已知，i是虚数单位，复数在复平面内对应的点在第四象限，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简，再由实部大于0且虚部小于0联立不等式组求解．【解析】解：复数，对应点在第四象限，则，解得：．实数的取值范围是．故选：．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题．3．设向量，，且，则实数（

）A．8 B．7 C．6 D．5【答案】B【分析】根据平面向量垂直的坐标表示求解.【解析】因为向量，，所以，因为，所以，所以，解得，故选:B.4．24小时内降落在某面积上的雨水深度（无渗漏、蒸发、流失等，单位：mm）叫做日降雨量，等级如下划分：降水量（mm）0.19.91024.92549.95099.9等级小雨、阵雨中雨大雨暴雨某同学用一个圆锥形容器接了24小时的雨水，如图所示，则那天降雨属于哪个等级（

）A．小雨 B．中雨 C．大雨 D．暴雨【答案】C【分析】利用圆锥内积水的高度，求出圆锥内积水部分的半径，求出积水的体积，再求出平面上积水的深度，由此确定降雨等级.【解析】作截面图如下，由已知，，，，设圆锥内积水部分的底面半径为，则，故，由锥体体积公式可得积水的体积，因为收集雨水的平地面积为圆锥的底面，故其面积所以对应的平地上的积水深度为所以该天降雨的等级为大雨.故选：C.5．足球是一项大众喜爱的运动,为了解喜爱足球是否与性别有关,随机抽取了若干人进行调查,抽取女性人数是男性的2倍,男性喜爱足球的人数占男性人数的,女性喜爱足球的人数占女性人数的,若本次调查得出“在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜爱足球与性别有关”的结论,则被调查的男性至少有（

）人a0.100.050.010.0050.0012.7063.8415.6357.87910.828A．10 B．11 C．12 D．13【答案】C【分析】根据题意,设出男生人数,从而计算出列联表,再算出7.879比较即可.【解析】设被调查的男性为人,则女性为人,依据题意可得列联表如下表:男性女性合计喜爱足球不喜爱足球合计,因为本次调查得出“在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜爱足球与性别有关”的结论,所以有,即,解得,又因为上述列联表中的所有数字均为整数,故的最小值为12.故选:C.6．设、分别为双曲线的左右焦点，O为坐标原点，过左焦点作直线与圆切于点E，与双曲线右支交于点P，且为等腰三角形，则双曲线的离心率为（

）A． B．2 C． D．【答案】A【分析】根据给定条件，确定，结合圆的切线性质及双曲线定义列式计算作答.【解析】因为直线与圆切于点E，则，而为等腰三角形，必有，E为的中点，而O为中点，于是，有，且，令双曲线焦距为2c，由，得，即，有，所以双曲线的离心率.故选：A7．已知函数在区间上单调递增，且在区间上只取得一次最大值，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用辅助角公式变形函数，结合函数单调区间和取得最值的情况，利用整体法即可求得参数的范围.【解析】依题意，函数，，因为在区间上单调递增，由，则，于是且，解得且，即，当时，，因为在区间上只取得一次最大值，因此，解得，所以的取值范围是.故选：B8．已知定义在R上的函数的导函数为，满足，且，当时，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】设，由时，可得在上单调递增，由，可得.A选项，比较与大小即可判断选项正误；B选项，比较与大小即可判断选项正误；C选项，比较1与大小即可判断选项正误；D选项，比较与大小即可判断选项正误；【解析】因，则，则函数在上单调递增；因，则.A选项，，故A错误；B选项，注意到，则，故B错误；C选项，，故C错误；D选项，，故D正确.故选：D【点睛】关键点睛：本题关键为通过题目条件构造出函数，并得到其单调性与对称性，若难以想到，可以通过选项形式得到提示.二、多选题9．a，b为两条直线，，为两个平面，则以下命题不正确的是（

）A．若，，则 B．若，，则C．若，，，，则 D．若，，则【答案】ABC【分析】对A，注意判断的情况；对B，注意可能相交或异面；对C，讨论a，b的相交情况，即可判断；对D，根据平面平行的性质判断即可.【解析】对A，由，，可得或，A错误；对B，由，，可得直线可能相交，异面或平行，B错误；对C，，则当相交时，；当平行时，则或相交，C错误；对D，由，，根据平行平面的性质可得，D正确，故选：ABC.10．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是奇数”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是偶数”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是奇数”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，则（

）A．乙发生的概率为 B．丙发生的概率为C．甲与丁相互独立 D．丙与丁互为对立事件【答案】ACD【分析】先计算出甲乙丙丁的概率，故可判断AC的正误，再根据独立事件的乘法公式可判断C的正误，根据对立事件的意义可判断D的正误.【解析】设为事件“第一次取出的球的数字是奇数”，为事件“第二次取出的球的数字是偶数”，为事件“两次取出的球的数字之和是奇数”，为事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，则，，故A正确.，，故B错误.而，故C正确.两次取出的数字之和要么为奇数，要么为偶数，故丙与丁互为对立事件，故D正确.故选：ACD.11．设和分别为数列和的前n项和.已知，，则（

）A．是等比数列 B．是递增数列C． D．【答案】ACD【分析】由已知结合的关系及等比数列的定义判断数列即可确定A、C正误，应用作差法比较的大小关系判断B正误，利用错位相减法求，再由作差法判断的大小判断D.【解析】由，当时，，即，又，∴，即，∴是首项为，公比为的等比数列，故，A正确；由，则，即是递减数列，B错误；又，则，C正确；①，②，①②得：，∴，则，∴，D正确.故选：ACD.【点睛】关键点点睛：利用及等比数列的定义求的通项公式，综合运用作差法、错位相减法比较大小判断数列单调性、求前n项和，进而判断各选项的正误.12．已知函数（且），且，，，则下列结论正确的是（

）A．为R上的增函数 B．无极值C． D．【答案】ABC【分析】先求导，分析函数的单调性和极值，再利用指数函数和对数函数的单调性比较a，b，c的大小，利用函数的单调性比较对应函数值的大小.【解析】解：已知函数（且），则，则，所以，故在R上单调递增，A选项正确；因为为R上的增函数，所以无极值，B选项正确；因为是增函数，所以，因为是减函数，所以，因为是减函数，所以，综上可知，，又为增函数，则，C选项正确，D选项错误；故选：ABC.三、填空题13．若函数为奇函数，则___________.【答案】【分析】根据奇函数的性质，得到，求得，结合奇偶性的定义，即可求解.【解析】由函数为奇函数，可得，即，解得，当时，，此时函数为奇函数，符合题意；当时，，则，即，此时函数为奇函数，符合题意，综上可得，实数的值为.故答案为：.14．已知表示一个三位数，如果满足且，那么我们称该三位数为“凹数”，则没有重复数字的三位“凹数”共______个（用数字作答）.【答案】【分析】利用组合的意义可求没有重复数字的三位“凹数”的个数.【解析】为取自中的不同的三个数字，最小的数字放置在中间，余下两数可排百位或个位，故共有“凹数”的个数为，故答案为：.15．已知向量，，若非零向量与，的夹角均相等，则的坐标为___（写出一个符合要求的答案即可）【答案】（1，1），答案不唯一，只需满足横纵坐标相等即可.【分析】利用两个向量夹角的余弦公式，通过两个余弦相等，化简即可求出结果.【解析】设，因为，，所以，，因为与，的夹角均相等，所以，所以，化简得，所以，因为为非零向量，可取，此时.故答案为：（1，1），答案不唯一，只需满足横纵坐标相等即可.16．如图，在矩形中，，，分别为边，的中点，分别为线段（不含端点）和上的动点，满足，直线，的交点为，已知点的轨迹为双曲线的一部分，则该双曲线的离心率为______.【答案】【分析】以所在的直线为轴，线段的中垂线所在的直线为轴，求出直线，的方程，联立两方程解出点的坐标，进而可得点所在双曲线方程，由离心率公式计算即可得答案.【解析】解：以所在的直线为轴，线段的中垂线所在的直线为轴，建立如图所示的直角坐标系：设，则，则有，，，，，，，设，所以，，又因为，所以，所以或，又因为，所以直线的方程为：，即，同理可得直线的方程为：，即，由，可得，即，因为，，，,即有，，所以点所在双曲线方程为：，所以，所以，所以.故答案为：【点睛】思路点睛：椭圆或双曲线中，要求离心率的值，就要求出的值(或数量关系或关于的一个二次方程).四、解答题17．已知数列满足，，且数列是公比为2的等比数列．(1)求的通项公式；(2)令，数列是否有最大项？若有，求出最大项；若没有，说明理由．【答案】(1)；(2)有最大项，.【分析】（1）根据给定条件，求出，再利用累加法求出的通项作答.（2）利用（1）的结论求出，再探讨数列的单调性作答.【解析】（1）因为数列是公比为2的等比数列，且，则,当时，，又也满足上式，所以的通项公式为.（2）由（1）知，，则，则有，当时,，则有，当时，，即有，数列是递减的，所以数列有最大项，为.18．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足.(1)求A；(2)若D为边BC上一点，且，试判断的形状.【答案】(1)；(2)直角三角形.【分析】（1）利用三角变换得到，即可求出；（2）设，利用正弦定理，化简求出，得到，即可证明.【解析】（1）由得，所以，所以，所以，所以，所以，所以，即，因为，所以.（2）设，，则，，，在中，由正弦定理知，即，即，化简得，所以，，所以是直角三角形.19．如图，在三棱台中，面，，(1)证明：；(2)若棱台的体积为，，求二面角的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量证明，则；（2）利用棱台体积公式得到上下底面三角形的相似比，写出相关点坐标，求出相关平面的法向量，最后利用二面角公式即可求出其余弦值.【解析】（1）在平面中过点作的垂线，在平面ABC中过点作的垂线，面面，，面，且面面，故面，面，所以，故，，三条两两垂直，建立以点为坐标原点，直线，，分别为，，轴的空间直角坐标系，如图所示，则由题意得，，即，，.（2）设，，根据，则，由棱台体积公式得，所以，则在（1）问建系基础上，设面的法向量由，即，取，则，则，由题意得，根据，则，则，设面法向量由，即，取，则，，则，设二面角的大小为，依图可知，所以，所以二面角的余弦值为.20．甲、乙两名围棋学员进行围棋比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分，平局双方均得0分，比赛一直进行到一方比另一方多两分为止，多得两分的一方赢得比赛．已知每局比赛中，甲获胜的概率为α，乙获胜的概率为β，两人平局的概率为，且每局比赛结果相互独立．(1)若，，，求进行4局比赛后甲学员赢得比赛的概率；(2)当时，（i）若比赛最多进行5局，求比赛结束时比赛局数X的分布列及期望E（X）的最大值；（ii）若比赛不限制局数，写出“甲学员赢得比赛”的概率（用α，β表示），无需写出过程．【答案】(1)(2)（i）分布列见解析，期望最大值为；（ii）.【分析】（1）根据题意结合独立事件的概率乘法公式分析运算；（2）（i）根据题意求分布列，进而可得期望；（ii）根据题意结合条件概率分析运算.【解析】（1）用事件A，B，C分别表示每局比赛“甲获胜”“乙获胜”或“平局”，则，，，记“进行4局比赛后甲学员赢得比赛”为事件N，则事件N包括事件ABAA，BAAA，ACCA，CACA，CCAA共5种，所以．（2）（i）因为，所以每局比赛结果仅有“甲获胜”和“乙获胜”，即，由题意得X的所有可能取值为2，4，5，则，，．所以X的分布列为X245P所以X的期望，因为，所以，当且仅当时，等号成立，所以，所以，故的最大值为．（ii）记“甲学员赢得比赛”为事件M，则．由（1）得前两局比赛结果可能有AA，BB，AB，BA，其中事件AA表示“甲学员赢得比赛”，事件BB表示“乙学员赢得比赛”，事件AB，BA表示“甲、乙两名学员各得1分”，当甲、乙两名学员得分总数相同时，甲学员赢得比赛的概率与比赛一开始甲学员赢得比赛的概率相同．所以所以，即，因为，所以．21．已知，分别为双曲线：的左、右焦点，Р为渐近线上一点，且，.(1)求双曲线的离心率；(2)若双曲线E实轴长为2，过点且斜率为的直线交双曲线C的右支不同的A，B两点，为轴上一点且满足，试探究是否为定值，若是，则求出该定值；若不是，请说明理由.【答案】(1)2(2)是，2【分析】（1）判断出为直角三角形，利用边长关系得到，利用齐次式法求出离心率；（2）利用“设而不求法”表示出，，利用双曲线的定义得到，进而证明出为定值.【解析】（1）由，可设，在中，因为，所以，即，所以，即为直角三角形.所以在中，，，，所以，则双曲线的离心率为.（2）由（1）可知在双曲线中有且实轴长为2，所以，所以双曲线方程为.由，故设斜率为k的直线为，联立，可得，因为直线与双曲线右支交于不同两点，所以，解得：.设，，则，，则，，即，的中点坐标为，因为Q为x轴上一点，满足，故Q为AB的垂直平分线与x轴的交点，AB的垂直平分线的方程为：，令，则得，即，所以，又又因为，在双曲线的右支上，故，，故，即，故，即为定值.22．已知函数.(1)讨论函数的单调性；(2)当时，函数恰有两个零点.（i）求m的取值范围；（ii）证明:.【答案】(1)答案见解析(2)（i）；（ii）证明见解析【分析】（1）求导，再分和，根据导数的符号即可得出答案；（2）（i）求导，，利用导数判断函数的单调性，再结合（1）分和两种情况讨论，利用零点的存在性定理即可得出答案；（ii）由（i）可得要证，即证，先证明